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概率初步
概率初步
【知识点】
1、事件
(1)确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,必然事件和不可能事件都是确定的.
(2)随机事件在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.
(3)事件分为确定事件和不确定事件(随机事件),确定事件又分为必然事件和不可能事件,其中,①必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1;②不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0;③如果A为不确定事件(随机事件),那么0<P(A)<1.
随机事件发生的可能性(概率)的计算方法:
P(A)=
2、可能性大小
(1)理论计算又分为如下两种情况:
第一种:
只涉及一步实验的随机事件发生的概率,如:
根据概率的大小与面积的关系,对一类概率模型进行的计算;
第二种:
通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率,如:
扔色子,对游戏是否公平的计算.
(2)实验估算又分为如下两种情况:
第一种:
利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时,实验频率可作为事件发生的概率的估计值,即大量实验频率稳定于理论概率.第二种:
利用模拟实验的方法进行概率估算.如,利用计算器产生随机数来模拟实验.
3、概率的意义
(1)一般地,在大量重复实验中,如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率,记为P(A)=p.
(2)概率是频率(多个)的波动稳定值,是对事件发生可能性大小的量的表现.(3)概率取值范围:
0≤p≤1.(4)必然发生的事件的概率P(A)=1;不可能发生事件的概率P(A)=0.(4)事件发生的可能性越大,概率越接近与1,事件发生的可能性越小,概率越接近于0.(5)通过设计简单的概率模型,在不确定的情境中做出合理的决策;概率与实际生活联系密切,通过理解什么是游戏对双方公平,用概率的语言说明游戏的公平性,并能按要求设计游戏的概率模型,以及结合具体实际问题,体会概率与统计之间的关系,可以解决一些实际问题.
4、列举法(包括列表法和树状图法)
(1)列表法
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时,我们常用列表的方式,列出所有可能的结果,再求出概率.
列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.
P(A)=
(2)树状图法
求概率的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图.
树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合,依次列出,象树的枝丫形式,最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n.
P(A)=
当有两个元素时,可用树形图列举,也可以列表列举.
5、利用频率估计概率
(1)大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
(2)用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.(3)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率.
6、几何概型的概率问题
是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题:
设在空间上有一区域G,又区域g包含在区域G内(如图),而区域G与g都是可以度量的(可求面积),现随机地向G内投掷一点M,假设点M必落在G中,且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量(长度、面积、体积等)成正比,而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验(掷点),称为几何概型.关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M,点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为:
g的度量与G的度量之比,即P=g的测度G的测度简单来说:
求概率时,已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比,面积比,体积比等.
7、游戏公平性
(1)判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率,然后比较概率的大小,概率相等就公平,否则就不公平.
(2)概率=所求情况数总情况数.
【考点例析】
1、事件的判断
1.在下列事件中:
①投掷一枚均匀的硬币,正面朝上;②投掷一枚均匀的骰子,6点朝上;③任意找367人中,至少有2人的生日相同;④打开电视,正在播放广告;⑤小红买体育彩票中奖;⑥北京明年的元旦将下雪;⑦买一张电影票,座位号正好是偶数;⑧到2020年世界上将没有饥荒和战争;⑨抛掷一只均匀的骰子两次,朝上一面的点数之和一定大于等于2;⑩在标准大气压下,温度低于0℃时冰融化;⑾如果a,b为实数,那么a+b=b+a;⑿抛掷一枚图钉,钉尖朝上.
确定的事件有______;随机事件有______,在随机事件中,你认为发生的可能性最小的是______,发生的可能性最大的是______.(只填序号)
2.下列事件中是必然事件的是().
A.从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球,摸出的球是白球
B.小丹的自行车轮胎被钉子扎坏
C.小红期末考试数学成绩一定得满分
D.将豆油滴入水中,豆油会浮在水面上
3.同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.下列事件中是不可能事件的是().
A.点数之和为12B.点数之和小于3
C.点数之和大于4且小于8D.点数之和为13
4.下列事件中,是确定事件的是().
A.明年元旦北京会下雪B.成人会骑摩托车
C.地球总是绕着太阳转D.从北京去天津要乘火车
5.下列说法中,正确的是().
