有限元习题与答案.docx
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有限元习题与答案
习题
解释如下的概念:
应力、应变,几何方程、物理方程、虚位移原理。
解①应力是某截而上的应力在该处的集度。
2应变是指单元体在某一个方向上有一个4U的伸长量,其相对变化量就是应变。
£x=——-以表示在x轴的方向上的正应变,其包括正应变和剪应变。
3
几何方程是表示弹性体内肖点的应变分量与位移分量之间的关系,其完整表示如下:
dudvdwdvdudwdvdudw
dxdydzdxdydydz比ox
4
物理方程:
表示应力和应变关系的方程某一点应力分虽:
与应变分量之间的关系如下:
5虚位移原理:
在弹性有一虚位移情况下,由于作用在每个质点上的力系,在相应的虚位移上虚功总和为零,即为:
若弹性体在已知的而力和体力的作用下处于平衡状态,那么使弹性体产生虚位移,所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。
说明弹性体力学中的几个基本假设。
1连续性假设:
就是假左整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满,不存在任何间隙。
2完全弹性假设:
就是假定物体服从虎克定律。
3各向同性假设:
就是假定整个物体是由同意材料组成的。
⑷小变形和小位移假设:
就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,并且其应变和转角都小于2。
简述线应变与剪应变的几何含义。
线应变:
应变和刚体转动与位移导数的关系,剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。
推到平面应变平衡微分方程。
解:
对于单元体而言苴平衡方程:
+x=o
在平而中有bz=T^=T^代入上式的
如题图所示,被三个表面隔离出来平面应力状态中的一点,求b和厂的值。
相对于xyz坐标系,一点的应力如下
「640「
b=4-30
003
解:
该平而的正应力
(6f
"6「
・f7y
-x6+
x(-3)+—.x3+
111丿
111丿
x2+—x4
11
全应力
Tn=ylT.w+Tyn+Tzn
=+他心+(“&+”v6+u、J+(*,+〃q)
+—x3
111)
该平而的切应力丁”=圧云=如*=3.68一点的应力如下
201010
b=102010
101020
MP
求主应力和每一个主应力方向的方向余弦;球该店的最大剪应力。
・•.I=(t+o\.+6=20+20+20=60MPa
I2=+b、Q-+ 人=66。 : +2冬£尹“—bfj--cr: txy2 =20x20x20+2x10x10x10—20x10,x3=4000“Pg 将山3代入o-3-/Io-2+/2a-Z3=0得£一60/+900<7—4000=0即(b—40)(b-10『=0s=40MP"—=b;=lOMPa 最大剪应力 -20/? r+10/? v+10/1,=0 <10©—20/? v+10/? =0=>nv=nK=n: (1)当"6时代入式() 10/? .+10wv+20n.=0 [/? /+nv2+n: 2=1 (2)当"6=6时代入式()心+从+佚=0且仏“巳 _卫,ly代6 u=rv/+3yzJ+(4+^vX"|xl02 已知一点P的位移场为L,求该点P(1A2)的应变分量 解: P点沿坐标方向的位移分量为u,v,w : .u=y2x102,=3yzx102,»v=(4+6x2)xIO2 6=色=/+3卅人=色+理=2®-2M >勿--dx• dy2dx2碍 v(x,y)=10x2+20xy3+5y2 当x=0.050m/y=0.020m时,求物体的应力和应变。 位移场是否相容 合 6=—=60%一30x2y=60x0.05-30x0.052x0.02=2.9985解: & —=60xy2+10y=60xO.O52x0.02+10x0.02=0.2012 d\fduAy 6 —+—=20.r+20/+60v2-10x3=20x0.05+20x0.025+60x0.022-lOx0.052=1.02291dxdy 由广义胡克左律 厂厶低+“£、.)=¥^f-x(2.9985+0.3x0.2012)=2.54x10’(Mpa) +£、)=x(0.3x2.9985+0.2012)=2.54x10’(⑷町 对于一个没有任何体积力的圆盘,处于平而应力状态。 其中 ax=ay'+bx2y_ex(jx=dyy-eo: =fxy1+gx2y_ha,b,c,d,e,f/g/h是常量。 