高中数学第二章算法初步21顺序结构与选择结构教案.docx
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高中数学第二章算法初步21顺序结构与选择结构教案
2.1顺序结构与选择结构
整体设计
教学分析
用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性,但是对于在一定条件下才会被执行的步骤,以及在一定条件下会被重复执行的步骤,自然语言的表示就显得困难,而且不直观、不准确.因此,本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.流程图用图形的方式表达算法,使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确.为了更好地学习流程图,我们需要掌握程序框的功能和作用,需要熟练掌握三种基本逻辑结构.
三维目标
1.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.
2.通过模仿、操作、探索,经历通过设计流程图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中,理解流程图的三种基本逻辑结构:
顺序结构、选择结构、循环结构.
3.通过比较体会流程图的直观性、准确性.
重点难点
教学重点:
流程图的画法.
教学难点:
流程图的画法.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时顺序结构
导入新课
思路1(情境导入).我们都喜欢外出旅游,优美的风景美不胜收,如果迷了路就不好玩了,问路有时还听不明白,真是急死人,有的同学说买张旅游图不就好了吗,所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确,本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习流程图.
思路2(直接导入).用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性,但是对于在一定条件下才会被执行的步骤,以及在一定条件下会被重复执行的步骤,自然语言的表示就显得困难,而且不直观、不准确.因此,本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习流程图.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)什么是流程图?
(2)说出终端框(起止框)的图形符号与功能.
(3)说出输入、输出框的图形符号与功能.
(4)说出处理框(执行框)的图形符号与功能.
(5)说出判断框的图形符号与功能.
(6)说出流程线的图形符号与功能.
(7)说出连接点的图形符号与功能.
(8)总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.
(9)什么是顺序结构?
讨论结果:
(1)流程图又称程序框图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
在流程图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程线将程序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序.
(2)椭圆形框:
表示程序的开始和结束,称为终端框(起止框).表示开始时只有一个出口;表示结束时只有一个入口.
(3)平行四边形框:
表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框,它有一个入口和一个出口.
(4)矩形框:
表示计算、赋值等处理操作,又称为处理框(执行框),它有一个入口和一个出口.
(5)菱形框:
是用来判断给出的条件是否成立,根据判断结果来决定程序的流向,称为判断框,它有一个入口和两个出口.
(6)流程线:
表示程序的流向.
(7)圆圈:
连接点.表示相关两框的连接处,圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起.
(8)总结如下表.
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
连接点
连接流程图的两部分
(9)很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构.
顺序结构对应的流程图,如图1所示:
图1
应用示例
例1尺规作图,确定线段AB一个5等分点.
分析:
确定线段AB的5等分点,是指在线段AB上确定一点M,使得AM=
AB.同学们都熟悉解决这个问题的方法:
第一,从A点出发作一条与原直线不重合的射线;
第二,任取射线上一点C,并在射线上作线段AD,使AD=5AC;
第三,连接DB,并过C点作BD的平行线交AB于M,M就是要找的5等分点.
这个过程也需要一步一步来实现.
作法:
作图步骤如下:
1.如图2,从已知线段的左端点A出发,作一条射线AP;
图2
2.在射线上任取一点C,得线段AC;
3.在射线上作线段CE=AC;
4.在射线上作线段EF=AC;
5.在射线上作线段FG=AC;
6.在射线上作线段GD=AC,那么线段AD=5AC;
7.连接DB;
8.过C作BD的平行线,交线段AB于M,这样点M就是线段AB的一个5等分点.
这个实现过程可以用图3来表示.
图3
点评:
通常,为了使算法结构更加清晰,可借助图来帮助描述算法.图的特点是直观、清楚,便于检查和交流.顺序结构的图见图4.通常,像这样的图叫作流程图.
图4
例2已知一个三角形三条边的边长分别为a,b,c,利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法,并画出流程图.(已知三角形三边边长分别为a,b,c,则三角形的面积为S=
,其中p=
.这个公式被称为海伦—秦九韶公式)
算法分析:
只需先算出p的值,再将它代入分式,最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.
算法步骤如下:
1.输入三角形三条边的边长a,b,c.
2.计算p=
.
3.计算S=
.
4.输出S.
流程图如下:
图5
点评:
很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,它是最简单的逻辑结构,它是任何一个算法都离不开的基本结构.
变式训练
下图所示的是一个算法的流程图,已知a1=3,输出的b=7,求a2的值.
