人教版七年级数学上册期末高效复习题专题3 一元一次方程.docx
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人教版七年级数学上册期末高效复习题专题3一元一次方程
专题3 一元一次方程[学生用书A66]
题型一 一元一次方程及其解的概念
典例已知(a2-1)x2-(a+1)x+8=0是关于x的一元一次方程.
(1)求代数式2019(a+x)(x-2a)+3a+5的值;
(2)求关于y的方程a|y|=x的解.
解:
(1)根据题意得a2-1=0,且-(a+1)≠0,
解得a=1,则方程是-2x+8=0,解得x=4,
原式=2019×(1+4)×(4-2)+3+5=20198;
(2)当a=1,x=4时,|y|=4,∴y=±4.
【点悟】 一元一次方程的一般形式,未知数的指数是1,一次项系数不是0,特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件,这是这类题目考查的重点.
变式跟进 1.已知方程x2k-1+k=0是关于x的一元一次方程,则方程的解等于( A )
A.-1B.1C.
D.-
2.关于x的方程3(x+1)-6a=0的解是-2,则a的值是( C )
A.-2B.2C.-
D.
【解析】把x=-2代入原方程得到3×(-2+1)-6a=0,解得a=-
.
题型二 等式的性质
典例[2018秋·台州期中]已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是( B )
A.3a-5=2bB.3ac=2bc+5
C.3a+1=2b+6D.a=
b+
【解析】A.等式的两边同时减去5即可成立;
C.等式的两边同时加上1即可成立;
D.等式的两边同时除以3即可成立.故选B.
【点悟】 等式性质:
1.等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍成立;2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母,等式仍成立.
变式跟进 3.若x=y,m为任意有理数,则下列等式一定成立的有( B )
①mx=my;②m+x=m+y;③
=
.
A.3个B.2个C.1个D.0个
4.下列变形正确的是( D )
①由-3+2x=5,得2x=5-3;
②由3y=-4,得y=-
;
③由x-3=y-3,得x-y=0;
④由3=x+2,得x=3-2.
A.①②B.①④
C.②③D.③④
题型三 一元一次方程的解法
典例解下列方程:
(1)4-4(x-3)=2(9-x);
(2)x-
=
-3.
解:
(1)去括号得4-4x+12=18-2x,移项得-4x+2x=18-4-12,合并得-2x=2,解得x=-1;
(2)去分母得15x-3(x-2)=5(2x-5)-45,去括号得15x-3x+6=10x-25-45,移项合并得2x=-76,解得x=-38.
【点悟】 解一元一次方程的步骤为去分母,去括号,移项合并,把未知数系数化为1.
变式跟进 5.[2018秋·南开区期中]下列各项中:
①由3x=-4系数化为1,得x=-
;
②由5=2-x移项,得x=5-2;
③由
=1+
去分母,得2(2x-1)=1+3(x-3);
④由2(2x-1)-3(x-3)=1去括号,得4x-2-3x-9=1.
正确的个数有( A )
A.0个B.1个
C.3个D.4个
6.某同学解方程5x-1=□x+3时把□处数字看错,得x=-
,则他把□处看成了( C )
A.3B.-9
C.8D.-8
【解析】把x=-
代入5x-1=□x+3,得-
-1=-
□+3,解得□=8.
7.[2018春·洛宁期中]某同学在解方程
=
-1去分母时,方程右边的-1忘记了乘3,因而求得方程的解为x=2.则a的值为__2__,原方程的解为__x=0__.
【解析】方程右边的(-1)项没有乘3,则所得的式子是2x-1=x+a-1,把x=2代入,得4-1=2+a-1,解得a=2.则原方程是
=
-1,去分母,得2x-1=x+2-3,解得x=0.
8.解方程:
(1)2x-(x+10)=6x;
(2)
=3+
.
