一元一次方程应用题教师用.docx
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一元一次方程应用题教师用
一元一次方程应用题
类型一和、差、倍、分问题:
(1)倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现。
(2)多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
例1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据,截止到2000年11月1日0时,全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人,比1990年7月1日减少了3.66%,1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度?
分析:
等量关系为:
解:
设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度
答:
略.
1、一个机床厂今年第一季度生产机床180台,比去年同期的二倍多36台,去年一季度产量多少台?
2、某通信公司今年员工人均收入比去年提高20%,且今年人均收入比去年的1.5倍少了1200元,求去年人均收入?
3.“希望工程”委员会将2000元奖金发给全校25名三好学生,其中市级三好学生每人得奖金200元,校级三好学生每人得奖金50元,问全校市级三好学生、校级三好学生各有多少人?
4.一群老人去赶集,集上买了一堆梨,一人1个多一个,一人2个少2个,几位老人几个梨?
类型二、等积变形问题:
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积。
例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯(已装满水)向一个由底面积为
内高为81mm的长方体铁盒倒水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm?
(结果保留整数
)
分析:
等量关系为:
圆柱形玻璃杯体积=长方体铁盒的体积
下降的高度就是倒出水的高度
解:
设玻璃杯中的水高下降xmm
答:
略.
变式练习
1、一个长方形的周长长为26cm,这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm,就可成为一个正方形,求长方形的面积?
类型三、劳力调配问题:
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。
例3.机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?
分析:
列表法。
每人每天
人数
数量
大齿轮
16个
x人
16x
小齿轮
10个
人
等量关系:
小齿轮数量的2倍=大齿轮数量的3倍
解:
设分别安排x名、
名工人加工大、小齿轮
答:
略.
变式练习
1.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有27人,在乙处植树的有18人.如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍,需要从乙队调多少人到甲队?
2.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人,在乙处植树的有17人.现调20人去支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人,应调往甲、乙两处各多少人?
3.5位教师和一群学生一起去公园,教师按全票的票价是每人7元,学生只收半价.如果买门票共花费206.50元,那么学生有多少人?
4.甲队人数是乙队人数的2倍,从甲队调12人到乙队,这时甲队人数比乙队人数的一半多3人,求甲队原来的人数。
类型四:
比例分配问题:
这类问题的一般思路为:
设其中一份为x,利用已知的比,写出相应的代数式。
常用等量关系:
各部分之和=总量。
例4.三个正整数的比为1:
2:
4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是几?
解:
设一份为x,则三个数分别为x,2x,4x
分析:
等量关系:
三个数的和是84
答:
略.
变式练习
1、一足球由黑白两种皮子缝制而成共32块,已知黑白皮子数的比为3:
5,求各多少块?
2.甲、乙二人去商店买东西,他们所带钱数的比是7:
6,甲用掉50元,乙用掉60元,则二人余下的钱数比为3:
2,求二人余下的钱数分别是多少?
类型五:
数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:
一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:
100a+10b+c。
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2N表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。
例5.一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数
等量关系:
原两位数+36=对调后新两位数
解:
设十位上的数字X,则个位上的数是2x,
10×2x+x=(10x+2x)+36解得x=4,2x=8.
答:
略.
变式练习
1、有两个两位数,其十位数字均是个位数字的一半,第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1,第一个数加上第二个数后仍为两位数,且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数,求第一个两位数。
2.一个三位数三个数字之和是24,十位数字比百位数字少2,如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数,而这三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒,求原来的三位数。
类型六:
工程问题:
工程问题中的三个量及其关系为:
工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。
例6.一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
分析设工程总量为单位1,等量关系为:
甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解:
设乙还需x天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,(
+
)×3+
=1, 解这个方程,
+
+
=1
12+15+5x=605x=33 ∴x=
=6
答:
略.
变式练习
1.一项工程,甲、单独做需20天完成,乙单独做需30天完成,如果先由甲单独做8天,再由乙单独做3天,剩下的由甲,乙两人合作还需要几天完成?
2..一项工程,甲独做需12天完成,乙独做24天完成,丙独做需6天完成,现在甲与丙合作2天,丙因事离去,由甲乙合作,甲乙还需几天才能完成这项工程?
3.一部稿件,甲打字员单独打20天可以完成,甲、乙两打字员合打,12天可以完成,现由两人合打7天后,余下部分由乙打,还需多少天完成?
