八上等腰三角形精品提高题系列.docx
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八上等腰三角形精品提高题系列
1.如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角两边分别交AB,AC边于M,N两点,连接MN.
(I)探究:
线段BM,MN,NC之间的关系,并加以证明.
(Ⅱ)若点M是AB的延长线上的一点,N是CA的延长线上的点,其它条件不变,请你再探线段BM,MN,NC之间的关系,在图②中画出图形,并说明理由.
2.如图,点P为△ABC内部一点,使得∠PBC=30°,∠PBA=8°,且∠PAB=∠PAC=22°,求∠APC的度数.
3.如图,已知P是△ABC边BC上一点,且PC=2PB,若∠ABC=45°,∠APC=60°,求∠ACB的大小.
5.在△ABC中,BD平分∠ABC(∠ABC<60°)
(1)如图1,当点D在AC边上时,若∠ABC=42°,∠ACB=32°,直接写出AB,DC和BC之间的数量关系.
(2)如图2,当点D在△ABC内部,且∠ACD=30°时,
①若∠BDC=150°,直接写出AB,AD和BC之间的数量关系,并写出结论成立的思路.
②若∠ABC=2α,∠ACB=60°-α,请直接写出∠ADB的度数(用含α的式子表示).
6.如图,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点且∠ABD=60°,
求证:
AC=BD+CD.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E.
(1)如图1,连接CE,求证:
△BCE是等边三角形;
(2)如图2,点M为CE上一点,连结BM,作等边△BMN,连接EN,求证:
EN∥BC;
(3)如图3,点P为线段AD上一点,连结BP,作∠BPQ=60°,PQ交DE延长线于Q,探究线段PD,DQ与AD之间的数量关系,并证明.
如图,过△ABC的边BC的中点M作直线垂直于∠A的平分线AA′,且分别交直线AB,AC于点E,F,
已知:
如图在△ABC中,BD,CE为两条高线,F为BD上一点,G为CE延长线上一点,BF=AC,CG=AB.
(1)请你判断△AFG的形状并证明.
(2)当F为BD反向延长线上一点,G为CE反向延线上一点,其它条件不变,
(1)中的结论是否仍然成立?
请你画出图形,并证明你的结论.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E,F为线段BC上的两点,且CE=BF,连接AF,过点C作CD⊥AF于点G,交AB于点D,连接DE,交AF于点M.
(1)求证:
∠ACD=∠AFC;
(2)求证:
ME=MF
在△ABC中,BD为∠ABC的平分线.
(1)如图1,∠C=2∠DBC,∠A=60°,求证:
△ABC为等边三角形;
(2)如图2,若∠A=2∠C,BC=8,AB=4.8,求AD的长度;
(3)如图3,若∠ABC=2∠ACB,∠ACB的平分线OC与BD相交于点O,且OC=AB,求∠A的度数.
1.如图,已知AM∥BN,AC平分∠MAB,BC平分∠NBA.
(1)过点C作直线DE,分别交AM、BN于点D、E,则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系?
请直接写出关系式_______
(2)如图,若将直线DE绕点C转动,使DE与AM交于点D,与NB的延长线交于点E,则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系?
请你给出结论并加以证明.
2.如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时△PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.
3.已知△ABC,∠BAC=45°,以AB、AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE,AD=AB、AE=AC,且∠BAD=∠CAE,连CD、BE交于F,连AF.
(1)①如图1,若∠BAD=60°,则∠AFE=_______度;
②如图2,若∠BAD=90°,则∠AFE=_______度;
(2)如图3,若∠BAD=a°,猜想∠AFE的度数(用a表示),并予以证明.
4.如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M.
(1)求证:
△ADC≌△AEB;
(2)判断△EGM是什么三角形,并证明你的结论;
(3)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论
1.如图,点D是△ABC三条角平分线的交点,∠ABC=68°
(1)求证:
∠ADC=124°;
(2)若AB+BD=AC,求∠ACB的度数
2.已知:
在△ABC中,AB=3AC,AD平分∠BAC,BE⊥AD交AD的延长线于点E.设△ACD的面积是S.
(1)求△ABD的面积;
(2)求证:
AD=DE;
(3)探究BE-AC和BD-CD之间的大小关系并证明你的结论
3.在△ABC中,∠BAC=90°,射线AM∥BC,点D在射线AM上(不与点A重合),连接BD,过点D作BD的垂线交CA的延长线于点P
(1)如图①,若∠C=30°,且AB=DB,求∠APD的度数;
(2)如图②,若∠C=45°,当点D在射线AM上运动时,PD与BD之间有怎样的数量关系?
请写出你的结论,并加以证明;
(3)如图③,在
(2)的条件下,连接BP,设BP与射线AM的交点为Q,∠AQP=α,∠APD=β,当点D在射线AM上运动时,α与β之间有怎样的数量关系?