解:
(1)方程去括号,得2x-x-10=6x,移项合并,得5x=-10,解得x=-2;
(2)方程去分母,得2(x+1)=12+2-x,去括号,得2x+2=12+2-x,移项合并,得3x=12,解得x=4.
题型四 一元一次方程的应用
典例[2018春·新泰期中改编]某网站在线课程有两种收费方式,用户可以任意选择其中一种:
第一种是计时制,0.06元/分;第二种是包月制,72元/月(限一个账号).此外,每一种听课方式都得加收资料费0.01元/分.
(1)若小明今年三月份听课的时间为x小时,请你分别写出两种收费方式下小明应支付的费用;
(2)小明一个月内上课多少小时,两种方式收费相同?
(3)若小明估计他一个月内上课的时间为25小时,你认为他采用哪种方式较为合算?
解:
(1)采用计时制应付的费用为0.06×60x+0.01×60x=4.2x元;
采用包月制应付的费用为72+0.01×60x=(72+0.6x)元.
(2)设小明一个月内上课m小时两种方式收费相同,
根据题意得4.2m=72+0.6m,解得m=20.
答:
小明一个月内上课20小时,两种方式收费相同.
(3)当x=25时,4.2x=4.2×25=105,
72+0.6x=72+0.6×25=87.
∵105>87,∴小明采用包月制合算.
【点悟】 一元一次方程的应用,常见的有以下几种问题:
(1)和差倍分问题;
(2)利息、利润问题;(3)行程问题;(4)分段计费问题;(5)工程问题;(6)数字问题;(7)年龄问题;(8)决策类问题等.应熟悉每种问题的特点,以及找等量关系的常用方法(如列表法、画线段图法等).
变式跟进 9.最近红旗商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:
此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款),花300元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的八折购物.
(1)顾客购买多少元金额的商品时,买卡与不买卡花费相等?
在什么情况下购物合算?
(2)小张要买一台标价为3500元的冰箱,如何购买合算?
小张能节省多少元钱?
(3)小张按合算的方案,把这台冰箱买下,如果红旗商场还能盈利25%,这台冰箱的进价是多少元?
解:
设顾客购买x元金额的商品时,买卡与不买卡花钱相等.根据题意,得
300+0.8x=x,解得x=1500,
所以,当顾客消费少于1500元时不买卡合算;
当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等;
当顾客消费大于1500元时买卡合算.
(2)小张买卡合算,
3500-(300+3500×0.8)=400,
所以,小张能节省400元钱.
(3)设进价为y元,根据题意,得
(300+3500×0.8)-y=25%y,解得y=2480.
答:
这台冰箱的进价是2480元.
10.[2017秋·确山期末]某校组织学生走上街头宣传雾霾的危害,他们要复印一部分宣传资料(不少于20页),校门口有两家复印店.
甲店收费标准:
复印页数不超过20时,每页收费0.12元,超过20时,超过部分每页收费降为0.09元;
乙店收费标准:
不论复印多少页,每页收费0.1元.
(1)复印页数为多少时,两家店收费一样;
(2)请你帮他们分析去哪家店比较合算.
解:
(1)设复印页数为x时,两家店收费一样.
根据题意,得0.12×20+0.09(x-20)=0.1x,
解得x=60.
答:
当复印页数为60时,两家店收费一样;
(2)由
(1)得当复印页数小于60时,去乙店合算;当复印页数大于60时,去甲店合算.
11.如图Z3-1,已知数轴上有三点A,B,C,它们对应的数分别为a,b,c,且c-b=b-a,点C对应的数是20.
