高三一轮复习热点题型53平面向量的数量积.docx
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高三一轮复习热点题型53平面向量的数量积
1.两个向量的夹角
(1)定义
已知两个非零向量a,b,作=a,=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉.
(2)范围
向量夹角〈a,b〉的范围是[0,π],且〈a,b〉=〈b,a〉.
(3)向量垂直
如果〈a,b〉=,则a与b垂直,记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图),作=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
=a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则由三角函数中的余弦定义有al=|a|cosθ.
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义
|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)向量数量积的性质
①如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos〈a,e〉;
②a⊥b⇔a·b=0;
③a·a=|a|2,|a|=;
④cos〈a,b〉=(|a||b|≠0);
⑤|a·b|__≤__|a||b|.
(3)数量积的运算律
①交换律:
a·b=b·a.
②对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
③分配律:
(a+b)·c=a·c+b·c.
(4)数量积的坐标运算
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则
①a·b=a1b1+a2b2;
②a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;
③|a|=;
④cos〈a,b〉=.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )
(2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量,而不是向量.( × )
(3)在四边形ABCD中,=且·=0,则四边形ABCD为矩形.( × )
(4)两个向量的夹角的范围是[0,].( × )
(5)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )
(6)(a·b)c=a(b·c).( × )
1.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,则向量a与向量a+2b的夹角等于( )
A.150°B.90°
C.60°D.30°
答案 D
解析 设向量a与向量a+2b的夹角为θ.
∵|a+2b|2=4+4+4a·b=8+8cos60°=12,
∴|a+2b|=2,
a·(a+2b)=|a|·|a+2b|·cosθ
=2×2cosθ=4cosθ,
又a·(a+2b)=a2+2a·b=4+4cos60°=6,
∴4cosθ=6,cosθ=,
∵θ∈[0°,180°],
∴θ=30°,故选D.
2.(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·等于( )
A.-a2B.-a2
C.a2D.a2
答案 D
解析
如图所示,
由题意,得BC=a,CD=a,∠BCD=120°.
BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°=a2+a2-2a·a×=3a2,
∴BD=a.
∴·=||||cos30°=a2×=a2.
3.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=________.
答案 3
解析 ∵|a|2=a·a=(3e1-2e2)·(3e1-2e2)
=9|e1|2-12e1·e2+4|e2|2=9-12×1×1×+4=9.∴|a|=3.
4.已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________.
答案 90°
解析 由=(+)可知点O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以与的夹角为90°.
5.(教材改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的正射影的数量为________.
答案 -2
解析 由数量积的定义知,b在a方向上的正射影的数量为|b|cosθ=4×cos120°=-2.
题型一 平面向量数量积的运算
例1
(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·等于( )
A.20B.15C.9D.6
(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.
答案
(1)C
(2)1 1
解析
(1)=+,
=-=-+,
∴·=(4+3)·(4-3)
=(162-92)=(16×62-9×42)=9,
故选C.
(2)
方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设
E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.
因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,
故·的最大值为1.
方法二
由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的正射影都是,
∴·=||·1=1,
当E运动到B点时,在方向上的正射影的数量最大即为DC=1,
∴(·)max=||·1=1.
思维升华
(1)求两个向量的数量积有三种方法:
利用定义;利用向量的坐标运算;利用向量的正射影.
(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
(1)
如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·=________.
(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.
答案
(1)22
(2)2
解析
(1)由=3,得==,=+=+,=-=+-=-.因为·=2,所以(+)·(-)=2,即2-·-2=2.又因为2=25,2=64,所以·=22.
(2)由题意知:
·=(+)·(-)
=(+)·(-)
=2-·-2=4-0-2=2.
题型二 用数量积求向量的模、夹角
命题点1 求向量的模
例2
(1)已知向量a,b均为单位向量,它们的夹角为,则|a+b|等于( )
A.1B.
C.D.2
(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.
答案
(1)C
(2)+1
解析
(1)因为向量a,b均为单位向量,它们的夹角为,所以|a+b|==
==.
(2)设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.
又O++=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),
∴|++|=.
