《地图学》教案.docx
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《地图学》教案
《地图学》教案
时间
05~06学年第1学期第2周星期(05年月日)
节次
5、6、7
班级
04级地信0401-2
授课学时
3
地点
教学章节
第2章地图的数学基础
教学目的
1.掌握地图投影的基本概念及其分类,以及投影变形等基本知识。
2.掌握一些常见地图投影的构成、变形分布规律及其应用。
3.了解地图投影选择和识别方法。
教学手段
讲课
教学形式
板书与多媒体教学相结合
教学内容
第二章地图的数学基础(6学时)
1.地球体
2.地球坐标系与大地定位
3.地图投影
地图投影的意义、地图比例尺
教学要点
§1地球体
1.1地球体的自然表面
1.2地球体的物理表面
1.3地球体的数学表面
§2地球坐标系与大地定位
2.1地理坐标
Ø天文经纬度
Ø大地经纬度
Ø地心经纬度
2.2我国的大地坐标系统
2.3全球定位系统
§3地图投影
3.1地图投影的意义
3.2地图比例尺
布置作业
1.结合课堂教学内容,课后复习地图投影的基本概念,正确掌握地图投影的意义,加深对地图的数据基础的认识。
教学后记
《地图学》教案
时间
05~06学年第1学期第3周星期(05年月日)
节次
5、6、7
班级
04级地信0401-2
授课学时
3
地点
教学章节
第2章地图的数学基础
教学目的
1.掌握地图投影的基本概念及其分类,以及投影变形等基本知识。
2.掌握一些常见地图投影的构成、变形分布规律及其应用。
3.了解地图投影选择和识别方法。
教学手段
讲课
教学形式
板书与多媒体教学相结合
教学内容
第二章地图的数学基础(6学时)
3.地图投影
地图投影变形、地图投影方法、投影分类、投影变换
4.地图投影的应用
教学要点
§3地图投影
3.3地图投影变形
Ø地图投影变形的概念
Ø变形椭圆
Ø投影变形的性质和大小
3.4地图投影方法
3.5地图投影分类
§4地图投影的应用
4.1地图投影的选择依据
4.2地形图投影
4.3区域图投影
4.4世界地图投影:
布置作业
1.结合课堂教学内容,课后复习地图投影的基本概念,正确掌握地图投影的意义,加深对地图的数据基础的认识。
2.P84-85习题2-4、2-7
教学后记
第三章地图的数学基础
教学目的和要求:
1.掌握地图投影的基本概念及其分类,以及投影变形等基本知识。
2.掌握一些常见地图投影的构成、变形分布规律及其应用。
3.了解地图投影选择和识别方法。
本章重点:
地图投影的相关概念、地图投影分类、常见投影的特点及分类。
本章难点:
地图投影的概念、地图投影的选择。
教学时数:
6学时
[引入]地图的数学基础,是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。
要了解地图上这些数学要素是怎样建立起来的,首先必须搞清楚地球是一个什么样的球体;然后才会引出第一个矛盾(圆的和平的,曲面不可能无重叠、无裂隙、无变形的展开为平面),解决方法就是地图投影,从而引出了经纬网、坐标网、大地控制点的概念。
地图只能是地面景物的缩小表示。
将地球表面的景物按严格的一一对应的数学法则描绘到地图图面上时,遇到的第二个矛盾是大与小。
解决方法就是将地面景物依照一定的比率进行缩小表示,即比例尺。
[正文]
第一节地球体
1.1地球体的自然表面
地球并不是一个正球体,而是一个极半径略短、赤道半径略长,北极略突出、南极略扁平,近于梨形的椭球体。
地球的自然表面并非光滑,事实上是凹凸不平,形态极为复杂,高低差异达2万公里之多,此数据相对地球这个庞大的球体来说(差距是地球半径的千分之三),是可以忽略的。
但是对测量来讲,显然不能作为基准面。
必须寻找一种与地球的自然表面非常接近的规则曲面,来代替这种不规则的曲面。
1.2地球体的物理表面
这种理想的规则曲面,采用的是水准面,简单的说就是静止的自由海水面。
