014用图像处理实验数据和误差分析之胡克定律相关实验 精讲精练.docx

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014用图像处理实验数据和误差分析之胡克定律相关实验精讲精练

一.实验原理与描绘图像

（一）对胡克定律的理解

内容

在弹性限度内，弹簧弹力的大小F跟弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比

公式

F＝kx

定

律

理

解

成立

条件

在弹性限度内

对x的

认识

x是弹簧的形变量，不是弹簧形变后的长度，可能为伸长量（l－l0），也可能为缩短量（l0－l）

对k的

认识

k为弹簧的劲度系数，只与弹簧本身有关，由弹簧本身的材料、长度、粗细、匝数等因素决定．它反映了弹簧的软硬程度，k值越大，弹簧越硬，其长度越难改变

F－x图像

一条过原点的倾斜直线

直线的斜率表示弹簧的劲度系数k

推论

弹簧弹力的变化量ΔF与弹簧的形变量的变化量Δx也成正比，即ΔF＝kΔx

由F1＝kx1，F2＝kx2推导而来

（二）实验步骤

1.安装实验仪器（如图所示）。

2．测量弹簧的伸长量（或总长）及所受的拉力（或所挂钩码的质量），列表作出记录，要尽可能多测几组数据。

3．根据所测数据在坐标纸上描点，以力为纵坐标，以弹簧的伸长量为横坐标。

4．按照在图中所绘点的分布与走向，作出一条平滑的曲线（包括直线），使尽可能多的点落在线上，不能落在线上的点均匀分布在线的两侧，离线较远的点舍弃。

5．以弹簧的伸长量为自变量，写出曲线所代表的函数，首先尝试一次函数，如果不行再考虑二次函数。

（三）相关实验数据处理与分析

1．列表分析法：

分析列表中弹簧拉力F与对应弹簧的形变量Δx的关系，可以先考虑F和Δx的乘积，再考虑F和Δx的比值，也可以考虑F和（Δx）2的关系或F和

的关系等，结论：

为常数．

2．图象分析法：

作出F－Δx图象，如图所示．此图象是过坐标原点的一条直线，即F和Δx成正比关系．

作图的规则：

（1）要在坐标轴上标明轴名、单位，恰当地选取纵轴、横轴的标度，并根据数据特点正确确定坐标起点，使所作出的图象尽可能占满整个坐标图纸．若弹簧原长较长，则横坐标的起点可以不从零开始．

（2）作图线时，尽可能使直线通过较多坐标描点，不在直线上的点也要尽可能均匀分布在直线的两侧（若有个别点偏离太远，则是因偶然误差太大所致，应舍去）．

（3）要注意坐标轴代表的物理量的意义，注意分析图象的斜率、截距的意义．

二.用图像处理实验数据和进行误差分析的方法

分析处理图像信息前，要根据胡克定律等规律推导出横纵坐标所表示的物理量间的关系式（函数解析式）。

然后，根据解析式，明确直线的斜率和截距表示的物理意义。

最后.根据实验目的和原理，结合图像解决设问。

三.例题精讲

题型一：

常规题

例1　一个实验小组做“探究弹簧弹力与弹簧伸长关系”的实验。

（1）甲采用如图a所示装置，质量不计的弹簧下端挂一个小盘，在小盘中增添砝码，改变弹簧的弹力，实验中作出小盘中砝码重力随弹簧伸长量x变化的图像如图b所示。

（重力加速度g＝10m/s2）

①利用图b中图像，可求得该弹簧的劲度系数为________N/m。

②利用图b中图像，可求得小盘的质量为________kg，小盘的质量会导致弹簧劲度系数的测量结果与真实值相比________（选填“偏大”“偏小”或“相同”）。

（2）为了制作一个弹簧测力计，乙同学选了A、B两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图c所示的图像，为了制作一个量程较大的弹簧测力计，应选弹簧________（填“A”或“B”）；为了制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧________（填“A”或“B”）。

解答　

（1）①200__②0.1相同2）BA。

（1）①由图b中图像可知，弹簧的劲度系数：

k＝

＝

N/cm＝2N/cm＝200N/m。

②由图b中图像可知：

mg＝kx1，解得小盘质量：

m＝

＝

kg＝0.1kg；应用图像法处理实验数据，小盘的质量不会影响弹簧劲度系数的测量结果，即测量结果与真实值相同。

（2）由图c可知，弹簧A所受拉力超过4N则超过弹性限度，弹簧B所受拉力超过8N则超过弹性限度，故为了制作一个量程较大的弹簧测力计，应选弹簧B；由图c可知，在相同拉力作用下，弹簧A的伸长量大，则为了制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧A。

