专升本高等数学笫4讲练习题.docx

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专升本高等数学笫4讲练习题

笫4讲练习题

2.求下列函数的间断点,并指出它属于哪一类

（121（2yx=+;（2

2

21

32xyxx-=-+;（322,02,022,0

xxyxxx+<⎧⎪==⎨⎪->⎩

3.求极限23（24sin

lim271

xxxxxx→∞++-+

5.求极限

;

;

（32

01coslimxx

x→-

6.0limxxx

→

7.求导数

（1（

'

2sin3ln5x

xe-+

（2（

'

24ln3cosxxe

-+

（3'

2x⎛-⎝

（4（'

⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

8（1设函数（cosfxx=,则'（4fπ

=__________;

（2设函数（3lnfxx=,则1

'（2

f=__________;

9.设函数yx=,则'y=

A.1

B.x

C.22

xD.2

x[]

10（1设函数（xf在1=x处可导,且xfxfx∆-∆+→∆1（21（lim

0=2

1,则1（'

f=

A.21

B.41

C.41-

D.2

1

-[]

（2设函数（xf在点0=x处可导,且10（'=f,求x

fxfx

0（3（lim

-→.

11.求极限

;

;

;

12.求极限（1x

xx

x32（

lim-∞

→;（21

01lim（

1xxx

→+.

14.利用乘除公式求导数（1（

'

sinx

ex

（2（lnxfxex=⋅,求'（1f（3（'

coslnxx⋅

（4

'

sinx

（5'

3xex⎛⎫⎪⎝⎭

（6'

3311xx⎛⎫-⎪+⎝⎭

15.论证初等函数求导表中公式（（'

'

22

1tan,tanseccosxxxx

==或

提示

1.因为在0x=

处连续,所以00（0lim（xxffx→→==,此极限可用有理化方法得到.

2.令分母为零,得到间断点,然后求x趋向于此间断点时函数的极限,在下述三者中选择:

可去型、跳跃型与无穷型.

3先写成23（24

lim[sin]271xxxxxx→∞++⋅-+,第一个函数是有理分式,其极限属∞∞

型,可用量级比

较知道它为无穷小,笫二个函数是有界函数.

5.这3个小题都可用“等价无穷小替换法”化简,先回忆等价无穷小替换表

2

0,~sin~tan~arcsin~arctan~1~ln（11cos~

2

xxxxxxx

exxx→-+-

（1sin~（0arcxx

x→

（2ln（12~2,tan5~5（0xxxxx+→

（32

1cos~（02

xxx-→7（3把各式写成x的幂次式,然后利用幂函数求导公式把每项导数求出来。

注意,所得的分数幂次式不必返回为根式。

（4第一步把各根式写成幂次式,笫二步把相乘的两式打开来得到4项,笫三步利用公式

bcbcaaa+⋅=把每项化简,最后一步利用幂函数公式把每项导数求出来。

注意,所得的分数

幂次式不必返回为根式。

11.这四个小题都可用“等价无穷小替换法”化简,先回忆等价无穷小替换表

2

0,~sin~tan~arcsin~arctan~1~ln（11cos~

2

xxxxxxx

exxx→-+-

（1sin~（0arcxx

x→

（2ln（12~2,tan5~5（0xxxxx+→（322sin（1~1（1xxx--→（422

tan（2~2（0xxxxx++→

12（13322

lim（

lim（1xxxxxxx

→∞

→∞-=-=

（21

1

110

00

1

1

1lim（

lim

1（1

lim（1

x

x

xxx

x

xx

xx→→→==

=+++

13.参照课堂上巳讲的相关例题.

15.第一步利用sintancosx

xx

=

笫二步用除法求导公式,笫三步利用公式22sincos1xx+=,最后一步利用公式

1

seccosxx

=

解答

1.12

2（1令分母为零,得2

（20x+=,分母有零点-2,2

2

1

lim

（2

xx→-=∞+,所以x=-2属无穷型.（2令分母为零,得2320,（1（20,xxxx-+=--=分母有零点1与2,所以本小题有两个间断点1与2.

当x=1时,22

1111（1（1111

limlimlim232（1（2212

xxxxxxxxxxxx→→→-+-++====--+----,注意,这个极限是双边极限,表明1x→时左右极限皆存在且相等（皆为-2,从而x=1属可去型;

当x=2时,

222221（1（11limlimlim32（1（22

xxxxxxxxxxxx→→→-+-+===∞-+---,所以x=2属无穷型.（30

（0lim（222xfx--

→=+=,0

（0lim（222xfx+

+

→=-=-,（02,22f=≠-,所以有间断点x=0,属跳跃型.

304.D5（1

23;（225;（312

6.

1,01,0xx

xx>⎧=⎨-<⎩,左极限00（0limlim（11xxxfx--

-→→==-=-右极限

000（0limlim11,11,lim

xxxxx

fxx++

+

→→→===-≠∴不存在.

7（12cos3x

xe-（2

4

3sinxx

+

（3112

32223242xxxx------+或

（4é2êë56（x-3x53）（14153x+-3x4x2）ù=[（2x2-3x5（x3+x2]'úû53-16'13111110=[2x+2x-3x]'=x+2-145-115x-33101x108（1f'（x=（cosx'=-sinx,f'（p4=-sinp4=-22;（2f'（x=（3lnx'=3（lnx'=313,f'（==6.x2æ1öç÷è2ø9.y'=x'=（x1）'=1×x1-1=1,\选A.10（1limf（1+2Dx-f（1Dx1,\f'（1=2f（3x-f（0x251eDx®0=2limf（1+2Dx-f（12DxDx®0=2f'（12f'（1=14,故选B.f（3x-f（03x=3f'（0=3´1=3.（2limx®0=3limx®011（123;（2;（32;（42.12（1e-6;（2.13.解.令f（x=x-4x+1，由初等函数连续性，它在[0,1]上连续，32f（0=1>0,f（1=-2<0,由零点存在定理，至少有一个xÎ（0,1，成立f（x=0，即x-4x+1=0,此x是原方程的一个根.3214（1e×sinx+e×cosxxx（2f'（x=elnx+xex,f'（1=eln1+1e1=ex1（3-sinx×lnx+cosxx6

（421x×sinx+x×cosx（5（x-3ex4x（66x22（x3+1）15.（tanx）'=ç（sinx）'cosx-sinx（cosx）'æsinxö÷'=2cosxècosxøcosx+sinx22=cosx2=1cosx2=secx27