图6
解:
根据题意
=7,
∵a1=3,∴a2=11,
即a2的值为11.
知能训练
写出通过尺轨作图确定线段AB的一个5等分点的流程图.
解:
利用我们学过的顺序结构得流程图如下:
图7
点评:
这个算法步骤具有一般性,对于任意自然数n,都可以按照这个算法的思想,设计出确定线段的n等分点的步骤解决问题,通过本题学习可以巩固顺序结构的应用.
拓展提升
如下给出的是计算
的值的一个流程图,其中处理框内应填入的是___________.
图8
答案:
S=S+
课堂小结
1.掌握流程图的画法和功能.
2.掌握顺序结构的应用,并能解决与顺序结构有关的流程图的画法.
作业
习题2—2A组1.
设计感想
首先,本节的引入新颖独特,旅游图的故事阐明了学习流程图的意义.通过丰富有趣的事例让学生了解了什么是流程图,进而激发学生学习流程图的兴趣.本节设计题目难度适中,逐步把学生带入知识的殿堂,是一节好的课例.
(设计者:
张新军)
第2课时选择结构
导入新课
思路1(情境导入).我们以前听过这样一个故事,野兽与鸟发生了一场战争,蝙蝠来了,野兽们喊道:
你有牙齿是我们一伙的,鸟们喊道:
你有翅膀是我们一伙的,蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法,如果野兽赢了,就加入野兽这一伙,否则加入另一伙,事实上蝙蝠用了分类讨论思想,在算法和流程图中也经常用到这一思想方法,今天我们开始学习新的逻辑结构——选择结构.
思路2(直接导入).前面我们学习了顺序结构,顺序结构像是一条没有分支的河流,奔流到海不复回,事实上多数河流是有分支的,今天我们开始学习有分支的逻辑结构——选择结构.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)举例说明什么是分类讨论思想?
(2)什么是条件结构?
(3)试用流程图表示条件结构.
讨论结果:
(1)例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道a的符号,但条件没有给出,因此需要进行分类讨论,这就是分类讨论思想.
(2)在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.选择结构就是处理这种过程的结构.
(3)用流程图表示条件结构如下.
选择结构:
先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为选择结构(或分支结构),如图1所示.执行过程如下:
条件成立,则执行A框;不成立,则执行B框.
图1
注:
无论条件是否成立,只能执行A、B之一,不可能两个框都执行.
应用示例
例1通常说一年有365天,它表示地球围绕太阳转一周所需要的时间,但事实并不是这样简单.根据天文资料,地球围绕太阳转一周所需要的精确时间是365.2422天,称之为天文年.这个误差看似不大,却引起季节和日历之间难以预料的大变动.在历法上规定四年一闰,百年少一闰,每四百年又加一闰.如何判断某一年是不是闰年呢?
请设计一个算法,解决这个问题,并用流程图描述这个算法.
分析:
设y为年份,按照历法的规定,如果y为闰年,那么或者y能被4整除不能被100整除,或者y能被400整除.
对于给定的年份y,要确定它是否为闰年,需要进行判断,判断的结果决定后面的步骤,像这样的结构通常称作选择结构.选择结构的算法流程图可以用图2来表示.
图2
解:
算法步骤如下:
1.若y不能被4整除,则输出“y不是闰年”.
2.若y能被4整除,则判断y是否能被100整除:
(1)若y不能被100整除,则输出“y是闰年”;
(2)若y能被100整除,则判断y是否能被400整除;
①若y能被400整除,则输出“y是闰年”;
②若y不能被400整除,则输出“y不是闰年”.
这个算法的流程图如下:
图3
变式训练
任意给定3个正实数,设计一个算法,判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在,并画出这个算法的流程图.
算法分析:
判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在,只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.
算法步骤如下:
1.输入3个正实数a,b,c.
2.判断a+b>c,b+c>a,c+a>b是否同时成立.若是,则存在这样的三角形;否则,不存在这样的三角形.
流程图如图4:
图4
点评:
根据构成三角形的条件,判断是否满足任意两边之和大于第三边,如果满足则存在这样的三角形,如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点,在画流程图时,常常遇到需要讨论的问题,这时要用到选择结构.
例2设计一个求解一元二次方程ax2+bx+c=0的算法,并画出流程图表示.
