制图 第二篇 2章.docx
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制图第二篇2章
第二篇画法几何
第二章点、直线和平面
§2-2-1点的投影
(一)
教学目的掌握点的投影的形成、投影规律、点的投影与坐标间的关系。
重点难点掌握点的投影规律、点的三面投影的形成过程、点的投影与坐标间的关系。
教学方法讲授为主
导入新课(5分钟);
讲授新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.投影规律(三等关系)是什么?
Ⅱ导入新课
点、线(直线或曲线)、面(平面或曲面)是构成形体的基本几何元素。
而点又是构成线、面的最基本元素,所以首先从点开始介绍。
Ⅲ讲授新课
一、点的三面投影
1.投影的形成
图3-1点的三面投影
a)立体图;b)投影图;c)去边框后的投影图
在三面投影体系中,有一个空间点A,由A分别向三个投影面V、H和W引垂线,垂足a’、a和a’即为A点的三面投影。
如图3-1a)所示。
点的投影符号规定:
空间点用大写字母表示,如A、B、C等;H面用相应的小写字母表示,如a、b、c等;V面用相应的小写字母加“’”表示,如a’、b’、c’等;W面用相应的小写字母加“’’”表示,如a’’、b’’、c’’等;
2.投影规律
(1)点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴;点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴。
即两投影的连线必垂直于相应的投影轴。
如图3-1a)所示,由投射线Aa’、Aa所构成的投射平面P(Aa’axa)与OX轴相交于ax点,因P⊥V、P⊥H,即P、V、H三面投影互相垂直,由立体几何可知,此三平面的交线必互相垂直,即a’xa⊥OX,aax⊥OX,a’ax⊥aax,故P面为矩形。
当H面旋转至与V面重合时,ax不动,且aax⊥OX的关系不变,所以a’、ax、a三点共线,即a’a⊥OX轴。
同理,a'a"⊥OZ轴。
(2)点的投影至投影轴的距离,反映点至相应投影面的距离。
如图3-1a)所示:
点的H面投影至OX轴的距离,等于其W面投影至OZ轴的距离(即宽相等),即:
aax=a’’az=Aa’;
点的V面投影至OZ轴的距离,等于其H面投影至OY轴的距离(即长对正),即:
a’az=aay=Aa’’;
点的V面投影至OX轴的距离,等于其W面投影至OY轴的距离(即高平齐),即:
A’ax=a’’ay=Aa。
aax=a’’az=Aa’,反映A点至V面的距离;
a’az=aay=Aa’’,反映A点至W面的距离;
a’ax=a’’ay=Aa,反映A点至H面的距离。
此投影规律即“长对正、宽相等、高平齐”的根据所在。
为了能更直接地看到a和a’’之间的关系,经常用以O为圆心的圆弧把aYH和aYW联系起来(图3-1b),也可以自O点作45°的辅助线来实现a和a’’的联系。
图3-2已知点的两面投影求第三投影图3-3投影面上的点
a)立体图;b)投影图
根据此投影规律,只要已知点的任意两投影,即可求其第三投影。
例3-1已知一点B的V、W面投影b’、b’’,求b(图3-2)。
解
(1)按第一条规律,过b’作垂线并与OX轴交于bx点。
(2)按第二条规律在所作垂线上量取bxb=bzb’’得b点,即为所求。
作图时,也可以借助于过O点作45°斜线Obo,因为ObYHbobYW是正方形,所以ObYH=ObYW。
图3-4投影轴上的点
a)立体图;b)投影图
3.投影面上点
投影面上的点,一个投影与空间点重合,另两个投影在相应的投影轴上。
它们的投影仍完全符合上述两条基本投影规律。
如图3-3所示,F点在V面上,M点在H面上,G点在W面上。
4.投影轴上的点
投影轴上的点,两个投影与空间点重合,另一个投影在原点上。
如图3-4所示,A点在OX轴上,B点在OZ轴上,C点在OY轴上。
5.分角
设想将V面、H面和W面向后、向下、向右扩展而将整个空间划分为八个部分,称为八个分角。
第一分角投影法是把物体放在投影面与观察者之间,其投影时的相对位置是:
人→物体→投影面。
第三角投影即把物体放在第三角进行正投影,这种方法假定投影面是透明的。
投影时人、物体、投影面的相对位置是:
人→投影面→物体。
二、点的投影与坐标
把三投影面体系看作直角坐标系,则把三个投影面看作坐标面,投影轴看作坐标轴,则点到三个投影面距离,就是点的坐标。
点A到W面的距离为X坐标;A点到V面的距离为Y坐标;A点到H面的距离为Z坐标。
点的每个投影反映两个坐标,点的三面投影与点的坐标关系为:
(1)A点的H面投影a可反映该点的X和Y坐标;
(2)A点的V面投影a’可反映该点的X和Z坐标;
(3)A点的W面投影a’’可反映该点的Y和Z坐标。
例3-2:
已知B(4,6,5),求作B点的三面投影。
分析:
作此类题主要根据点的投影规律及坐标。
作图:
方法步骤如图3-5所示。
图3-5已知点的坐标求作点的三面投影
(1)作出三个投影轴及原点O,在OX轴上自O点向左量取4个单位,得到bx点(图a);
(2)过bx点作OX轴的垂线,由bx向上量取Z=5单位,得V面投影b’,再向下量取Y=6单位,得H面投影b(图b);
(3)过b’作线平行于OX轴并与OZ轴相交于bz,量取bzb’’=Y=bxb,得W面投影b’’,b、b’和b’’即为所求(图c)。
Ⅳ课堂总结
点的投影规律、点的三面投影与坐标的关系。
Ⅴ作业布置
1.习题集3-1至3-4。
2.点的投影规律是什么?