图Z3-1
(1)如图①,若BC=30,求a,b的值;
(2)如图②,在
(1)的条件下,动点P,Q分别从A,C两点向左运动,同时动点R从B点出发向右运动,点P,R,Q的速度分别为8个单位长度/s、4个单位长度/s、2个单位长度/s,点M为线段PR的中点,点N为线段RQ的中点,在R,Q相遇前多少秒时恰好满足MR=4RN;
(3)如图③,在
(1)的条件下,O为原点,动点P,Q分别从A,C同时运动,P向左运动,Q向右运动,P点的运动速度为8个单位长度/s,点Q的速度为4个单位长度/s,N为OP的中点,M为BQ的中点,在P,Q的运动过程中,PQ与MN的长存在一个确定的相等关系,请指出它们的关系,并说明理由.
解:
(1)∵BC=30,∴c-b=b-a=30,
∵点C对应的数为20,
∴点A对应的数为20-60=-40,点B对应的数为20-30=-10,
∴a的值为-40,b的值为-10;
(2)由
(1)可得AB=BC=30,
在R,Q相遇前,Q在R右边,设xs时恰好满足MR=4RN,
∵MR=
(8x+4x+30),RN=
(30-4x-2x),
∴
(8x+4x+30)=4×
(30-4x-2x),
解得x=2.5,
∴2.5s时恰好满足MR=4RN;
(3)PQ-2MN=10.理由:
设运动的时间为t,则AP=8t,CQ=4t,
由
(1)可得AB=BC=30,点C表示20,
∴AO=40,AC=60,BO=10,
∴PQ=AP+AC+CQ=8t+60+4t=60+12t,
∵N为OP的中点,M为BQ的中点,
∴NO=
OP,BM=
BQ,
∴MN=NO+MB-OB=
OP+
BQ-OB=
(40+8t)+
(30+4t)-10=25+6t,
∴PQ-2MN=(60+12t)-2(25+6t)=10,
即PQ-2MN的值不发生变化,是定值10.
1.下列利用等式的性质,错误的是( D )
A.由a=b,得到1-a=1-b
B.由
=
,得到a=b
C.由a=b,得到ac=bc
D.由ac=bc,得到a=b
2.在解方程3(x-1)-2(2x+3)=6时,去括号正确的是( B )
A.3x-1-4x+3=6
B.3x-3-4x-6=6
C.3x+1-4x-3=6
D.3x-1+4x-6=6
3.[2017·独山校级期中]已知|m-2|+
=0,则方程2m+x=n的解是( B )
A.x=-4B.x=-3
C.x=-2D.x=-1
【解析】∵|m-2|+
=0,∴m=2,n=1,代入方程得4+x=1,解得x=-3.
4.[2017·金牛区校级期中]要锻造直径为2cm,高为16cm的圆柱形机器零件10件,则需直径为4cm的圆钢柱长( D )
A.10cmB.20cm
C.30cmD.40cm
【解析】设应截取直径4cm的圆钢xcm,由题意得π×
×16×10=π×
·x,解得x=40.
5.[2018·河北模拟]大学生嘉嘉假期去图书馆做志愿者服务,并与图书馆达成如下协议:
做满30天,图书馆将支付给他一套名著和生活费600元,但他在做到20天时,由于学校有临时任务,只能终止服务,图书馆只付出一套名著和300元,设这套名著的价格为x元,则下面所列方程正确的是( B )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
6.[2017·虎林校级期中]定义一种新运算“⊕”,其运算规则为a⊕b=-2a+3b,如1⊕5=(-2)×1+3×5=13,则方程x⊕2=0的解为__3__.
【解析】根据题意得x⊕2=-2x+6=0,解得x=3.
7.一件服装的标价为300元,打八折销售后可获利60元,则该件服装的成本价是__180__元.
【解析】设该件服装的成本价是x元,依题意得300×
-x=60,解得x=180.∴该件服装的成本价是180元.
8.若关于x的一元一次方程
-
=1的解是x=-1,则k的值是__1__.
【解析】把x=-1代入原方程得到
-
=1,去分母得-4-2k+3+9k=6,移项、合并同类项得7k=7,解得k=1.
9.解下列关于x的一元一次方程:
(1)5x+2(3-2x)=-3;
(2)
-
=1.