算法分析:
我们知道,若判别式Δ=b2-4ac>0,则原方程有两个不相等的实数根
x1=
x2=
;
若Δ=0,则原方程有两个相等的实数根x1=x2=-
;
若Δ<0,则原方程没有实数根.也就是说,在求解方程之前,可以先判断判别式的符号,根据判断的结果执行不同的步骤,这个过程可以用条件结构实现.
又因为方程的两个根有相同的部分,为了避免重复计算,可以在计算x1和x2之前,先计算p=
,q=
.
解决这一问题的算法步骤如下:
1.输入3个系数a,b,c.
2.计算Δ=b2-4ac.
3.判断Δ≥0是否成立.若是,则计算p=
,q=
;否则,输出“方程没有实数根”,结束算法.
4.判断Δ=0是否成立.若是,则输出x1=x2=p;否则,计算x1=p+q,x2=p-q,并输出x1,x2.
流程图如下:
图5
例3设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根,并画出相应的流程图.
解:
算法步骤如下:
1.输入3个系数:
a,b,c.
2.计算Δ=b2-4ac.
3.判断Δ≥0是否成立.若是,则输出“方程有实根”;否则,输出“方程无实根”.结束算法.
相应的流程图如下:
图6
点评:
根据一元二次方程的意义,需要计算判别式Δ=b2-4ac的值.再分成两种情况处理:
(1)当Δ≥0时,一元二次方程有实数根;
(2)当Δ<0时,一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题,根据一元二次方程系数的不同情况,最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时,必须先确定判别式的值,然后再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的,要对判别式的值进行判断,需要用到条件结构.
变式训练
设计算法,求ax+b=0的解,并画出流程图.
解:
对于方程ax+b=0来讲,应该分情况讨论方程的解.
我们要对一次项系数a和常数项b的取值情况进行分类,分类如下:
(1)当a≠0时,方程有唯一的实数解是
;
(2)当a=0,b=0时,全体实数都是方程的解;
(3)当a=0,b≠0时,方程无解.
联想数学中的分类讨论的处理方式,可得如下算法步骤:
1.判断a≠0是否成立.若成立,输出结果“解为
”.
2.判断a=0,b=0是否同时成立.若成立,输出结果“解集为R”.
3.判断a=0,b≠0是否同时成立.若成立,输出结果“方程无解”,结束算法.
流程图如下:
图7
点评:
这是选择结构叠加问题,选择结构叠加,程序执行时需依次对“条件1”“条件2”“条件3”……都进行判断,只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作.
知能训练
1.设计算法,找出输入的三个不相等实数a、b、c中的最大值,并画出流程图.
解:
算法步骤:
1.输入a,b,c的值.
2.判断a>b是否成立,若成立,则执行第三步;否则执行第四步.
3.判断a>c是否成立,若成立,则输出a,并结束;否则输出c,并结束.
4.判断b>c是否成立,若成立,则输出b,并结束;否则输出c,并结束.
流程图如下:
图8
2.“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算:
f=
其中f(单位:
元)为托运费,ω为托运物品的重量(单位:
千克).
试画出计算费用f的流程图.
分析:
这是一个实际问题,根据数学模型可知,求费用f的计算公式随物品重量ω的变化而有所不同,因此计算时先看物品的重量,在不同的条件下,执行不同的指令,这是选择结构的运用,是二分支选择结构.其中,物品的重量通过输入的方式给出.
解:
算法流程图如下图.
图9
拓展提升
有一城市,市区为半径为15km的圆形区域,近郊区为距中心15—25km的范围内的环形地带,距中心25km以外的为远郊区,如图10所示.市区地价每公顷100万元,近郊区地价每公顷60万元,远郊区地价为每公顷20万元,输入某一点的坐标为(x,y),求该点的地价,并画出流程图.
图10
分析:
由该点坐标(x,y),求其与市中心的距离r=
,确定是市区、近郊区,还是远郊区,进而确定地价p.由题意知,p=
解:
流程图如下:
图11
课堂小结
1.理解选择结构的特点.
2.能用学过的选择结构解决常见的算法问题.
作业
习题2—2A组3.
设计感想
本节采用引人入胜的方法引入正课,选用的例题难度适中,有的经典实用,有的新颖独特,每个例题都是很好的素材.选择结构是逻辑结构的核心,是培养学生逻辑推理的好素材,本节设计符合新课标精神,难度设计略高于教材.
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