题型二：

创新题

例2．（2014·全国卷Ⅱ）某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度（圈数）的关系。

实验装置如图a所示：

一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度。

设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100kg的砝码时，各指针的位置记为x。

测量及部分计算结果如下表所示（n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80m/s2）。

已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88cm。

P1

P2

P3

P4

P5

P6

x0（cm）

2.04

4.06

6.06

8.05

10.03

12.01

x（cm）

2.64

5.26

7.81

10.30

12.93

15.41

n

10

20

30

40

50

60

k（N/m）

163

①

56.0

43.6

33.8

28.8

（m/N）

0.0061

②

0.0179

0.0229

0.0296

0.0347

（1）将表中数据补充完整：

①________，②________。

（2）以n为横坐标，

为纵坐标，在图b给出的坐标纸上画出

n的图象。

（3）图b中画出的直线可近似认为通过原点。

若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k＝________N/m；该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0（单位为m）的关系的表达式为k＝________N/m。

答案　

（1）①81.7　②0.0122　

（2）

n图象如图所示

（3）

解析　

（1）由胡克定律有k＝

＝

N/m＝81.7N/m，故有

＝0.0122m/N。

（2）作图过程略，图见答案。

（3）因

n图线是一条过原点的直线，由图可得图线的斜率

＝5.71×10－4m/N，故有

＝5.71×10－4×nm/N，即k＝

（N/m），由题知，n＝60时l0＝11.88cm，可知n＝

l0，代入得k＝

（N/m）。

四.举一反三，巩固练习

1　在“探究弹簧弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中。

（1）某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹簧弹力与弹簧长度的图像如图所示。

下列表述正确的是________。

A．a的原长比b的长

B．a的劲度系数比b的大

C．a的劲度系数比b的小

D．测得的弹簧弹力与弹簧的长度成正比

（2）为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码。

实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出。

作出ml的关系图线。

弹簧的劲度系数为________N/m（结果保留三位有效数字）。

（3）若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏________。

2.某同学用如图甲所示装置测量一轻弹簧的劲度系数，器材如下：

一端有挡板、长为l的光滑木板，一把刻度尺，一个质量为m的重物，一待测轻弹簧。

实验步骤如下：

（1）将木板水平放置，弹簧的左端固定在挡板上；

（2）将重物贴近弹簧右端；

（3）将木板的右端缓慢抬高不同的高度，测出弹簧的长度x1、x2……和此时木板右端到水平面的高度h1、h2……。

以x为纵轴，________

为横轴，作出的图像如图乙所示，其图像斜率为K。

该弹簧的劲度系数为________，图像纵轴截距的物理意义是________。

3．某同学在研究性学习中，利用所学的知识解决了如下问题：

把一开口向右、内壁光滑、深度为h＝0.25m的小圆筒水平固定在桌面上，同时把一轻弹簧一端固定于小圆筒内部左端，没有外力作用时弹簧的另一端位于筒内。

如图甲所示，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒外弹簧的长度l，现要测出弹簧的原长l0和弹簧的劲度系数，该同学通过改变所挂钩码的个数来改变l，作出Fl图线如图乙所示。

（1）由此图线可得出的结论是____________________。

（2）弹簧的劲度系数为________N/m，弹簧的原长l0＝________m。

（3）该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比较，优点在于________________________。

4.在探究弹簧的伸长量x与所受拉力F之间的关系实验中，某实验小组根据实验数据获得如图7所示的图象，则：

图7

（1）该弹簧的劲度系数是________N/m.

（2）实验中，操作者从弹簧的原长用力缓慢地拉伸到伸长量为x＝40cm时，拉力对弹簧做功________J，此时弹簧的弹性势能是________J.

5．某同学为研究橡皮筋伸长与所受拉力的关系，做了如下实验：

①如图所示，将白纸固定在制图板上，橡皮筋一端固定在O点，另一端A系一小段轻绳（带绳结），将制图板竖直固定在铁架台上．

②将质量为m＝100g的钩码挂在绳结上，静止时描下橡皮筋下端点的位置A0；用水平力拉A点，使A点在新的位置静止，描下此时橡皮筋下端点的位置A1；逐渐增大水平力，重复5次……

③取下制图板，量出A1、A2……各点到O的距离l1、l2……量出各次橡皮筋与OA0之间的夹角α1、α2……

④在坐标纸上作出

l的图象如图所示．

完成下列填空：

（1）已知重力加速度为g，当橡皮筋与OA0间的夹角为α时，

橡皮筋所受的拉力大小为（用g、m、α表示）．

（2）取g＝10m/s2，由图象可得橡皮筋的劲度系数k＝

N/m，橡皮筋的原长l0＝m．（结果均保留两位有效数字）

五.举一反三，巩固练习参考答案

1　在“探究弹簧弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中。

（1）某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹簧弹力与弹簧长度的图像如图所示。

下列表述正确的是________。

A．a的原长比b的长

B．a的劲度系数比b的大

C．a的劲度系数比b的小

D．测得的弹簧弹力与弹簧的长度成正比

（2）为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码。

实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出。

作出ml的关系图线。

弹簧的劲度系数为________N/m（结果保留三位有效数字）。

（3）若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏________。

答案　

（1）B

（2）图线如图所示　0.255（0.248～0.262均正确）

（3）大

解析　

（1）在Fl图像中，图线与l轴交点的横坐标表示弹簧原长，故a的原长比b的短，A错误；题图图线的斜率表示弹簧的劲度系数，所以a的劲度系数比b的大，B正确，C错误；由于图像没有通过原点，弹簧的长度等于原长加变化量，弹力和弹簧的长度不成正比，D错误。