A.生活中,如果一个事件不是不可能事件,那么它就必然发生
B.生活中,如果一个事件可能发生,那么它就是必然事件
C.生活中,如果一个事件发生的可能性很大,那么它也可能不发生
D.生活中,如果一个事件不是必然事件,那么它就不可能发生
2、概率的计算
1.下列说法:
①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的概率一定等于
;③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的是_____(填序号).
2.在一篇英文短文中,共使用了6000个英文字母(含重复使用),其中“正”共使用了900次,则字母“正”在这篇短文中的使用频率是______.
3.下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率.
抛掷结果
5次
50次
300次
800次
3200次
6000次
9999次
出现正面的频数
1
31
135
408
1580
2980
5006
出现正面的频率
20%
62%
45%
51%
49.4%
49.7%
50.1%
(1)由这张频数和频率表可知,机器人抛掷完5次时,得到1次正面,正面出现的频率是20%,那么,也就是说机器人抛掷完5次后,得到______次反面,反面出现的频率是______;
(2)由这张频数和频率表可知,机器人抛掷完9999次时,得到______次正面,正面出现的频率是______;那么,也就是说机器人抛掷完9999次时,得到______次反面,反面出现的频率是______;
(3)请你估计一下,抛这枚硬币,正面出现的概率是______.
4.某个事件发生的概率是
,这意味着().
A.在两次重复实验中该事件必有一次发生
B.在一次实验中没有发生,下次肯定发生
C.在一次实验中已经发生,下次肯定不发生
D.每次实验中事件发生的可能性是50%
5.在生产的100件产品中,有95件正品,5件次品.从中任抽一件是次品的概率为().
A.0.05B.0.5C.0.95D.95
6.从不透明的口袋中摸出红球的概率为
,若袋中红球有3个,则袋中共有球().
A.5个B.8个C.10个D.15个
7.柜子里有5双鞋,取出一只鞋是右脚鞋的概率是().
A.
B.
C.
D.
8.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:
投篮次数n
8
10
12
9
16
10
进球次数m
6
8
9
7
12
7
进球频率
(1)计算表中各次比赛进球的频率;
(2)这位运动员每次投篮,进球的概率约为多少?
3、用列举法求概率
1.一个袋中装有10个红球、3个黄球,每个球只有颜色不同,现在任意摸出一个球,摸到______球的可能性较大.
2.掷一枚均匀正方体骰子,6个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,则有:
(1)P(掷出的数字是1)=______;
(2)P(掷出的数字大于4)=______.
3.某班的联欢会上,设有一个摇奖节目,奖品为钢笔、图书和糖果,标于一个转盘的相应区域上(如图所示),转盘可以自由转动,参与者转动转盘,当转盘停止时,指针落在哪一区域,就获得哪种奖品.则获得钢笔的概率为______,获得______的概率大.
4.一副扑克牌有54张,任意从中抽一张.
(1)抽到大王的概率为______;
(2)抽到A的概率为______;
(3)抽到红桃的概率为______;
(4)抽到红牌的概率为______;(红桃或方块)
(5)抽到红牌或黑牌的概率为______.
5.一道选择题共有4个答案,其中有且只有一个是正确的,有一位同学随意地选了一个答案,那么他选对的概率为().
A.1B.
C.
D.
6.掷一枚均匀的正方体骰子,骰子6个面分别标有数字1,1,2,2,3,3,则“3”朝上的概率为().
A.
B.
C.
D.
7.一个口袋共有50个球,其中白球20个,红球20个,蓝球10个,则摸到不是白球的概率是().
A.
B.
C.
D.
8.柜子里有两双不同的鞋,取出两只刚好配一双鞋的概率是().
A.
B.
C.
D.
三、解答题
9.有10张卡片,每张卡片分别写有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从中任意摸取一张卡片,问摸到2的倍数的卡片的概率是多少?
3的倍数呢?
5的倍数呢?
10.小李新买了一部手机,并设置了六位数的开机密码(每位数码都是0~9这10个数字中的一个),第二天小李忘记了密码中间的两个数字,他一次就能打开手机的概率是多少?
11.一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球,它们除颜色外均相同.
(1)如果从中随机摸出一个小球,那么摸到蓝色小球的概率是多少?