海平面处于完全静止状态时,其自由水面必定与该面上各点的重力方向(铅垂线方向)成正交,这就是水准面的特性,处处与铅垂线相垂直。
(地面上任意一点O,受地球的吸引力为OF,受到的离心力为OP,所受合力为OG,称之为重力,重力的作用线OG又称铅垂线。
当海水液体表面处于静止状态时,液面就必定和重力方向相垂直,即液面与铅垂线相垂直,否则液面必然会流动。
)但水准面有无数多个。
其中必定有一个与静止的平均海水面相重合。
以静止状态的平均海水面穿过大陆和岛屿,形成一个包围整个地球的,处处与铅垂线保持垂直的连续封闭曲面,这就是大地水准面。
由上可知,铅垂线的方向取决于地球的吸引力,吸引力的大小又与地球内部的物质密度有关,然而由于地球内部质量的不均一和地面的高低起伏不平(即地球体各部分的密度不同),引起了各地重力方向(铅垂线方向)产生不规则变化,整个地球的重力场分布不规则。
因而处处与铅垂线保持垂直的大地水准面就不可能是一个十分规则的曲面。
大地水准面实际上是一个起伏不平的重力等位面,即地球的物理表面。
由大地水准面所包围构成的球体——大地体。
大地体是对地球形体的一级逼近。
1.3地球体的数学表面
大地体是由大地水准面包围而成的,由于大地水准面是个不规则的曲面,也就不可能用严格的数学公式来表达。
必须再次寻求一个可以用数学公式表达的规则曲面,一个与大地体非常接近的形体来代替大地体。
经过几个世纪的实践,逐步形成了地球椭球体的概念。
就是绕大地体短轴(地轴)飞速旋转而成的旋转椭球体,即地球椭球体。
地球椭球体表面就是可以用数学模型定义和表达的曲面,这就是地球的数学表面。
地球椭球体可以称为是对地球形体的二级逼近。
地球椭球体有长轴和短轴之分。
长轴(a)即赤道半径,长半径;短轴(b)即极半径,短半径。
f=(a-b)/a称为地球的扁率。
由此可见,地球椭球体的形状和大小取决于a、b、f。
因此,称a、b、f为地球椭球体三要素,或称描述地球形状与大小的参数。
国际上主要的地球椭球体参数见教材P37页的表2-1。
地球形状确定以后,还必须确定出大地水准面与地球椭球体面之间的相对关系,即通过给地球椭球体定位,将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上。
一般在地球表面适当地点选一点,多数选取一个对一个国家比较适中的点,假设地球椭球体与大地水准面相切于该点的铅垂线上。
该点就是大地测量原点,或称大地坐标原点。
这种地球椭球体定位,只是局部定位,与局部地区的大地水准面符合得最好。
这种局部定位的地球椭球体称为参考椭球体。
只有准确定位以后,才能将在大地水准面上测得的结果换算到椭球体面上。
我国1953年前,使用海福特椭球参数;1953年后改用克拉索夫斯基椭球参数,形成了1954北京坐标系,大地原点在北京;1978年开始,在西安对地球椭球体重新定位,选用了1975年国际大地测量协会推荐的参考椭球(ICA-75椭球),形成了1980西安坐标系,大地原点在我国中部西安市附近的泾阳县境内。
在制作小比例尺地图时,可以不考虑地球扁率,将地球当作圆球看待,取圆球的表面积相当于地球椭球体表面积,半径为6371km。
第二节地球坐标系与大地定位
确定地面点或空间目标的位置时所采用的参考系通常称为坐标系。
一般情况下有平面坐标系、球面坐标系。
地球球面上任意一点的坐标,实质上就是对原点而言的空间方向。
以地球的北极、南极、赤道、以及本初子午线作为基本要素,即可构成地球球面的地理坐标系统。
2.1地理坐标
地理坐标,就是用经纬度表示地面点位置的球面坐标。
在大地测量学中,对于地理坐标系统中的经纬度有三种提法:
天文经纬度、大地经纬度、地心经纬度。
1.天文经纬度
用天文观测的方法测定地理坐标的,观测结果的基准是大地体,也即是以大地水准面和铅垂线为依据,在欲测的点上安置仪器观测天体,此时仪器的竖轴必然与铅垂线重合,即与大地水准面相垂直,所测位置用天文经度和天文纬度表示。