为了使应力满足平衡方程和相容方程,这些常量的约朿条件是什么 ^=2bxy-cy-=3d>'2^=fy2+2gxy^才=2阳+gF W: 由题意得: &,6,&,6 代入平衡方程 2+c=0 竺+4=2/否_c+2阳+gF=o⑶+fW 二+字=fy+2g®+3dy2=0" OXox 根据广义胡克立律: 巧=云(6-“6)=-{ay3+bx2y-cx-d^iy3-pe) <务=g(S-“bJ=g(dy3_e_艸,3+叶£y+c“x) xy &=詈=2(;")(时+gx2y-h) 6©-6d“y 2(1+〃) 如/)(3〃+/) 2(1+“) 3rz-3J//-Z? //+2(l+//)/ 其中- 根据弹性力学平而问题的几何方程,证明应变分量满足下列方程, a,, 生」叫二% 灵■十轲 并解释该方程的意义。 证明: 弹性力学平而问题的几何方程为: P—dur——y—4- 厂芯①,v內②,J&®③, 将方程①,②分别对y和x求二阶偏导并相加得: ・°%丰*5二余” …常丁dx2_W& 该方程为相容方程中的第一式,其意义为弹性体内任一点都有确左的位移,且同一点不可能有连个不同的位移,应变分虽6'乞,乙v应满足相容方程,否则,变形后的微元体之间有可能出现开裂与重叠。 假设Airy应力函数为卩++,其中勺为常数,求并 求这些变疑间的约束关系。 §二空§二竝二_西 解: 由'斜-京'•'鴻,对该应力函数求偏导得; f二4伸"+3afy++坷)‘ 罟二a^x+la^y+3〃亓+他于 对以上两式的偏导可求得: Q二爭二12坷『+6a2x)^+2a.y2 Txy-(3咛+^a3xy+3為)广) 学+2舍+兽=0 考虑相容性条件"dx~^~即,将上式代入可得各常量间的关系如下: 6q+65-@=0 对给圧的应力矩阵,求最大Tresca和应力。 将VonMises应力和Tresca应力 一点出的应力状态由应力矩阵给岀,即§二 求单位体积的应变能。 解: 单位体积应变能: u=V2E{6X2+6y2+6z2-2u(8x6y+6y62+626z)+2(l+u)(t^2+tx/+tyz2)}u=(E-2Y)/? Y带入可得: 如图所示的平而三角形单元,厚度t=lcm,弹性模ME=*105mpa,泊松比丫=,试求插值函数矩阵N, bl=X2-X3=-8 bi=X3-xi=0 b1=xi-x2=8 厂1Y0= rioi [D]=[E/(1-Y2)]* Y10 =[E/]* 10 j00⑴丫)乡 L°°J ul=2.0mm,vl=1.2mm,u2=2.4mm, 求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵, v2=1.2mm,u3=2.1mm>v3=1.4mm,求单元内的应变和应力,求出主应力及方向。 若在单元jm边作用有线性分布面载荷(X轴),求结点的的载荷分量。 解: 如图2A=643,解得以下参数: al=19a2=-2a3=6: bl=-3b2=4b3=-l;cl=-l c2=-3c3=4: Nl={64/3}*(19-3x-y)N2={64/3}*(-2-3x-3y) N3={64/3}*(6-x+4y) 故N= 0 Nj 0 Nm0] <0 Ji0N j0nJ •1 0 1 0 10] - 0 1 0 1 0J ■ < b. 0 bj0bm 0 [B]={1^A}*0 I 0 Cj0Cm J Ci bi Cjbj5 bm 厂-3 0 4 0-1o' 、 ={6佝 * 0 -1 0 -304 ■3-3 44- -*• <1 Y0、 [D]={E/(1.Y2)}* Y 10 i0 o(l-Y)/2J 单元应力矩阵⑸珂D]*[B]={E/13(l-丫2)}*Y 1Y0、 -3040-1 10J [( •10・304 o0(l-Y)/^ j-1・3-344, -1 单元应力[5]=[S]*[q]={E/13(l-Y2)}* -3-u43u-14u -3u-14u-3・u4 j(u-l)/2(3u-3)/2(3u-3)/22-2u2-2u(u-1)^ 解: 二维单元在x$坐标平而内平移到不同位置,单元刚度矩阵相同,在平而矩阵180°时变化,单元作上述变化时,应力矩阵不变化。 解: 令/=1,〃=而E=2・0e+011,“=1/3, h\ 0 b2 0 N= 0 5 hx 0 5 b2 60 0c3 C3债. 7 单元① 2.250.750 =0.752.250 000.75 -0.500.5000 =0-10000 -1-0.500.510 ■1.125-0.751.1250 00.75 02.25 S'=l・0f+011*-0.375-2.250.3750 -0.75-0.37500.375 0.750 S=DB 1.31250.75-0.5625-0.375-0.75-0.375 0.752.4375-0.375 -0.1875 -0375-2.25 -0.5625-0.3750.5625 