类型七:
行程问题:
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×时间。
(2)基本类型有
①相遇问题;②追及问题;常见的还有:
相背而行;行船问题;环形跑道问题。
(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析,理解行程问题。
例7.甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
(1)分析:
相遇问题,画图表示为:
等量关系是:
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解:
设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480
解这个方程,230x=390
∴x=1
答:
略.
分析:
相背而行,画图表示为:
等量关系是:
两车所走的路程和+480公里=600公里。
解:
设x小时后两车相距600公里,
由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120
∴x=
答:
略.
(3)分析:
等量关系为:
快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。
解:
设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600 50x=120
∴x=2.4
答:
略.
分析:
追及问题,画图表示为:
等量关系为:
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解:
设x小时后快车追上慢车。
由题意得,140x=90x+480
解这个方程,50x=480 ∴x=9.6
答:
略.
分析:
追及问题,等量关系为:
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解:
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得,140x=90(x+1)+480
50x=570 解得,x=11.4
答:
略.
变式练习
1.一队学生去学校外进行军事训练,他们以每小时5千米的速度行进,走了18分钟,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去,通讯员需要多少时间可以追上学生队伍?
2.某桥长1000米,一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到过完桥共用60秒。
而整列火车完全在桥上的时间是40秒,求火车的速度和长度
3.在高速公路上,一辆长5m,速度为110km/h的轿车准备超越一辆长为15m,速度为100km/h的大车,轿车能超过大车吗?
若能,用多长时间?
4.休息日弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家,他们走了1小时后,哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里,便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追,如果弟弟和妈妈每小时行2千米,他们从家里到外婆家需要1小时45分钟,问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗?
类型八:
利润赢亏问题
(1)销售问题中常出现的量有:
进价、售价、标价、利润等
(2)有关关系式:
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
⑴销售利润问题。
利润问题中有四个基本量:
成本(进价)、销售价(收入)、利润、利润率。
基本关系式有:
①利润=销售价(收入)-成本(进价)【成本(进价)=销售价(收入)-利润】;②利润率=
【利润=成本(进价)×利润率】。
在有折扣的销售问题中,实际销售价=标价×折扣率。
打折问题中常以进价不变作相等关系。
⑵优惠(促销)问题。
日常生活中有很多促销活动,不同的购物(消费)方式可以得到不同的优惠。
这类问题中,一般从“什么情况下效果一样分析起”。
并以求得的数值为基准,取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验,预测其变化趋势。
例8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
分析:
探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
x元
8折
(1+40%)x元
80%(1+40%)x
15元
等量关系:
(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15
解:
设进价为X元,80%X(1+40%)—X=15,X=125
答:
略.
例9.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件,后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。
如果商店销售这种商品时,要获利12%,那么这种商品的销售价应定多少?
讲评:
设销售价每件x元,销售收入则为(10+40)x元,而成本(进价)为(5×10+40×12.5),利润率为12%,利润为(5×10+40×12.5)×12%。
由关系式①有
(10+40)x-(5×10+40×12.5)=(5×10+40×12.5)×12% ∴x=14.56
例10 某商品进价1500元,提高40%后标价,若打折销售,使其利润率为20%,则此商品是按几折销售的?
例11.某服装商店出售一种优惠购物卡,花200元买这种卡后,凭卡可在这家商店8折购物,什么情况下买卡购物合算?
讲评:
购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。
设购物x元买卡与不买卡效果一样,买卡花费金额为(200+80%x)元,不买卡花费金额为x元,故有
200+80%x=x ∴ x=1000
当x>1000时,如x=2000 买卡消费的花费为:
200+80%×2000=1800(元)
不买卡花费为:
2000(元) 此时买卡购物合算。
当x<1000时,如x=800 买卡消费的花费为:
200+80%×800=840(元)
不买卡花费为:
800(元) 此时买卡不合算。
变式练习
1、一只钢笔原价30元,现打8折出售,现售价是元;如果这支钢笔的成本价为12元,那么不打折前商家每支可以获利元,打折之后,商家每支还可以获利元
2、一件服装标价200元,①按标价的8折销售,仍可获利20元,该服装的进价是元;
②按标价的8折销售,仍可获利10%,该服装的标价是元
3、一件商品在进价基础上提价20%后,又以9折销售,获利20元,则进价是______元.
