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人教版初中数学知识点总结66
人教版初中数学知识点
人教版初中数学知识点
七年级上册
第一章有理数
1.1正数和负数
1、正数:
大于0的数叫正数。
2、负数:
小于0的数叫负数。
3、0既不是正数,也不是负数。
1.2有理数
1.2.1有理数
1、有理数:
整数和分数统称有理数。
2、注意:
0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;不是有理数。
3、有理数的分类:
①
②
1.2.2数轴
1、数轴:
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。
1.2.3相反数
1、相反数:
只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0。
2、相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数。
1.2.4绝对值:
1、正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数。
注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离。
2、绝对值可表示为:
或
;绝对值的问题经常分类讨论。
3、有理数比大小:
(1)正数的绝对值越大,这个数越大;
(2)正数永远比0大,负数永远比0小;
(3)正数大于一切负数;
(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;
(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(6)大数-小数>0,小数-大数<0。
4、互为倒数:
乘积为1的两个数互为倒数;注意:
0没有倒数;若a≠0,那么
的倒数是
;若ab=1a、b互为倒数;若ab=-1a、b互为负倒数。
1.3有理数的加法
1.3.1有理数的加法
1、有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加和为0;
(3)一个数同0相加,仍得这个数。
2、有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a;
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)。
1.3.2有理数的减法
1、有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
1、有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数与0相乘都得0;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定。
2、乘积是1的两个数互为倒数。
3、有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:
ab=ba;
(2)乘法的结合律:
(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac。
1.4.2有理数的除法
1、有理数除法法则:
(1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
即
。
(2)注意:
零不能做除数,
。
(3)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
2、有理数加减乘除混合运算法则:
先乘除,后加减。
1.5有理数的乘方
1、乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂。
2、有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:
当n为正奇数时:
(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:
(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n。
3、有理数的混合运算顺序:
(1)先乘方,后乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2科学记数法
1、科学记数法:
把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法。
1.5.3近似数
1、近似数的精确位:
一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位。
2、有效数字:
从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字。
第二章整式的加减
2.1整式
1、单项式:
在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。
或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。
2、单项式的系数与次数:
单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数。
3、多项式:
几个单项式的和叫多项式。
4、多项式的项数与次数:
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数。
5、整式:
单项式与多项式的统称。
2.2整式的加减
1、同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2、合并同类项:
把多项式中的同类项合并成同一项,叫做合并同类项。
3、合并同类项法则:
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项系数的和,且字母连同它的指数不变。
4、去括号法则:
(1)如果括号外面的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
(2)如果括号外面的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
5、正式加减法法则:
一般的,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后在合并同类项。
第三章一元一次方程
3.1从算式到方程
3.1.1一元一次方程
1、方程:
含有未知数的等式叫方程。
2、一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
3.1.2等式的性质
1、等式的性质:
(1)等式的性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果任相等。
即
。
(2)等式的性质2等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
即
。
3.2解一元一次方程
(一)——合并同类项与移项
1、移项:
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
3.3解一元一次方程
(二)——去括号与去分母
1、一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。
2、一元一次方程解法的一般步骤:
整理方程——去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1——检验方程的解。
3.4实际问题与一元一次方程
1、列一元一次方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题:
距离=速度·时间
;
(2)工程问题:
工作量=工效·工时
;
(3)比率问题:
部分=全体·比率
;
(4)顺逆流问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题:
售价=定价·折·
,利润=售价-成本,
;
(6)周长、面积、体积问题:
C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab,C正方形=4a,
S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=
πR2h。
第四章几何图形初步
4.1几何图形
4.1.1立体图形与平面图形
1、立体图形:
几何体的各部分不都在同一平面内的图形叫做几何图形。
2、平面图形:
有些几何图形的各部分都在同一平面内叫做平面图形。
3、展开图:
有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形。
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
4.1.2点、线、面
1、体:
几何体也简称为体。
2、面:
包围体的是面。
3、线:
面和面相交的地方形成线。
点:
线和线相交的地方形成点。
4.2直线、射线、线段
1、事实:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
简单说成:
两点确定一条直线。
2、当两条不同的直线有一个公共点时,称这两条直线相交,这个公共点叫做交点。
3、尺规作图
4、基本事实:
两点的所有连线中,线段最短。
简单说成:
两点之间,线段最短。
4.3角
4.3.1角
1、角的单位:
度(°)、分(’)、秒(’’)。
2、单位换算:
1°=60’1’=60’’
4.3.2角的比较与运算
1、角的平分线:
一般的,从一个顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线。
4.3.3余角和补角
1、余角:
如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互余。
2、性质:
同角(等角)的补角相等。
同角(等角)的余角相等。
4.4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒
七年级下册
第五章相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线
1、邻补角:
两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2、对顶角:
一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。
3、性质:
对顶角相等。
5.1.2垂线
1、垂线:
两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线,它们的交点叫做垂足
2、性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:
垂线段最短。
3、点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
1、同位角:
两个角分别在直线的同一方,并且都在另一条直线的同侧,具有这种位置关系的一对角叫做同位角。
2、内错角:
两个角分别在直线的之间,并且在另一条直线的两侧,具有这种位置关系的一对角叫做内错角。