问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)的距离的最大值.
∵圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,
故的最大值为+1.
命题点2 求向量的夹角
例3
(1)(2015·重庆)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
A.B.
C.D.π
(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是________________________________________________________________________.
答案
(1)A
(2)∪
解析
(1)由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又∵|a|=|b|,设〈a,b〉=θ,
即3|a|2-|a|·|b|·cosθ-2|b|2=0,
∴|b|2-|b|2·cosθ-2|b|2=0,∴cosθ=.
又∵0≤θ≤π,∴θ=.
(2)∵2a-3b与c的夹角为钝角,
∴(2a-3b)·c<0,
即(2k-3,-6)·(2,1)<0,
∴4k-6-6<0,
∴k<3.
又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.
当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,
即2a-3b与c反向.
综上,k的取值范围为∪.
思维升华
(1)根据平面向量数量积的定义,可以求向量的模、夹角,解决垂直、夹角问题;两向量夹角θ为锐角的充要条件是cosθ>0且两向量不共线;
(2)求向量模的最值(范围)的方法:
①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=________.
(2)在△ABC中,若A=120°,·=-1,则||的最小值是( )
A.B.2
C.D.6
答案
(1)
(2)C
解析
(1)∵|a|=
==3,
|b|===2,
∴a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e-9e1·e2+2e
=9-9×1×1×+2=8,
∴cosβ==.
(2)∵·=-1,
∴||·||·cos120°=-1,
即||·||=2,
∴||2=|-|2=2-2·+2
≥2||·||-2·=6,
∴||min=.
题型三 平面向量与三角函数
例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解
(1)因为m=,n=(sinx,cosx),m⊥n.
所以m·n=0,即sinx-cosx=0,
所以sinx=cosx,所以tanx=1.
(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos=,
即sinx-cosx=,所以sin=,
因为0 所以x-=,即x=. 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. 已知O为坐标原点,向量=(3sinα,cosα),=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈,且⊥,则tanα的值为( ) A.-B.- C.D. 答案 A 解析 由题意知6sin2α+cosα·(5sinα-4cosα)=0,即6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0,上述等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tanα-4=0,由于α∈, 则tanα<0,解得tanα=-,故选A. 7.向量夹角范围不清致误 典例 (12分)若两向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2所成的角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2所成的角为钝角,求实数t的取值范围. 易错分析 两个向量所成角的范围是[0,π],两个向量所成的角为钝角,容易误认为所成角π为钝角,导致所求的结果范围扩大. 规范解答 解 设向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为θ,由θ为钝角,知cosθ<0,故 (2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7<0,解得-7<t<-.[5分] 再设向量2te1+7e2与向量e1+te2反向, 则2te1+7e2=k(e1+te2)(k<0),[7分] 从而且k<0,解得 即当t=-时,两向量所成的角为π.[10分] 所以t的取值范围是(-7,-)∪(-,-).[12分] 温馨提醒 (1)两个非零向量的夹角范围为[0,π],解题时要注意挖掘题中隐含条件. (2)利用数量积的符号判断两向量的夹角取值范围时,应该注意向量夹角的取值范围,不要忽视两向量共线的情况.若a·b<0,则〈a,b〉∈(,π];若a·b>0,则〈a,b〉∈[0,). [方法与技巧] 1.计算数量积的三种方法: 定义法、坐标运算、数量积的几何意义,解题要灵活选用恰当的方法,和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法: 利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [失误与防范] 1.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边不能约去一个向量. 2.两个向量的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立. A组 专项基础训练 (时间: 35分钟) 1.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+b|等于( ) A.2B.2 C.4D.12 答案 B 解析 |a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos60°=4+4+2×2×2×=12,|a+b|=2. 2.已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m等于( ) A.2B. C.0D.- 答案 B 解析 ∵a·b=(1,)·(3,m)=3+m, a·b=××cos, ∴3+m=××cos, ∴m=. 3.