天文经度,是观测点天顶子午面与格林威治天顶子午面间的两面角。
天文纬度,是过观测点的铅垂线与赤道平面间的夹角。
测有天文经纬度坐标的地面点,称为天文点,它是一种地面控制点,是在各地面点上独立观测而直接得到的。
如大地原点。
在地图上通常用五角星符号表示,即☆。
2.大地经纬度
用大地测量的方法测定地理坐标的。
所有的观测值的基准是地球椭球体,即是以地球参考椭球体面和法线为基准,根据大地原点的精确的大地基准数据,利用大地控制网逐点测算出各点的坐标。
所测位置用大地经度和大地纬度表示。
大地经度,是某一点的大地子午面与格林威治本初子午面间的两面角。
东经为正,西经为负。
大地纬度,是过参考椭球面上某一点的垂直线(法线)与赤道平面间的夹角。
北纬为正,南纬为负。
3.地心经纬度
是以地球椭球体的中心(质量中心)为坐标原点的坐标系。
地心经度等同大地经度,地心纬度是指参考椭球体面上任一点和椭球体中心连线与赤道面之间的夹角。
在地理学研究及地图学的小比例尺制图中,由于要求的经度不高,通常将椭球体当成正球体看待,地理坐标均采用地球表面的球面坐标,大地经纬度与地心经纬度是统一的。
2.2我国的大地坐标系统
1.我国的大地坐标系
1953年前~海福特椭球参数;
1953年后~克拉索夫斯基椭球参数,形成1954北京坐标系,大地原点在北京。
1978年开始~采用1975年国际大地测量协会推荐的参考椭球体,即ICA-75椭球。
具体参数为a=6,378,140m,f=1/298.257。
形成1980中国国家大地坐标系,俗称西安坐标系,大地原点在我国中部西安市附近的泾阳县境内。
2.我国的大地控制网
大地控制网,简称大地网,由平面控制网和高程控制网组成。
平面控制网,亦称水平控制网,一般可由三角测量或导线测量完成。
天文点☆、三角点△(一等二等三等)、导线点□(用导线测量的控制点)
地面点除了用地理坐标来确定其平面位置外,同时还要确定其高程位置。
表明地面点高程位置的方法有两种:
一种是绝对高程,即地面点到大地水准面的高度(地面点与大地水准面间的垂直距离),或称海拔。
另一种是相对高程,即地面点到任意水准面的高度。
高差有正有负。
高程控制网,主要由水准测量来完成。
或三角高程测量。
高程系,即全国统一的高程起算基准面。
中华人民共和国成立后,继建立1954年北京坐标系之后,根据青岛验潮站1950至1956年记录资料,确定以黄海平均海水面为全国统一的高程起算基准面,并且在青岛观象山埋设了永久性的水准原点。
以黄海平均海水面建立起来的高程控制系统,通称“1956年黄海高程系”。
因观测数据的积累,黄海平均海水面发生了微小变化,为了更好地适应国民经济建设和科学研究发展的需要,1985年决定采用青岛验潮站1953至1979年的验潮资料计算的平均海水面作为我国新的高程起算面,命名为“1985年国家高程基准”。
“1985年国家高程基准”比“1956年黄海高程系”高29mm。
这一微小变化,对已出版地图上的等高线高程的影响可以忽略不计。
为测定地面点高程所建立的基本控制,称之高程控制。
起高程控制作用的地面点称之高程控制点,因其高程是用水准测量方法测定的,故又称水准点。
高程控制点通常分水准点和埋石点两种。
大地控制点,简称大地点,是指有统一而精确的平面和高程位置,并对全国或全区的整体起控制作用的地面点。
在点上埋设有显著标志,以示其位。
大地控制点通常包括平面控制的三角点和导线点、高程控制的水准点,并按精度要求的不同,又都分为一、二、三、四等。
2.3全球定位系统
第三节地图投影
在试图将地球表面的景物严格地描绘到地图图面上时,遇到的一个矛盾是大与小,解决方法就是将地面景物依照一定的比率缩小表示,即引出了比例尺的概念。
另一个矛盾就是球面和平面的矛盾。
3.1地图投影的意义
地图投影是用来解决球面与平面矛盾的数学方法。