(2)小王和小李玩摸球游戏,游戏规则如下:
先由小王随机摸出一个小球,记下颜色后放回,小李再随机摸出一个小球,记下颜色.当两个小球的颜色相同时,小王赢;当两个小球的颜色不同时,小李赢.请你分析这个游戏规则对双方是否公平?
并用列表法或画树状图法加以说明.
12.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同,三辆汽车经过这个十字路口,求下列事件的概率:
(1)三辆车全部直行;
(2)两辆车向右转,一辆车向左转;
(3)至少有两辆车向左转.
4、利用频率估计概率
1.50张牌,牌面朝下,每次抽出一张记下花色后放回,洗匀后再抽,抽到红桃、黑桃、梅花、方片的频率依次是16%、24%、8%、52%,估计四种花色分别有______张.
2.在一个8万人的小镇,随机调查了1000人,其中有250人有订报纸的习惯,则该镇有订报纸习惯的人大约为______万人.
3.为估计某天鹅湖中天鹅的数量,先捕捉10只,全部做上记号后放飞.过了一段时间后,重新捕捉40只,其中带有标记的天鹅有2只.据此可估算出该地区大约有天鹅______只.
4.一口袋中有6个红球和若干个白球,除颜色外均相同,从口袋中随机摸出一球,记下颜色,再把它放回口袋中摇匀.重复上述实验共300次,其中120次摸到红球,则口袋中大约有______个白球.
5.某班级有学生40人,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.如果要在班内任选一人当学生代表,那么这个代表恰好在第一小组内的概率为______;现在要在班级任选一个共青团员当团员代表,问这个代表恰好在第一小组内的概率是______.
6.在“抛硬币”的游戏中,如果抛了10000次,则出现正面的概率是50%,这是().
A.确定的B.可能的C.不可能的D.不太可能的
7.某口袋放有编号1~6的6个球,先从中摸出一球,将它放回口袋中后,再摸一次,两次摸到的球相同的概率是()
A.
B.
C.
D.
8.某科研小组,为了考查某河流野生鱼的数量,从中捕捞200条,作上标记后,放回河里,经过一段时间,再从中捕捞300条,发现有标记的鱼有15条,则估计该河流中有野生鱼()
A.8000条B.4000条C.2000条D.1000条
9.对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查,结果如下:
(1)计算各次检查中“优等品”的频率,填入表中;
抽取球数n
50
100
500
1000
5000
优等品数m
45
92
455
890
4500
优等品频率
(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?
10.某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干,为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目,小亮向纸箱中放入25个白球,通过多次摸球实验后,发现摸到白球的频率为25%,摸到黄球的频率为40%,试估计出原纸箱中红球、黄球的数目.
11.在5瓶饮料中有2瓶已过了保质期,从5瓶饮料中任取2瓶,则取到的2瓶都过了保质期的可能性是多少?
请你用替代物进行模拟实验,估计问题的答案.
12.某笔芯厂生产圆珠笔芯,每箱可装2000支.一位质检员误把一些已做标记的不合格产品也放入箱子里,若随机拿出100支,共做10次实验,这100支中不合格笔芯的平均数是5,你能估计箱子里有多少支不合格品吗?
若每支合格品的利润为0.5元,如果顾客发现不合格品,需双倍赔偿(即每支赔1元),如果让这箱含不合格品的笔芯走上市场,根据你的估算这箱笔芯是赚是赔?
赚多少或赔多少?
13.为估计某一池塘中鱼的总数目,小英将100尾做了标记的鱼投入池塘中,几天后,随机捕捞,每次捕捞后做好记录,然后将鱼放回,如此进行20次,记录数据如下:
总条数
50
45
60
48
10
30
42
38
15
10
标记数
2
1
3
2
0
1
1
2
0
1
总条数
53
36
27
34
43
26
18
22
25
47
标记数
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
(1)估计池塘中鱼的总数.根据这种方法估算是否准确?
(2)请设计另一种标记的方法,使得估计更加精准.
5、用面积法求概率
1.如图所示,在两个同心圆中,三条直径把大圆分成六等份,若在这个圆面上均匀地
撒一把豆子,则豆
子落在阴影部分的概率是_______.
2.如图,正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的直径为
分米,若在这个圆面上随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形ABCD内的概率是()
A.
B.
C.
D.
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