3.点的投影与坐标间的关系。
§2-2-1点的投影
(二)
教学目的掌握两点的相对位置、重影点及其可见性的判别。
重点难点两点的相对位置、重影点及其可见性的判别。
教学方法讲授为主
导入新课(5分钟);
讲授新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
点的投影规律是什么?
Ⅱ导入新课
研究空间中两点存在着的前后、左右、上下的位置关系是这节课的主要内容。
Ⅲ讲授新课
三、两点的相对位置
空间中的任两点间存在着的前后、左右、上下的位置关系。
空间两点的相对位置是以其中某一点为基准,判别另一点在该点的前后、左右和上下的
位置,这可由两点的三个坐标值来确定,或者由两点的坐标差来确定。
如图3-6所示,如以B点为基准,因为XA
图3-6两点的相对位置
a)投影图;b)立体图;
四重影点及其可见性的判别
当空间两点位于某一投影面的同一投影线上时,则此两点在该投影面上的投影重合,此两点称为对该投影面的重影点。
为区别起见,凡不可见的投影其字母写在后面,并可加括号表示。
重影点可见性的判别:
对于重影点,必须判别其可见性,其判别方法概括为:
(1)采用点对该投影面的坐标值来判断(其他两同名坐标对应相等),坐标值大者为可见点,小者为不可见点,如ZA>ZB,故A点为可见点。
(2)采用投影方向来判断,先被投影到的点为可见点,反之为不可见点。
图3-7重影点及其可见性的判别
a)立体图;b)a、b点的投影图;c)c、d点的投影图;d)e、f点的投影图
如图3-7a)、b)所示,A、B两点在同一垂直H面的投射线上,A点在B点的正上方;B点则在A点的正下方,a、b两投影重合,是对H面的重影点,但其他两同面投影不重合。
a、b两点的可见性,可从V面或W面投影进行判别:
a’高于b’(或a’’高于b’’),即A点在B点正上方,所以a为可见,b为不可见。
如图3-7c)所示,C点在D点的正前方,位于V面的同一投射线上,c'、d'两投影重合,为对V面的重影点,c’可见,d’不可见;如图3-7d)所示,F点在E点的正右方,位于W面的同一投射线上,e’’、f’’两投影重合,为对W面的重影点,e’’可见,f’’不可见。
Ⅳ课堂总结
两点的相对位置、重影点及其可见性的判别。
Ⅴ作业布置
1.习题集3-5、3-6。
2.什么是重影点?
其表示方法是什么?
§2-2-2直线的投影
(一)
教学目的掌握一般位置直线、投影面平行线的投影特性。
重点难点一般位置直线、投影面平行线的投影特性。
教学方法讲授为主
导入新课(5分钟);
讲授新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.什么是重影点?
2.重影点表示方法是什么?