由于球面上任意点的位置是用地理坐标(λ,φ)表示的,而平面上点的位置是用直角坐标(X,Y)或极坐标(r,θ)表示的,因此要将地球表面上的点转移到平面上,就必须采用一定的数学方法来确定其地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。
这种在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法,称为地图投影。
球面上任意点的位置都是由它的经纬度所确定的,因此实施投影时,是先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面上,并将相同经度、纬度的点分别连成经线和纬线,构成经纬网;然后再将球面上的点,按其经纬度转绘在平面上相应位置处。
由此可见,地图投影的实质就是将地球椭球面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面上,建立球面上点(λ,φ)与平面上对应点(X,Y)之间的函数关系。
3.2地图比例尺
地图比例尺首先都是指长度缩小的比率。
地图比例尺:
地图上一直线段的长度与地面上相应直线距离水平投影长度之比。
如果制图区域的范围很小,就可以把这部分球面当作平面,完全可以不考虑地球曲率的影响,即可以不考虑球面和平面的矛盾。
(由于实际测量工作是在大地水准面上进行的(因为大地水准面是实际重力等位面,因此,人们才有可能利用铅垂线通过测量仪器,获得实测数据),所以该球面应该是大地水准面。
)既然这部分曲面等于平面,那么点的平面位置也就很明确了。
这种不考虑地球曲率影响,把小块地区的地球表面(大地水准面)当作水平面,将地面上的地物按铅垂线投影到水平面上,用缩小的相似图形表示其平面位置及相互关系的测制而成的地图,称平面图。
习惯上往往将只表示地物平面位置而不表示高程的也称平面图。
平面图的显著特点是涵盖的实地范围很小,比例尺很大,一般大于1:
5000,在同一幅地图内比例尺处处相同。
主要是供工程施工和编制详细规划等工作使用的。
下面讨论一下究竟多大范围的球面,可以用水平面代替水准面,并能符合测量与绘图误差。
是大地水准面上的一段,其长度为D,所对圆心角为θ;过A点作切线AC(C为B点在水平面上的投影),其长度为T。
以AC代替
的长度误差Δα为:
Δα=T–D=R·tgθ–R·θ
将tgθ展开为级数,取前两项,得:
tgθ=θ+
θ3
tgθ-θ=
θ3
∴Δα=R
θ3=
设R=6371km,以不同的D值代入上式,计算Δα,见下表。
水平面代替水准面的距离误差和相对误差表
D(km)
Δα(cm)
Δα/D
10
0.82
1/1000000
20
6.7
1/300000
50
102.0
1/49000
100
814.0
1/12000
由上表可知,在半径100km范围内的大地水准面,若以平面来代替的话,水平位置的差异不超过实地的8.14m,相对误差约为1/12000。
若半径20km的范围内,水平位置的差异只有6.7cm,精度就更高了。
水平面代替水准面的高程误差表
D(km)
0.1
0.5
1
2
3
4
5
10
100
Δh(cm)
0.078
2
7.85
31
71
125
196
785
78500
根据普通(等外)水准测量的要求,在1km距离内搞成误差不得超过±0.35——±0.50cm,而从上表可以看出,即使距离为0.5km,其误差已达到2cm,因此在进行高程测量时,即使在较短的距离内,也必须考虑地球曲率的影响,校正测量结果。
平面图、制图范围较小、无球面与平面的矛盾、不考虑地图投影方法、比例尺、平面位置关系。
制图区域的范围较大:
不仅有大与小的矛盾,还有球面与平面的矛盾。
必须考虑地球曲率的影响,得采用地图投影和比例尺等数学要素来将地球表面的地理要素科学准确地描绘在地图平面上。
在这些地图上,就会出现因地点和方向地不同而长度缩小地比率也不同地情况。
主比例尺:
即一般地图上所标注的比例尺,其实质是进行地图投影时地球半径缩小的比率,在地图上只体现在无变形的点或线上。
局部比例尺:
投影面上有变形处的比例尺。
局部比例尺主要用于研究地图投影变形的大小、分布规律和投影性质。
大、中、小比例尺
地图比例尺的表示:
数字式、文字式(说明式)、图解式(直线比例尺、斜分比例尺、复式比例尺)、特殊比例尺(变比例尺、无级别比例尺)
数字式:
1:
150000或
文字式(说明式):
十五万分之一,或图上1厘米等于实地1500米(1.5千米,1.5公里)
图解式(直线比例尺):
3.3地图投影变形
1.地图投影变形的概念
可以用地图投影的方法将球面展开为平面,地图投影的方法很多,用不同的投影方法得到的经纬线网的形状也是各不相同的。
所以说,用地图投影的方法将球面展开为平面,强调的是二者之间保持了一种对应的函数关系,只是保持了图形的完整性和连续性,而失去了相似性,也就是说,投影后平面上的经纬线网和球面上的并不完全相似,即发生了变形。
这种变形清楚地显示再地球仪与地图二者经纬网中。
如果我们将地球椭球体的直径按1:
4000万缩小,那么,在一个平均半径为16厘米的地球仪上,其赤道半径与极半径之差仅为0.05毫米。
所以,圆球做成的地球仪绝对是地球的缩影,与地球有很强的相似性,地球上的各种地理事物在地球仪上保持了正确的形状和位置,因而地球仪上的经纬网是和地球椭球体上的经纬网一样的。
了解地球仪上经纬网的特性,有助于我们学习地图投影。
第一,所有纬线圈都是互相平行的圆,长度不等,赤道最长,纬度越高长度越短,到极点为0;
第二,所有经线圈都是大圆,长度相等,经线在赤道上平行,随着纬度的升高而逐渐收敛于极点;
第三,经纬线互相垂直;
第四,在同一条纬线上,经差相同的纬线弧长相等;在同一条经线上,纬差相同的经线弧长亦相等(正球体上完全相同,椭球体上相差很小);
第五,在同一纬度带内,经差相同的球面梯形形状相同、面积相等;在同一经度带内,纬
差相同的球面梯形形状不同、面积不等,面积由低纬向高纬逐渐缩小。
将地图上的经纬网与地球仪上的经纬网相比,便会发现,球面经纬网经过投影后,其几何特性受到了扭曲,产生了变形,而且变形主要表现在长度(距离)、角度(形状)和面积三方面。
这种用地图投影的方法将球面向平面转绘时引起的经纬网几何特性(长度(距离)、角度(形状)和面积)的变化,称为地图投影变形。
2.变形椭圆
在一幅地图上,到底在哪些地方有哪些多大的变形?
为了解决这个问题,常常引入变形椭圆的概念,来进一步更好地说明地图投影的变形特性。
通过演示实验、数学方法、物理的方法(经纬线网的拼接拉伸)都可证明地球体面上的微分圆投影到平面上一般为椭圆,特殊情况下为圆。
这种地球面上的微分圆(微小到足以忽略地球曲面的影响而被视为平面)投影后产生的椭圆或圆,统称为变形椭圆。
可以借助变形椭圆与微分圆间的比较,来研究说明变形的性质和数量。
椭圆半径和小圆半径之比,可以说明长度变形,很明显长度变形是随方向的变化而变化的;椭圆面积与微小圆面积之比,可以说明面积变形的情况;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应两方向线的夹角之差就代表了角度变形的情况。
地球面上的微小圆,经过投影后而变成的椭圆(除特殊情况下为正圆外,一般皆为椭圆),统称为变形椭圆。
可以通过研究这种椭圆在投影面上的变化,来分析掌握投影的性质和大小等变形情况。
3.投影变形的性质和大小
(1)长度比与长度变形
长度比:
就是投影面上一微分线段和球面上相应微分线段之比,即μ=
。
分子分母的含义必须前后统一,要么两者都已按规定的比例缩小了,要么两者都没有。
在地图上,长度比与地图比例尺并不是同一个概念。
地图比例尺是运用地图投影的方法绘制经纬线网时,首先把地球椭球体按规定的比例缩小,然后才能把它表示在平面上。
这个比例尺就称为主比例尺,即一般地图上所标注的比例尺。