0 0 0.375 -0.375-0.18750 0」875 0.375 0 -0.75-0.3750 0.375 0.75 0 -0.375-2.250.375 0 0 2.25 *1.0^011 单元②: 0.5 0 -0.5 0 0 1 0 0 1 0.5 0 -0.5 00 B=0-1 一10 0-0.375-0.5625一0.375-10.56250 0.3750-0.375-0.187500.1875 由和灶』扩充KZ(总刚度阵) 仗=1.02+011* 0.375-0.1875 -0.75一0.375 一0.375 -2.25 0 0 0 0 0 0 0.375 0.375 -0.75 -0.375 0 0 -0.1875 -0.375-2.25 0 0 0 -0.75 0 0 0.375 2.4375 0 -2.25 0.375 0 0 2.0625 0.75-0.5625-0.375 -2.25 0.75 4.6875-0.375 -0.1875 0375 -().5625 -0.375 -0.56250 0 一0.375 -0.1875 0 0」875 1.31250.75-0.5625 0.752.4375-0.375 -0.5625-0.3751.3125 0 -0.75 徑珂00X.X厂儿00];化简得: -Vi AS 亠 1.3125 -0.75 -().75 0 0 -2.25 2.0625 0.75 0.75 4.6875 2.4375 O -2.25 1 0.113' -0.5968 0 0.1947 1 -0.4243. 0 2 则, "-0.5625 0.375 -0.75 -0.375" ■0.1113' "-0.1481' ◎ 0 41875 -0.375 -2.25 -0.5968 0.9517 心 -0.75 0375 -0.5625 -0.375 (11947 -0.1742 0.375 0 -0.375 -0.1875. -04243. .0.0482- 如图所示有限元网格,a=4如,单元厚度t=⑷",弹性模量E=2.°xIO5MPat泊松比"二03。 回答下述问题: (1)结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小 (2)如何设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动 (3)形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵。 (4) 如果施加一定载荷.拟定求解步骤。 (1) (2)⑶ 解: 仁节点编号如图⑵所示; 2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动: 对于单元号1: 妬=比—)'3=-0.(M: 3、如图⑵所示各节点的坐标为(以m为单位): 1(0,0),2,0),3(0"4J,5(0,,6八7(0,,8, 解: 单元号 1 2 3 4 5 6 1 相邻结点 1 3 4 5 5 7 2 2 5 4 6 6 3 4 3 6 7 8 X=『3->? 1=03.b3=y}-y2=0 c{=x3—x2=-0.08c2=x}—x3=0c3=x2—X)=0.08 对于单元号乙仇=〉‘2_九=一°3;妇=儿_儿=0: b4=y3-y2=0.04: c3=x4—=0=x3—x4=-0.08c4=—x3=0.08 ■ 对于单元号3: 巧=儿一儿=°皿: 2=儿_儿=°: 仇=儿一兀=一°殆; c4=x3—x5=0c5=x4—x3=0.08c3=x5—x4=—0.08 对于单元号4: $=儿_几=一°・3: 4=儿_比=0: 瓦=儿_儿=0•饵;c5=x6—x4=0c4=x5-x6=-0.08c6=x4—x5=0.08 ♦55 对于单元号5: 化=儿一儿=-°a;he=y7-y5=o-04.知=儿一儿=°: c5=x7—x6=-0.08q=心_x? =0c7=x6—x5=0.08 对于单元号6: 為=儿_儿=_0・M;&=儿_升=0: 久=),7_几=°・饵: c7=x8—x6=0c6=x7—x8=—0.08c8=x6—x7=0.08 平而三角形单元的而积均为 弹性矩阵均为应变矩阵 0 b2 0 0■ ■-12.5 0 12.5 0 0 0_ 0 Cl 0 s ■ 0 C3 = 0 -25 0 0 0 25 bl 6 C3 • -25 -12.5 0 12.5 25 0 'b3 0 b2 0 b4 0_ -12.5 0 0 0 12.5 0■ 0 C3 0 s 0 C4 = 0 0 0 -25 0 25 g % ■ & J C4 0 -12.5 -25 0 25 12.5_ 2A B⑵=3⑷=3⑹=_1 应力矩阵 