Ⅱ导入新课
由初等几何可知,两点确定一直线,故只要找出直线上任意两点的投影,连接其同面投影,即为直线的投影。
我们通常把线段说成直线,以后所讲的直线均为线段。
按直线与投影面的相对位置可把直线分为:
一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线三种,后两种又称为特殊位置直线。
Ⅲ讲授新课
两点确定一条直线,画出直线上任意两点的投影,连接其同面投影,即为直线的投影。
直线和它在某一投影面上的投影间的夹角,称为直线对该投影面的倾角。
对H面的倾角用α表示;对V面的倾角用β表示;对W面的倾角用γ表示。
根据直线与投影的相对位置,直线可分为:
一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线三种,后两种统称为特殊位置直线。
一、一般位置直线
对三个投影面均不平行不垂直的直线称为一般位置直线(简称一般线)。
如图3-8,为一般位置直线的立体图和投影图。
直线和它的某一投影面上的投影所成的锐角,称为直线对该投影面的倾角。
直线对H、V、W面的倾角分别用α、β、γ表示。
图3-8一般位置直线图3-9各种位置直线
a)立体图;b)投影图
一般位置直线的投影特性:
1.一般位置直线的三个投影都小于实长。
如图3-8a),ab=ABcosα,a’b’=ABcosβ,a’’b’’=ABcosγ,而α、β和γ均介于0°与90°之间,cosα、cosβ和cosγ均小于1。
2.一般位置直线的三面投影都倾斜于投影轴,且各投影与相应投影轴的夹角,不反映直线对各投影面的真实倾角。
如图3-8b)所示。
如图3-9中,BF是一般位置直线。
二投影面平行线
只平行某个投影面,倾斜于另外两个投影面的直线,称为某投影面的平行线。
与V面平行的直线称为正面平行线,简称正平线。
与H面平行的直线称为水平面平行线,简称水平线。
与W面平行的直线称为侧面平行线,简称侧平线。
如表3-1)所示。
投影面平行线表3-1
投影面平行线的共性:
1.直线在所平行的投影面上的投影反映实长,且该投影与相应投影轴所成之夹角,反映直线对其他两投影面的倾角。
2.直线其他两投影均小于实长,且平行于相应的投影轴。
图3-10求水平线的三面投影
例3-3已知水平线AB的长度为25mm,β=30°,A点的二投影a、a’,试求AB的三面投影(图3-10)。
解
(1)过a作直线ab=25mm,并与OX轴成30°角;
(2)过a’作直线平行OX轴,与过b作OX轴的垂线相交于b'’;
(3)根据ab和a’b’作出a’’b’’。
(4)根据已知条件,B点可以在A点的前、后、左、右四种位置,本题有四种答案。
Ⅳ课堂小结
一般位置直线、投影面平行线的投影特性。
Ⅴ布置作业
1.习题集3-7。
§2-2-2直线的投影
(二)
教学目的掌握投影面垂直线的投影。
重点难点投影面垂直线的投影特性。
直线的实长及其与投影面的倾角。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.投影面平行线的投影特性是什么?
Ⅱ导入新课
空间中有一般位置直线,特殊位置直线,特殊位置直线包括投影面平行线和投影面垂直线。
Ⅲ讲解新课
三投影面垂直线
与某一个投影面垂直的直线统称为投影面垂直线,垂直于一个投影面,必平行于另两个投影面。
投影面垂直线有三种情况。
投影面垂直线表3-2
与V面垂直的称为正面垂直线,简称正垂线。
与H面垂直的称为水平面垂直线,简称铅垂线。
与W在垂直的称职为侧面垂直线,简称侧垂线。
如表3-2)所示。
投影面垂直线的共性是:
1.在所垂直的投影面上的投影积聚成一点;
2.其他两投影与相应的投影轴垂直,并都反映实长。
四直线的实长及其与投影面的角
一般位置直线的三面投影图即不反映实长,也不反映倾角,要想求得一般线的实长和倾角,可以采用直角三角形法。
这种利用直角三角形求一般位置直线的实长及倾角的方法称为直角三角形法,其要点是以线段的一个投影为直角边,以线段两端点相对于该投影面的坐标差为另一直角边,所构成的直角三角形的斜边为线段实长。
斜边与线段投影之间的夹角即为直线对该投影面的倾角。
Ⅳ课堂小结
投影面垂直线的投影特性,直线的实长及其与投影面的倾角。
Ⅴ布置作业
1.习题集3-7至3-12。
§2-2-2直线的投影(三)
教学目的掌握点的定比分割特性。
重点难点点的定比分割特性。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1、什么是投影面垂直线的投影特性?