解:
(1)去括号,得5x+6-4x=-3,
移项,得5x-4x=-3-6,
合并同类项,得x=-9;
(2)方程两边同时乘以15,得3(x-3)-5(x-4)=15,
去括号,得3x-9-5x+20=15,
移项,得3x-5x=15-20+9,
合并同类项,得-2x=4,
系数化为1,得x=-2.
10.某车间有技术工人85人,平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个.2个甲种部件和3个乙种部件配成一套,问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套?
解:
设安排x人加工甲部件,则安排(85-x)人加工乙部件,根据题意得
3×16x=2×10×(85-x),
解得x=25,所以85-25=60(人).
答:
安排25人加工甲部件,安排60人加工乙部件.
11.某公司要把一批物品运往外地,现有两种运输方式可供选择:
方式一:
使用快递公司运输,装卸费400元,另外每千米再加收4元;
方式二:
使用火车运输,装卸费820元,另外每千米再加收2元.
(1)若两种运输的总费用相等,则运输路程是多少?
(2)若运输路程是800km,这家公司应选用哪一种运输方式?
解:
(1)设运输路程是xkm,根据题意得
400+4x=820+2x,解得x=210.
答:
若两种运输的总费用相等,则运输路程是210km;
(2)若运输路程是800km,
选择方式一运输的总费用是
400+4×800=3600(元),
选择方式二运输的总费用是
820+2×800=2420(元),2420<3600,
所以若运输路程是800km时,这家公司应选用方式二的运输方式.
12.[2017·巴南区期中]如图1①中有1个“圆”,图②中有3个“圆”,图③中有6个“圆”,…依此规律,图⑩中有n个“圆”,这里的n的值是( C )
图1
A.10B.25C.55D.110
【解析】观察图形发现:
第1个图形有1个圆;第2个图形有1+2=3个圆;第3个图形有1+2+3=6个圆,…第n个图形有1+2+3+…+n=
个圆,当n=10时,
=55个圆.
13.观察“田”字中各数之间的关系:
则c的值为__270(或28+14)__.
【解析】通过观察可知:
左上角格子中的顺序规律为2n-1,左下角格子中的顺序规律为2n,右下角格子中的顺序规律为2n+(2n-1),左上角格子中的顺序规律为2n+(2n-1)-1.由2n-1=15,解得n=8,∴c=28+(2×8-1)-1=28+14=270.
14.[2018秋·和平区期中]点A,B,C在数轴上表示的数是a,b,c,且满足(a+3)2+|b-24|=0,多项式x|c+3|y2-cx3+xy2-1是五次四项式.
(1)a的值为__-3__,b的值为__24__,c的值为__-6__.
(2)已知点P,Q是数轴上的两个动点,点P从点C出发,以每秒3个单位的速度向右运动,同时点Q从点B出发,以每秒7个单位的速度向左运动:
①若点P和点Q经过ts后,在数轴上的点D处相遇,求t的值和点D所表示的数;
②若点P运动到点A处,点Q再出发,则点P运动几秒后两点之间的距离为5个单位长度?
解:
(1)∵(a+3)2+|b-24|=0,
∴a+3=0,b-24=0,
∴a=-3,b=24;
∵多项式x|c+3|y2-cx3+xy2-1是五次四项式,
∴|c+3|=3,c≠0,∴c=-6.
(2)①当运动时间为ts时,点P所表示的数是3t-6,点Q所表示的数是-7t+24,
根据题意得3t-6=-7t+24,
解得t=3,∴3t-6=3.
答:
t的值为3,点D所表示的数是3;
②当运动时间为ts时(t>1),点P所表示的数是3t-6,点Q所表示的数是-7(t-1)+24,
根据题意得|(3t-6)-[-7(t-1)+24]|=5,
解得t1=3.2,t2=4.2.
答:
点P运动3.2或4.2s后两点之间的距离为5个单位长度.
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