（2）由胡克定律F＝kx得：

k＝

＝

＝g·k斜＝0.255N/m。

（3）因钩码所标数值比实际质量偏大，且所用钩码越多，偏差越大，因此所作出的ml图线比实际情况下的图线斜率大，测得的劲度系数偏大。

2.某同学用如图甲所示装置测量一轻弹簧的劲度系数，器材如下：

一端有挡板、长为l的光滑木板，一把刻度尺，一个质量为m的重物，一待测轻弹簧。

实验步骤如下：

（1）将木板水平放置，弹簧的左端固定在挡板上；

（2）将重物贴近弹簧右端；

（3）将木板的右端缓慢抬高不同的高度，测出弹簧的长度x1、x2……和此时木板右端到水平面的高度h1、h2……。

以x为纵轴，________

为横轴，作出的图像如图乙所示，其图像斜率为K。

该弹簧的劲度系数为________，图像纵轴截距的物理意义是________。

答案　h　－

　弹簧原长。

解析设木板与水平面的夹角为θ，弹簧劲度系数为k，原长为x0，根据题意，有：

mgsinθ＝k（x0－x），sinθ＝

，则：

x＝x0－

h，因此图乙所示图像以h为横轴。

又因为K＝－

，故有：

k＝－

，图像纵轴的截距的物理意义为x0，即弹簧原长。

3．某同学在研究性学习中，利用所学的知识解决了如下问题：

把一开口向右、内壁光滑、深度为h＝0.25m的小圆筒水平固定在桌面上，同时把一轻弹簧一端固定于小圆筒内部左端，没有外力作用时弹簧的另一端位于筒内。

如图甲所示，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒外弹簧的长度l，现要测出弹簧的原长l0和弹簧的劲度系数，该同学通过改变所挂钩码的个数来改变l，作出Fl图线如图乙所示。

（1）由此图线可得出的结论是____________________。

（2）弹簧的劲度系数为________N/m，弹簧的原长l0＝________m。

（3）该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比较，优点在于________________________。

答案　

（1）在弹性限度内，弹力的大小和弹簧的伸长量成正比

（2）100　0.15

（3）可避免弹簧自身所受重力对实验的影响

解析　

（1）由Fl图像可知，在弹性限度内，弹力的大小和弹簧的伸长量成正比。

（2）弹簧原长为l0，根据胡克定律有：

F＝k（h＋l－l0）＝kl＋k（h－l0），由此可知，图线的斜率表示弹簧的劲度系数，故k＝

N/m＝100N/m；h＝0.25m，当l＝0时，F＝10N，将数据代入解得：

l0＝15cm＝0.15m。

（3）该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧竖直悬挂放置相比较，优点在于可避免弹簧自身所受重力对实验的影响。

4.在探究弹簧的伸长量x与所受拉力F之间的关系实验中，某实验小组根据实验数据获得如图7所示的图象，则：

图7

（1）该弹簧的劲度系数是________N/m.

（2）实验中，操作者从弹簧的原长用力缓慢地拉伸到伸长量为x＝40cm时，拉力对弹簧做功________J，此时弹簧的弹性势能是________J.

答案　

（1）200　

（2）16　16

解析　

（1）由题图根据数学知识可知，该图象代表的函数关系为F＝200x（其中x代表弹簧的形变量）．图象斜率的大小表示劲度系数大小，故有k＝200N/m.

（2）根据W＝Fx，F－x图象与x轴所围的面积等于拉力F做的功，W＝

×80×0.4J＝16J；根据功能关系，此时弹簧的弹性势能等于拉力对弹簧所做的功，为16J.

5．某同学为研究橡皮筋伸长与所受拉力的关系，做了如下实验：

①如图所示，将白纸固定在制图板上，橡皮筋一端固定在O点，另一端A系一小段轻绳（带绳结），将制图板竖直固定在铁架台上．

②将质量为m＝100g的钩码挂在绳结上，静止时描下橡皮筋下端点的位置A0；用水平力拉A点，使A点在新的位置静止，描下此时橡皮筋下端点的位置A1；逐渐增大水平力，重复5次……

③取下制图板，量出A1、A2……各点到O的距离l1、l2……量出各次橡皮筋与OA0之间的夹角α1、α2……

④在坐标纸上作出

l的图象如图所示．

完成下列填空：

（1）已知重力加速度为g，当橡皮筋与OA0间的夹角为α时，

橡皮筋所受的拉力大小为（用g、m、α表示）．

（2）取g＝10m/s2，由图象可得橡皮筋的劲度系数k＝

N/m，橡皮筋的原长l0＝m．（结果均保留两位有效数字）

答案：

；1.0×102N/m；0.21m.

解析：

（1）对结点及钩码，由平衡条件得，橡皮筋所受的拉力FT＝

.

（2）橡皮筋所受的拉力FT＝

＝k（l－l0），则

＝

·l－

·l0，图象的斜率

＝

，则橡皮筋的劲度系数k＝1.0×102N/m，图象在横轴上的截距即为橡皮筋的原长，则原长l0＝0.21m.