Ⅱ导入新课
直线是由无数个点组成的,这节课研究直线上的点。
Ⅲ讲解新课
五直线上的点
点在直线上,则点的各个投影必在直线的同面投影上;且点分割线段成定比,其投影也把线段的投影分成相同的比例,即点的定比分割特性。
反之,若点的各面投影都在线段的同面投影上,且分线段的投影成相同的比例,则该点一定在此线段上。
如图3-11所示,M在直线AB上,则其投影m、m’、m’’必在AB的相应投影ab、a’b’、a’’b’’上;且AM:
MB=am:
mb=a’m’:
m’b’=a’’m’’:
m’’b’’。
判断点是否在直线上,一般情况下用两面投影即可。
但当直线为特殊位置直线时,须用三面投影或点的定比分割特性来判定。
如图3-12)所示。
图3-11直线上的点图3-12求直线上一点的投影
a)作法一;b)作法二
例3-4已知侧平线AB的两投影ab和a’b’,并知AB线上一点K的V面投影k’,求k(图3-12)。
解求作投影法:
如图3-12a)所示,由ab和a’b’求出a’’b’’;再求k’’,即可作出k。
点的定比分割特性:
如图3-12b)所示,用定比分割特性求作。
因为AK:
:
KB=a’k’:
k’b’=ak:
k’b’,所以可在H面投影中过a作任一辅助线aBo,并使它等于a’b’,再取aKo=a’k’。
连Bob,并过Ko作Kok//Bob交ab于k,即为所求。
Ⅳ课堂小结
点的定比分割特性。
Ⅴ布置作业
1.习题集3-13、3-14。
2.什么是点的定比分割特性?
§2-2-2直线的投影(四)
教学目的掌握两直线的相对位置的投影规律和判断方法。
重点难点两直线的相对位置的投影规律及判断方法。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.什么是点的定比分割特性?
Ⅱ导入新课
空间两直线的相对位置有平行、相交、和交叉三种情况,前两种为同面直线,后一种为异面直线。
这节课研究两直线的相对位置关系。
Ⅲ讲解新课
六两直线的相对位置
1.平行两直线
空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况,前两种为同面直线,后一种为异面直线。
如图3-13)所示。
图3-13空间直线的三种位置关系
a)两直线平行;b)两直线相交;c)两直线交叉
若空间两直线互相平行,则其同面投影互相平行且比值相等,反之,若两直线的同面投影互相平行且比值相等,则空间两直线一定互相平行。
如图3-14所示,如果AB∥CD,则ab∥cd,a’b’∥c’d’,a’’b’’∥c’’d’’;AB:
CD=ab:
cd=a’b’:
c’d’=a’’b’’:
c’’d’’。
在一般情况下,只要直线的任意两同面投影互相平行,就可判明定两直线是平行的,但对与投影面平行的两直线来说,应用三面投影判定。
如图3-15已知两条侧平线CD和EF的V、H面投影平行,但不能确定它们是否平行,必须求出它们的侧面投影才能最后确定。
图3-14平行两直线的投影图3-15判定两直线的相对位置
a)立体图;b)投影图
2.相交两直线
相交两直线,其同面投影必相交,交点符合点的投影规律,各投影交点的连线必垂直于相应的投影轴。
交点为两直线的公共点。
如图3-16所示,相交两直线AB和CD,交点为K,K同时属于AB和CD,是两直线的公共点。
由于线上一点的投影必在该直线的同面投影上,因此k在ab和cd上,这所以k必然是ab和cd的交点;同理k’是a’b’和c’d’的交点;k’’是a’’b’’和c’’d’’的交点。
判定两直线是否相交,对一般位置直线,根据任意两组同面投影即可判断,但当两直线之一为投影面平行线时,则要看该直线在所平行的那个投影面上投影情况。
图3-16相交两直线的投影
a)立体图;b)投影图
3.交叉两直线
交叉两直线即不平行也不相交。
其各面投影即不符合平行两直线的投影特性,也不符合相交两直线的投影特性。
若两直线的同面投影不同时平行,或同面投影虽相交但交点连线不垂直于投影轴,则该两直线必交叉。
交叉两直线的投影可能有一对或两对同面投影互相平行,但决不可能三对同面投影都互相平行。
交叉两直线也可表现为一对、两对或三对同面投影相交,但其交点的连系线不可能符合点的投影规律。
图3-17判定两直线的相对位置
如图3-17所示,两交叉直线AB和CD,其三面投影都相交,但其交点不符合点的投影规律。
ab和cd的交点是AB上的M点和CD上的N点在H面上的重影点,其中M点在上,m可见,N点在下,n为不可见。
同样a’b’和c’d’的交点是CD上的E点和AB上的F点在V面上的重影点,E点在前,e’为可见,F点在后,f’为不可见。
W面投影a’’b’’和c’’d’’的交点也是重影点。
Ⅳ课堂小结
两直线的相对位置的投影规律及判断方法和直角投影定理。
Ⅴ布置作业
1、习题集3-22至3-25。
2、两直线平行及其判定方法;两直线相交及其判定方法;两直线交叉及其判定方法。