请写出你的结论,并加以证明.
4.已知等边△ABC的边长为4cm,点P,Q分别从B,C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;
点Q沿CA,AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s),
(1)如图
(1),当x为何值时,PQ∥AB;
(2)如图
(2),若PQ⊥AC,求x;
(3)如图(3),当点Q在AB上运动时,PQ与△ABC的高AD交于点O,OQ与OP是否总是相等?
请说明理由.
1.在锐角三角形ABC中,AF是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作△ABD和△ACE,使得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,连接BE、DE、DC,DE与FA的延长线交于点G,下列结论:
①BE=DC;②BE⊥DC;③AG是△ADE的中线;④∠DAG=∠ABC.其中正确的结论有哪些?
2.在△ABC中,AB≠AC,分别以AB,AC为边作等腰△ABD和△ACE,AD=AB,AC=AE,且∠ACB=∠BAD=∠CAE=α,连接DE,交CA延长线于点M,求证:
M为DE中点
3.如图,已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE.G、F分别是DC与BE的中点.
(1)求证:
DC=BE;
(2)当∠DAB=80°,求∠AFG的度数;
(3)若∠DAB=α,求∠AFG与α的数量关系.
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在CB上,连接AD,EA⊥AD,∠ACE=∠ABD.
(1)求证:
AD=AE;
(2)若点F为CD中点,AF交BE于点G,求∠AGE的度数.
1.如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°.
(1)判断CD与BE有怎样的数量关系;
(2)探索DC与BE的夹角的大小;
(3)求证:
FA平分∠DFE;
(4)取BC的中点M,连MA,探讨MA与DE的数量关系和位置关系
2.如图1,已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE.
(1)求证:
△DAC≌△BAE;
(2)F、H分别是BE与DC的中点;
①如图2.当∠DAB=∠CAE=90°时,求∠AFH的度数;
②请探究当∠DAB等于多少度时,AF=FH?
请说明理由.
3.如图,△ABC向外侧作等腰Rt△ABD与Rt△ACE,∠BAD=∠CAE=90°,F为BC的中点,连接F、A并延长交DE于G点,请问:
AF与DE之间存在怎样的数量关系和位置关系?
4.已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G、
F分别是DC与BE的中点.
(1)如图1,若∠DAB=60°,则∠AFG=_______;如图2,若∠DAB=90°,则∠AFG=_______.
(2)如图3,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系,并给予证明;
(3)如果∠ACB为锐角,AB≠AC,∠BAC≠90°,点M在线段BC上运动,连接AM,以AM为一边以点A为直角顶点,且在AM的右侧作等腰直角△AMN,连接NC;试探究:
若NC⊥BC(点C、M重合除外),则∠ACB等于多少度?
画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
5.在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过B点作∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合).
(1)如图①,当DE与AC交于P时,求证:
BD=DP;
(2)如图②,当DE与AC的延长线交于点P时,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由.
(3)如图③,当DE与CA的延长线交于点P时,请直接写出DB与PD的数量关系,此时过D作DF⊥AB于F,求证:
AP+AB=2AF.
6.在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图1,DE与AC交于点P,易证:
BD=DP.(无需写证明过程)
(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?
如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由;
(2)在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?
请直接写出你的结论,无需证明.
1.已知:
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,过点C作CD⊥AB于点D,点E是AB边上一动点(不含端点A、B),连接CE,过点B作CE的垂线交直线CE于点F,交直线CD于点G(如图①).
(1)求证:
AE=CG;
(2)若点E运动到线段BD上时(如图②),试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化,请直接写出你的结论;
(3)过点A作AH垂直于直线CE,垂足为点H,并交CD的延长线于点M(如图③),找出图中与BE相等的线段,并证明.
2.如图,已知在△ABC中,AB=AC,P是BC边上的-点,过点P引直线分别交AB于点M,交AC的延长线于点N,且PM=PN.
(1)写出图中除AB和AC,PM和PN外的其他相等的线段.
(2)证明你的结论
3.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E为边AC上的两动点,以相同的速度D从A向C,E从C向A运动,AM⊥BD交BC于N,连NE并延长交BD延长线于F.
①说明∠ABD=∠NAC
②当D,E运动到如图2所示的位置时,试作出图形,并判断FD与FE的数量关系,请写出你的结论.(不要求证明)
③对图1证明△FED为等腰三角形.
4.已知:
△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,连接EC,取EC的中点M,连接BM和DM.
(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系是_______
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
5.如图,△ABD与△ACE中,AB=AC,∠ACE+∠ABD=180°,BD=CE,BC延长线交ED于F.
(1)求证:
∠DBF=∠ECF;
(2)图中是否存在与DF相等的线段?