设进价x元,根据题意列方程得
4、服装店将某种服装按成本提高40%标价,又以八折优惠卖出,每件仍获利15元,则每件的成本为_________
5、商店对某种商品进行调价,按标价的8折出售,此时商品的利润率是10%,此商品进价是1600元,求商品的标价是多少元?
6、某商场出售某种文具,每件可盈利2元,为支援贫困山区的小朋友,按7折收给某山区学校,结果每件盈利0.20元。
问该文具的进价是每件多少元?
7、某商品按定价销售,每个可获利45元,现在按定价的8.5折出售8个所能获得的利润与按定价每个减价35元出售12个所获得利润一样。
问这种商品每个的进价、定价各是多少元?
8、某人在广州以每件15元的价格购进某种商品10件,后来又从深圳以每件12.5元的价格购进同种商品40件。
如果商店销售这些商品时要获得12%的利润,那么这种商品每件的销售价应该是多少元?
类型九:
储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率(20%)
例12.某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。
半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?
(不计利息税)
分析:
等量关系:
本息和=本金×(1+利率)
解:
设半年期的实际利率为x,
250(1+x)=252.7,
x=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
例13.李勇同学假期打工收入了一笔工资,他立即存入银行,存期为半年。
整存整取,年利息为2.16%。
取款时扣除20%利息税。
李勇同学共得到本利504.32元。
问半年前李勇同学共存入多少元?
讲评:
本题中要求的未知数是本金。
设存入的本金为x元,由年利率为2.16%,期数为0.5年,则利息为0.5×2.16%x,利息税为20%×0.5×2.16%x,由存贷问题中关系式③有 x+0.5×2.16%x-20%×0.5×2.16%x=504.32 ∴x=500
变式练习
1.某企业申请了甲、乙两种不同用途的货款20万元,甲种存款的年利率为5.5%,乙种存款的年利率为4.5%,该企业一年可获得利息9500元,求甲、乙两种货款的钱数?
2.爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7﹪),3年后能取5405元,那么刚开始他存入了多少元?
分类巩固
一、和、差、倍、分问题。
1.某学校组织10名优秀学生春游,预计费用若干元,后来又来了2名同学,原来的费用不变,这样每人可以少摊3元,则原来每人需要付费多少元?
2.七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社,已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人,两个社都参加的有20人,问参加书画社的有多少人?
3.某车间一共有59个工人,已知每个工人平均每天可以加工甲种零件15个,或乙种零件12个,或丙种零件8个,问如何安排每天的生产,才能使每天的产品配套?
(3个甲种零件,2个乙种零件,1个丙种零件为一套)
4.本市中学生足球赛中,某队共参加了8场比赛,保持不败的记录,积18分.记分规则是:
胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分。
你知道这个胜了几场?
又平了几场吗?
二、等积变形问题。
1.已知圆柱的底面直径是60毫米,高为100毫米,圆锥的底面直径是120毫米,且圆柱的体积比圆锥的体积多一半,求圆锥的高是多少?
2.要锻造一个直径为8cm,高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm。
三、调配问题。
1.某中学组织同学们春游,如果每辆车座45人,有15人没座位,如果每辆车座60人,那么空出一辆车,其余车刚好座满,问有几辆车,有多少同学?
2七年级三班学生参加义务劳动,原来每组8人,后来根据需要重新编组,每组14人,这样比原来减少3组。
问这个班共有学生多少人?
3七年级三班学生参加义务劳动,原来每组8人,后来根据需要重新编组,每组14人,这样比原来减少3组。
问这个班共有学生多少人?
四、行程问题。
1..某校学生列队以8千米/时的速度前进,在队尾,校长让一名学生跑步到队伍的最前面找带队老师传达一个指示,然后立即返回队尾,这位学生的速度为12千米/时,从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了7.2分钟,问学生队伍的长是多少米?
2.甲,乙二人在400米的环形跑道上跑步,已知甲的速度比乙快,如果二人在同一地方出发,同向跑,则3分20秒,相遇一次,若反向跑,则40秒相遇,求甲跑步的速度每秒跑多少米?
3.从甲地到乙地,公共汽车原需行驶7个小时,开通高速公路后,车速平均每时增加了20千米,只需5个小时即可到达,求甲、乙两地的路程.
4.一队学生去校外进行训练,他们以5千米/时的速度行进,走了18分的时候,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员需多少时间可以追上学生队伍?