§2-2-3平面的投影
(一)
教学目的掌握平面的表示方法和各种位置平面的投影特性。
重点难点各种位置平面的投影特性。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.两直线平行及其判定方法。
Ⅱ导入新课
在投影图中,平面可以用几何元素表示,其有五种表示法。
Ⅲ讲解新课
一、平面的表示法
几何元素表示法
不在同一直线上的三点可以确定一个平面;一直线和直线外一点;相交两直线;平行两
直线;任意平面图形。
二、各种位置平面投影特性
在三投影面体系中,平面与投影面的相对位置,归纳起来有投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面三种。
前两种统称为特殊位置平面。
1.投影面垂直面
垂直于一个投影面,倾斜于其他投影面的平面称投影面垂直面,简称垂直面。
垂直面有三种情况:
垂直于H面的称为水平面垂直面,简称铅垂面;
垂直于V面的称为正面垂直面,简称正垂面;
垂直于W面的称为侧面垂直面,简称侧垂面。
如图3-19和表3-3所示。
图3-19投影面垂直面
投影面垂直面的共性是:
(1)平面在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线,它与相应投影轴所成的夹角,即为该平面对其他两个投影面的倾角;
(2)其他两投影是类似图形,并小于实形。
投影面垂直面表3-3
Ⅳ课堂小结
平面的表示方法和投影面垂直面的投影特性。
Ⅴ布置作业
1.习题集3-15、3-16、3-18、3-19。
2.投影面垂直面的共性是什么?
§2-2-3平面的投影
(二)
教学目的掌握各种位置平面的投影特性。
重点难点各种位置平面的投影特性。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
投影面垂直面的共性是什么?
Ⅱ导入新课
在三投影体系中,根据平面与投影面的相对位置,归纳起来还投影面平行面和一般位置平面。
Ⅲ讲解新课
二、各种位置平面投影特性
2.投影面平行面
平行于某一投影面的平面,称为投影面平行面,简称平行面。
投影面平行面与另外两个面垂直。
投影面平行面有三种情况:
投影面平行面表3-4
与H面平行的称为水平面平行面,简称水平面;
与V面平行的称为正面平行面,简称正平面;
与W面平行的称为侧面平行面,简称侧平面。
如表3-4所示。
投影面平行面的共性:
平面在所平行的投影面上的投影反映实形,其他两投影都积聚成与相应投影轴平行的直线。
3.一般位置平面
图3-20一般位置平面图3-21一般位置平面
a)立体图;b)投影图
与三个投影面既不平行也不垂直的平面称为一般位置平面,简称一般面。
如图3-20中的
平面ACF。
根据平面的投影特点可知,一般面的各个投影都没有积聚性,均小于实形。
如图3-21所示。
Ⅳ课堂小结
两直线的相对位置的投影规律及判断方法和直角投影定理。
Ⅴ布置作业
1、习题集3-17、3-20、3-21。
2.投影面平行面的投影共性是什么?
一般位置平面的投影共性是什么?
§2-2-3平面的投影(三)
§3-5
(一)
教学目的掌握平面上的投影面平行线。
重点难点平面上的投影面平行线。
教学方法讲授为主
复习提问(3分钟);导入新课(2分钟);
讲解新课(70分钟);
小结(3分钟)作业布置(2分钟)。
教学课时2课时
教学过程
Ⅰ复习提问
1.投影面平行面的概念和投影特性;
2.投影面垂直面的概念和投影特性;
Ⅱ导入新课
平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行线。
Ⅲ讲解新课
三、平面上的点和直线
1.平面上的投影面平行线
直线在平面上必须具备下列两条件之一:
(1)直线通过平面上的两点。
如图3-22所示,在平面P上的两条直线AB和BC上各取一点D和E,则过该两点的直线DE必在P面上。
(2)直线通过平面上一点,且平行于该平面上的一直线。
如图3-22所示,过P面上的C点,作CF//AB,AB是平面P内的一条直线,则直线CF必在P面上。
如图3-23所示,要在△ABC上任作一条直线MN,则可在此平面上的两条直线AB和CD上各取点M(m,m’,m’’)和N(n,n’,n’’),连接M和N的同面投影,则直线MN就是△ABC上的一条直线
图3-22平面上的直线图3-23在平面上任作一直线
平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行线。
平面上的投影面平行线有三种:
平面上平行于H面的直线称为平面上的水平线;平行于V面的直线称为平面上的正平线;平行于W面的直线称为平面上的侧平线。
如图3-24所示。
图3-24平面上的投影面平行线
平
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