由于投影时有变形,主比例尺只能保持在某些长度没有变形的地方,即长度比等于1的某些点和线上(标准点和标准线)。
在长度比不等于1的地方,其长度比例尺大于或小于主比例尺,这种比例尺就是局部比例尺。
局部比例尺=主比例尺×长度比。
面积比例尺=(长度比例尺)2
长度比是一个变量,在地图上会因地点不同而不同;还会在同一地点上因方向不同而不同。
通常只研究特定方向上的长度比,即最大长度比a、最小长度比b、经线长度比m和纬线长度比n。
最大长度比a——椭圆长轴方向的长度比,最小长度比b——椭圆短轴方向的长度比,这两个方向是互相垂直的,也称为主方向。
经线长度比m和纬线长度比n——经线方向和纬线方向的长度比。
在经纬线呈正交的投影中,经纬线长度比就是最大和最小长度比,较大值为a,较小值为b。
如果经纬线不正交,其夹角为θ,则有下式:
用长度比可以说明长度的变形情况。
所谓长度变形就是长度比与1的差值,用公式表示为:
长度比是一个相对数量,只有大于1或小于1的数(个别地方等于1),没有负数。
而长度变形则有正有负。
长度比大于1,长度变形为正,表示投影后长度增加;长度比小于1,长度变形为负,表示投影后长度缩小;长度比等于1,长度变形为零,表示投影后长度不变。
长度变形是最基本的变形,而且在所有投影上都存在。
正因为地图上存在着长度变形,所以也必然会引起面积和角度变形。
(2)面积比与面积变形
面积比P就是投影面上的微分面积与球面上相应的微分面积之比,即投影面上的变形椭圆的面积与球面上微分圆的面积之比。
若投影后,经纬线仍为正交,P=a·b=m·n
若投影后,经纬线不正交,即θ≠90°,则P=m·n·sinθ
面积比也是一个变量,在地图上会因点的位置不同而不同。
面积变形(Vp)指面积比与1的差值,Vp=P-1。
通常用百分数(%)表示;如Vp=-2%,即表示图面上某面积较之实地面积缩小了2%。
面积比同长度比一样,也是一个只有大于1或小于1(个别地方等于1)而没有负值的相对数量,而面积变形则有正有负。
面积比大于1,面积变形为正,表示投影后面积增大;面积比小于1,面积变形为负,表示投影后面积缩小;面积比等于1,面积变形为零,表示投影后面积不变。
(3)角度变形
角度变形是指过地面上某点的任意两条方向线的夹角α,与经过投影后的角度α'之差值。
过一点可以引出许多方向线,由两条方向线构成的角度也有无数个。
通常并不研究每一个角度的变形,而只是研究其中的最大角度变形ω,用它来代表该点的角度变形。
角度变形是形状变形的具体标志。
(4)相关概念
标准点:
指地图投影面上没有任何变形的点,即投影面与地球椭球体面相切的切点。
离开标准点愈远,则变形愈大。
标准线:
指地图投影面上没有任何变形的一种线,即投影面与地球椭球体面相切或相割的一条或两条线。
标准线分标准纬线和标准经线。
离开标准线愈远,则变形愈大。
等变形线:
指投影面上变形值相等的各点的连线。
用来显示地图投影变形的大小和分布状况。
投影不同,等变形线形状就不同,就适合不同形状的制图区域。
3.4地图投影方法
地图投影的方法,可归纳为几何透视法和数学分析法两种。
透视几何法,指利用透视线的关系,将地球椭球体表面上的点投影到投影面上的一种投影方法。
建立在透视的几何原理上,把椭球面直接透视到平面上,或透视到可展开的曲面上,如圆柱面和圆锥面。
地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球体,在其球心、球面或球外安置一个光源,将地球仪上的经纬线、控制点、地物及地貌图形一起投影到球外的一个平面上,即可构成一张地图了。
几何透视法是一种比较原始的投影方法,有很大的局限性,通常不能将全球都投影下来。
数学分析法,即用数学解析方法在球面与投影面之间建立点与点的函数关系(函数公式),并计算经纬线交点的平面坐标
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