5.A、B两地相距64千米,甲从A地出发,每小时行14千米,乙从B地出发,每小时行18千米,
(1)若两人同时出发相向而行,则需经过几小时两人相遇?
(2)若两人同时出发相向而行,则需几小时两人相距16千米?
(3)若甲在前,乙在后,两人同时同向而行,则几小时后乙超过甲10千米?
6.某人骑车以每小时10千米的速度从甲地到乙地,返回时因事绕道而行,比去时多走8千米,虽然速度增加到了每小时12千米,但比去时还多用了10分钟,求甲、乙两地的距离。
7.甲、乙两地相距240千米,从甲站开出来一列慢车,速度为每小时80千米;从乙站开出一列快车,速度为每小时120千米。
问:
如果两车同向开出,同向而行(快车在后),那么经过多长时间快车可以追上慢车?
五、工程问题。
1.一项工程,甲单独完成需要9天,乙单独完成需12天,丙单独完成要15天,若甲、丙先做3天后,甲因故离开,由乙接替甲的工作,问还需多少天能完成这项工程的 ?
2.一件工作,甲单独做6小时完成,乙单独做12小时完成,丙单独做18小时完成,若先由甲、乙合做3小时,然后由乙丙合做,问共需几小时完成?
3.某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该班组每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件,求该班组要完成的零件任务为多少?
4、 非典时期学校整治校园环境,清理一个多年的垃圾堆,初三年级一个班需15小时完工,初二年级一个班需20小时完工,初一年级一个班30小时完工。
现初三一个班,初二一个班合作6小时,再由初一一个班单独继续去做,还需几小时完工?
七、销售问题。
1某种商品进货后,零售价定为每件900元,为了适应市场竞争,商店按零售价的九折降价,并让利40元销售,仍可获利10%(相对于进价),问这种商品的进价为多少元?
2.某商场将彩电先按原售价提高30%,然后再在广告中写上“大酬宾、八折优惠”,结果每台彩电比原售价多赚了112元,求每台彩电的原价应是多少元?
3、某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中,这家商店盈还是亏?
4、某种商品的零售价为每件900元,为了适应市场竟争,商店按零售价的九折降价并让利40元销售,仍可获利10%。
则进价为每件多少元?
5、某产品按原价提高40%后打八折销售,每件商品赚270元,问该商品原标价多少元?
现销售价是多少?
6、某进货价为100元的商品标价为150元,老板要求以不低于5%的利润率出售,售货员最低可以优惠打几折出售该商品?
7、某商店一次卖出两台不同品牌的产品,其中一台赚了12%,另一台赔了12%,且这两件商品的售价均为3080元,问该商店本次交易的盈利情况.
8、甲乙两件衣服的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将家服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价,在实际销售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲乙两件服装成本各是多少元?
9、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包的单价也相同,随身听和书包的单价和味452元,且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元。
某天该超市打折,A超市所有商品打8折出售,B超市购物每满100元返购物卷30元,但他只带了400元钱,如果他只在一家超市购买看中的两件物品,你能说明他可以选择哪一家吗?
若两家都可以选择,哪家更省钱呢?
10、某商店购进一批节能灯,每个13元,运输过程中损坏了12个,出售单价为15元,获利1020元,求购进多少个节能灯?
八、银行储蓄问题。
1.某储蓄所去年储户存款为4600万元,今年与去年相比,定期存款增加20%,而活期存款减少25%,但总存款增加15%,问今年定期,活期存款各是多少?
2..小丽的爸爸前年存了年利率为2.25%的二年期定储蓄,今年到期后,扣除利息的20%作为利息税,所得利息正好为小丽买了一只价值36元的计算器,问小丽爸爸前年存了多少元钱?
3.某人买了2000元的融资券,一种是一年期年利率为9%,另一种为两年期年利率为12%,分别在一年和两年到期时取出,共得利息450元,问两种融资券各买多少?
九、数字问题。
1.三个连续整数的和为72,则这三个数分别是多少?
2.有两个两位数,其十位数字均是个位数字的一半,第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1,第一个数加上第二个数后仍为两位数,且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数,求第一个两位数。
3、有一个三位数,十位数字是个位数字2倍,百位数字比个位数字大3,如果把十位上的数字与百位上的数字对调,新的三位数与原来三位数和为1246,求原来的三位数。
十、年龄问题其基本数量关
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