若存在,请找出,并加以证明;若不存在,说明理由
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.求证:
(1)AF=CG;
(2)DG=CF;
(3)直接写出CF与DE的数量关系.
1.已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中,AB=BC,CD=DE,∠ABC=90°,∠CDE=90°,CD>BC,取线段AE的中点M,连结BM、DM、BD.
(1)如图1,当BC⊥CE时,连接AE,试猜想BM与MD的数量关系和位置关系,请直接写出答案;
(2)如图2,当点A、C、E三点在同一条直线上时,其他条件不变,试探究BM与MD的数量关系和位置关系,请说明理由.
2.如图1,△ABC中,AB=AC,连B,C分别作BD⊥AB,CD⊥AC,BD、CD相交于D点,P为BC上一点,过P的直线交AB于E,AC延长线于F,且满足PE=PF,连结DP.
(1)求证:
DP⊥EF;
(2)如图2,若P为BC延长线上,其它条件不变,
(1)中结论是否成立?
3.
(1)如图①,已知:
△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m于D,CE⊥m于E,求证:
DE=BD+CE;
(2)拓展:
如图②,将
(1)中的条件改为:
△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,α为任意锐角或钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)应用:
如图③,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD>∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与BC的延长线交于点F,若BC=2CF,△ABC的面积是12,求△ABD与△CEF的面积之和.
4.如图,D是Rt△ABC斜边AB上一点,且BD=BC=AC=1,P为CD上任意一点,PF⊥BC于点F,PE⊥AB于点E,则PE+PF的值是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H
(1)求∠APB度数;
(2)求证:
△ABP≌△FBP;(3)求证:
AH+BD=AB
6.已知:
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC的中点,点P是BC边上的一个动点,连接AP.直线BE垂直于直线AP,交AP于点E,直线CF垂直于直线AP,交AP于点F.
(1)当点P在BD上时(如图①),求证:
CF=BE+EF;
(2)当点P在DC上时(如图②),CF=BE+EF还成立吗?
若不成立,请画出图形,并直接写出CF、BE、EF之间的关系(不需要证明).
(3)若直线BE的延长线交直线AD于点M(如图③),找出图中与CP相等的线段,并加以证明.
8.如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M.
(1)求证:
△EGM为等腰三角形;
(2)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论.
9.在△ABC中,AB=AC,D在AC上,AE=AC交BD的延长线于点E,AF平分∠CAE交BE于F.
(1)如图1,连CF,求证:
∠ABE=∠ACF;
(2)如图2,当∠ABC=60°时,且BD平分∠ABC,请写出AF、EF、BF的数量关系,不需证明;
(3)如图3,若∠BAC=90°,且BD平分∠ABC,求证:
BD=2EF.
1.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为线段AC上的一点(不和点A、C重合),点E在线段BD的延长线上,点F在线段BD上,连接CE、CF、AE,且∠ECF=90°,CE=CF,过点F作FG⊥BD分别交线段BC、线段AC的延长线于点P、G.
(1)如图l,求证:
AC=CG;
(2)如图2,延长线段GF交线段AB于点H,连接DH,当AH=BH时,求证:
∠BHG=∠AHD.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,当点P运动到A时,点P、Q随即停止运动,若点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P自点B出发在线段BA上运动是,过点P作AC的平行交BC于点F,连接PC、FQ,判断四边形PFQC的形状,并证明你的结论.
(2)如图②,过点P作PE⊥BC,垂足为E,请说明在点P、Q在移动的过程中,DE长度保持不变.
4.如图,等腰三角形ABC中,∠AC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD,交BE于点G,交AC于点M.
(1)求证:
GM=GE;
(2)求证:
BG=AF+FG.
1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线AC上一点,直线AE⊥直线BD,垂足为E,直线AE和直线BC交于点H,过点C作AB的平行线,交直线AE于F,连DF.
(1)若D在线段AC上(如图1),求证:
∠CDB=∠CDF;
(2)若D在AC延长线上(如图2),求证:
∠CDB+∠CDF=180°.
2.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,占M在线段AC上(不与C重合),BM延长线与过点C的直线交于D,连接AD,∠MAD=∠DBC,AE⊥BM于E,当M在线段AC上时,求证:
BD-CD=2DE
3.已知△ABC,∠BAC=90°,等腰直角△BDE,∠BDE=90°,BD=DE,点D在线段AC上.
(1)如图1,当∠ACB=30°,点E在BC上时,试判断AD与CE的数量关系,并加以证明;
(2)如图2,当∠ACB=45°,点E在BC外时,连结EC、BD并延长交于点F,设ED与BC交于点N,图中是否存在与BN相等的线段?
若存在.请加以证明.若不存在,请说明理由.
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