数学选修22知识点总结.docx
- 文档编号:298524
- 上传时间:2022-10-08
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:167.76KB
数学选修22知识点总结.docx
《数学选修22知识点总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学选修22知识点总结.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学选修22知识点总结
数学选修2-2知识点总结
导数及其应用
一.导数概念的引入
1.导数的物理意义:
瞬时速率。
一般的,函数
在
处的瞬时变化率是
,
我们称它为函数
在
处的导数,记作
或
,即
=
2.导数的几何意义:
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
趋近于
时,直线
与曲线相切。
容易知道,割线
的斜率是
,当点
趋近于
时,函数
在
处的导数就是切线PT的斜率k,即
3.导函数:
当x变化时,
便是x的一个函数,我们称它为
的导函数.
的导函数有时也记作
即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若
(c为常数),则
;2若
则
;
3若
则
4若
则
;
5若
则
6若
则
7若
则
8若
则
导数的运算法则
1.
2.
3.
复合函数求导
和
称则
可以表示成为
的函数,即
为一个复合函数
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
在某个区间
内
(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;
(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
的极值的方法是:
(1)如果在
附近的左侧
右侧
那么
是极大值
(2)如果在
附近的左侧
右侧
那么
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数
在
内的极值;
(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
推理与证明
考点一合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三数学归纳法
1.它是一个递推的数学论证方法.
2.步骤:
A.命题在n=1(或
)时成立,这是递推的基础;B.假设在n=k时命题成立;C.证明n=k+1时命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=
且
)结论都成立。
考点三证明
1.反证法:
2、分析法:
3、综合法:
数系的扩充和复数的概念
复数的概念
(1)复数:
形如
的数叫做复数,
和
分别叫它的实部和虚部.
(2)分类:
复数
中,当
就是实数;
叫做虚数;当
时,叫做纯虚数.
(3)复数相等:
如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4)共轭复数:
当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5)复平面:
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行
设
则
(1)
(2)
(3)
2,几个重要的结论
(1)
(2)
(3)若
为虚数,则
3.运算律
(1)
;
(2)
;(3)
4.关于虚数单位i的一些固定结论:
(1)
(2)
(3)
(2)
数学选修2-3
第一章计数原理
知识点:
1、分类加法计数原理:
做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1种不同的方法,在第二类办法中有M2种不同的方法,……,在第N类办法中有MN种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:
做一件事,完成它需要分成N个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有M2不同的方法,……,做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有N=M1M2...MN种不同的方法。
3、排列:
从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
4、排列数:
5、组合:
从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
6、组合数:
7、二项式定理:
8、二项式通项公式
第二章随机变量及其分布
1、随机变量:
如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、离散型随机变量:
在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:
一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn
X取每一个值xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X的概率分布,简称分布列
4、分布列性质①pi≥0,i=1,2,… ;②p1+p2+…+pn=1.
5、二点分布:
如果随机变量X的分布列为:
其中0
6、超几何分布:
一般地,设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,则它取值为k时的概率为
,
其中
且
7、条件概率:
对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率
8、公式:
9、相互独立事件:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
10、n次独立重复事件:
在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布:
设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数,A发生次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在n次独立重复试验中
(其中k=0,1,……,n,q=1-p)
于是可得随机变量ξ的概率分布如下:
这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数
12、数学期望:
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离散型随机变量。
13、方差:
D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+......+(xn-Eξ)2·Pn叫随机变量ξ的均方差,简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:
期望
方差
两点分布
Eξ=p
Dξ=pq,q=1-p
二项分布,ξ~B(n,p)
Eξ=np
Dξ=qEξ=npq,(q=1-p)
15、正态分布:
若概率密度曲线就是或近似地是函数
的图像,其中解析式中的实数
是参数,分别表示总体的平均数与标准差.
则其分布叫正态分布
,f(x)的图象称为正态曲线。
16、基本性质:
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线x=
对称,且在x=
时位于最高点.
③当时
,曲线上升;当时
,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
④当
一定时,曲线的形状由
确定.
越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、3
原则:
从上表看到,正态总体在
以外取值的概率只有4.6%,在
以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
第三章统计案例
独立性检验
假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表为:
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H1:
“X与Y有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
具体的做法是,由表中的数据算出随机变量K^2的值(即K的平方) K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+b+c+d为样本容量,K2的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K2≤3.841时,X与Y无关;K2>3.841时,X与Y有95%可能性有关;K2>6.635时X与Y有99%可能性有关
回归分析
回归直线方程
其中
高中数学选修4-1知识点总结
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2:
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定:
定义:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑6个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法:
(1)两角对应相等,两三角形相似;
(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
(3)三边对应成比例,两三角形相似。
预备定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1:
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简述为:
两角对应相等,两三角形相似。
判定定理2:
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简述为:
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
判定定理3:
对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
简述为:
三边对应成比例,两三角形相似。
引理:
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理:
(1)如果两个直角三角形有
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 选修 22 知识点 总结