设e1,e2,e3为单位向量,且e3=e1+ke2(k>0),若以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为,则k的值为( ) A.B. C.D. 答案 A 解析 设e1,e2的夹角为θ,则由以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为,得×1×1×sinθ=,得sinθ=1,所以θ=90°,所以e1·e2=0.从而对e3=e1+ke2两边同时平方得1=+k2,解得k=或-(舍去). 4.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( ) A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等腰直角三角形 答案 C 解析 因为(-)·(+-2)=0, 即·(+)=0,∵-=, 所以(-)·(+)=0,即||=||, 所以△ABC是等腰三角形,故选C. 5. 在△ABC中,如图,若|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则·等于( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 若|+|=|-|,则2+2+2·=2+2-2·,即有·=0.E,F为BC边的三等分点,则·=(+)·(+)=·=·=2+2+·=×(1+4)+0=.故选B. 6.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足=2,则·(+)的值为________. 答案 -4 解析 由题意得,AP=2,PM=1, 所以·(+)=·2 =2×2×1×cos180°=-4. 7. 如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,〈,〉=60°,则||=________. 答案 解析 因为〈,〉=60°,所以·=||·||cos60°=1×3×=,又=(+),所以2=(+)2=(2+2·+2),所以2=(1+3+9)=,所以||=. 8.在△ABC中,若·=·=·,则点O是△ABC的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”). 答案 垂心 解析 ∵·=·, ∴·(-)=0, ∴·=0, ∴OB⊥CA,即OB为△ABC底边CA上的高所在直线. 同理·=0,·=0,故O是△ABC的垂心. 9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|; (3)若=a,=b,求△ABC的面积. 解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 又∵|a|=4,|b|=3, ∴64-4a·b-27=61, ∴a·b=-6. ∴cosθ===-, 又∵0≤θ≤π,∴θ=. (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|=. (3)∵与的夹角θ=, ∴∠ABC=π-=. 又||=|a|=4,||=|b|=3, ∴S△ABC=||||sin∠ABC =×4×3×=3. 10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-. (1)求sinA的值; (2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的正射影的数量. 解 (1)由m·n=-,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,所以cosA=-. 因为0<A<π, 所以sinA===. (2)由正弦定理,得=, 则sinB===, 因为a>b,所以A>B,则B=. 由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×, 解得c=1, 故向量在方向上的正射影的数量为 ||cosB=ccosB=1×=. B组 专项能力提升 (时间: 25分钟) 11.(2015·湖南)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( ) A.6B.7C.8D.9 答案 B 解析 由A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,所以AC为圆直径,故+=2=(-4,0),设B(x,y),则x2+y2=1且x∈[-1,1],=(x-2,y),所以++=(x-6,y).故|++|=,所以x=-1时有最大值=7,故选B. 12.在△ABC中,A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-2,则λ等于( ) A.B.C.D.2 答案 B 解析 =-=(1-λ)-, =-=λ-, ·=(λ-1)2-λ2 =4(λ-1)-λ=3λ-4=-2,即λ=. 13. 如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在CD上,若·=,则·的值是( ) A.B.2 C.0D.1 答案 A 解析 依题意得·=(+)·(-)=·-2+·-·=-2+1×2-0=,故选A. 14.设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=(2,),n=(,0),点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),则函数y=f(x)的值域是________. 答案 解析 设Q(c,d),由新的运算可得 =m⊗+n=(2x,sinx)+(,0) =(2x+,sinx), 由消去x得d=sin(c-), 所以y=f(x)=sin(x-), 易知y=f(x)的值域是. 15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=·=1. (1)判断△ABC的形状; (2)求边长c的值; (3)若|+|=2,求△ABC的面积. 解 (1)由·=·=1, 得bc·cosA=ac·cosB,由正弦定理, 得sinBcosA=sinAcosB, ∴sin(A-B)=0, ∴A=B,即△ABC是等腰三角形. (2)由·=1,得bc·cosA=1, 又bc·=1,则b2+c2-a2=2, 又a=b,∴c2=2,即c=. (3)由|+|=2,得2+b2+2=8, ∴b=2,又c=, ∴cosA=,sinA=, ∴S△ABC=bc·sinA=×2××=.
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