S⑴=s^)=D・ ■-27.4725 -16.4835 27.4725 0 0 16.4835' =1.0x10" -8.2418 -54.9451 8.2418 0 0 54.9451 -19.2308 -9.6154 0 9.6154 19.2308 0_ S<2)=S^=S®=D・B⑵ -27.4725o 0 -16.4835 27.4725 16.4835 =1.0xl011 -8.2418 0 0 -54.9451 8.2418 54.9451 0 -9.6154 -19.2308 0 19.2308 9.6154 单元刚度矩阵 K—K" =K⑸= 加・s⑴. At 「1.3187 0.7143 -0.5495 -0.3846 -0.7692 -0.3297 0.7143 2.3901 -0.3297 一0」923 -0.3846 一2」978 =1.0x10" -0.5495 -0.3297 0.5495 0 0 0.3297 -0.3846 一0」923 0 0.1923 0.3846 0 -0.7692 -0.3846 0 0.3846 0.7692 0 -0.3297 -2.1978 0.3297 0 0 2.1978 K⑵=K⑷=K⑹= B⑵丁・S⑵ At > 「0.5495 0 0 0.3297 -0.5495 -0.3297 0 0.1923 0.3846 0 -0.3846 -0.1923 =1.0x10' 0 0.3846 0.7692 0 -0.7692 -0.3846 0.3297 0 0 2.1978 -0.3297 一2」978 -0.5495 -0.3846 -0.7692 -0.3297 1.3187 0.7143 -0.3297 一0」923 -0.3846 -2.1978 0.7143 2.3901 结构刚度矩阵为: 1.3187 0.7143 -0.5495 -0.3846 -0.7692 -0.3297 0 0.7143 2.3901 -0.3297 一0」923 -0.3846 一2」978 0 -0.5495 -0.3297 1.3187 0 0 0.7143 -0.7692 -0.3846 -0.1923 0 2.3901 0.7143 0 -0.3297 -0.7692 -0.3846 0 0.7143 2.0879 0 -1.3187 -0.3297 -2.1978 0.7143 0 0 4.5879 -0.7143 0 0 -0.7692 -0.3297 -1.3187 -0.7143 3.4066 0 0 -0.3846 -2.1978 -0.7143 -2.3901 1.4286 0 0 0 0 0 0.3297 -0.5495 0 0 0 0 0.3846 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K=l・Oxl(/ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3846 0 0 0 0 0 0 0 -2.1978 0 0 0 0 0 0 0 -0.7143 0 0.3846 0 0 0 0 0 -2.3901 0.3297 0 0 0 0 0 0 1.4286 -0.5495 0 -0.7692 -0.3846 0 0 0 6.9780 0 -0.1923 -0.3297 -2.1978 0 0 0 0 2.4177 0.7143 -1.0990 -0.7143 -0.7692 -0.3297 0 -0.1923 0.7143 2.7747 -0.7143 -0.3846 -0.3846 -2.1978 0 0 -0.5495 -0.3297 1.3187 0 0 0.7143 -0.7692 0 -0.3846 -0.1923 0 2.3901 0.7143 0 -0.3297 0 -0.7692 -0.3846 0 0.7143 1.3187 0 -0.5495 0 -0.3297 -2.1978 0.7143 0 0 2.3901 -0.3846 0 0 0 -0.7692 -0.3297 -0.5495 -0.3846 1.3187 0 0 0 -0.3846 -2.1978 -0.3297 -0.1923 0.7143 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3846 一2」978 -0.3297 -0.1923 0.7143 2.3901 若施加一定载荷,求解步骤为: 1、对单元编号,并列出各单元三个结点的结点号; 2、计算外载荷的等效结点力,
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