3、同旁内角:
两个角分别在直线的之间,并且都在另一条直线的同侧,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
4、同位角、内错角、同旁内角:
同位角:
∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角:
∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角:
∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
5.2平行线及其判定
1、平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
5.2.2平行线的判定
1、判定方法:
判定方法1:
同位角相等,两直线平行;
判定方法2内错角相等,两直线平行;
判定方法3同旁内角互补,两直线平行。
5.3平行线的性质
5.3.1平行线的性质
1、性质:
性质1两直线平行,同位角相等;
性质2两直线平行,内错角互补;
性质3两直线平行,同旁内角互补。
2、平行公理:
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
5.3.2命题、定理、证明
1、.命题:
判断一件事情的语句叫命题。
2、真命题:
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题。
3、假命题:
题设成立时,本鞥保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题。
4、定理:
经过推理证实得到的命题叫做定理。
5、证明:
一个命题的正确性需要经过推理才能做出正确判断,这个推理过程叫做证明。
5.4平移
1、平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移平移变换,简称平移。
2、对应点:
平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样
第六章实数
6.1平方根
1、算术平方根:
如果一个正数x的平方等于a,即
,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
A的算术平方根记为
,a叫做被开方数。
2、规定:
0的算术平方根是0。
3、平方根:
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
4、开平方:
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
6.2立方根
1、立方根:
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
2、开立方:
求一个数a的立方根的运算,叫做开立方。
6.3实数
1、无理数:
无限不循环小数又叫无理数。
2、实数:
有理数和无理数统称实数。
3、性质:
(1)数a的相反数是-a。
(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
第七章平面直角坐标系
7.1平面直角坐标系
7.1.1有序数对
1、有序数对:
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做(a,b)。
7.1.2平面直角坐标系
1、平面直角坐标系:
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
2、横轴、纵轴、原点:
水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
3、坐标:
对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
4、象限:
两条坐标轴把平面分成四个部分,右上部分叫第一象限,按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
7.2坐标方法的简单应用
7.2.1用坐标表示地理位置
7.2.2用坐标表示平移
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
1、二元一次方程:
含有两个未知数,并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次。
方程,一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2、二元一次方程组:
把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程的解:
一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4、二元一次方程组的解:
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
8.2消元—解二元一次方程组
1、消元:
将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。
2、代入消元:
将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
3、加减消元法:
当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。
8.3实际问题与二元一次方程组
1、解应用题过程:
审、设、列、解、验、答
8.4三元一次方程组的解法
1、三元一次方程组:
方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程叫做三元一次方程组。
2、解方程组思路:
三元一次方程组——消元——二元一次方程组——消元——一元一次方程。
第九章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集
1、不等式:
用符号“<”“>”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2、不等式的解:
使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
3、不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
9.1.2不等式的性质
1、不等式的性质:
不等式的基本性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
即
;
不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
即
;
不等式的基本性质3:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
即
。
9.2一元一次不等式
1、一元一次不等式:
不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
9.3一元一次不等式组
1、一元一次不等式组:
一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
第十章数据的收集、整理与描述
10.1统计调查
1、全面调查:
考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2、抽样调查:
调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3、总体:
要考察的全体对象称为总体。
4、个体:
组成总体的每一个考察对象称为个体。
5、样本:
被抽取的所有个体组成一个样本。
6、样本容量:
样本中个体的数目称为样本容量。
10.2直方图
1、频数:
一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
2、频率:
频数与数据总数的比为频率。
3、组数和组距:
在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。
4、直方图:
10.3课题学习从数据谈节水
八年级上册
第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边
1、三角形:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系:
三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
1、高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
2、中线:
在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
3、角平分线:
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
4、三角形的重心:
三角形的三条中线相交于一点,三角形中线的交点叫做三角形的重心。
11.1.3三角形的稳定性
1、三角形的稳定性:
三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
11.2与三角形有关的角
11.2.1三角形的内角
1、三角形内角和定理:
三角形三个内角的和为180°。
2、三角形外角的性质与推理:
性质:
直角三角形的两个锐角互余。
推理:
有两个角互余的三角形是直角三角形。
11.2.2三角形的外角
1、三角形的外角:
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。
2、推论:
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
11.3多边形及其内角和
11.3.1多边形
1、多边形:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
2、多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
3、正多边形:
在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.3.2多边形的内角和
1、多边形内角和公式:
n边形的内角和等于(n-2)·180°。
2、多边形的外角和等于360°。
3、多边形对角线的条数:
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。
(2)n边形共有
条对角线。
第十二章全等三角形
12.1全等三角形
1、全等形:
能够完全重合的两个图形,叫做全等形。
2、全等三角形:
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
3、对应顶点:
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边。
重合的角叫做对应角。
4、全等三角形的性质:
全等三角形的对应角相等、全等三角形的对应边相等。
12.2全等三角形的判定
1、三角形全等的判定公理及推论有:
(1)“边角边”简称“SAS”:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等;
(2)“角边角”简称“ASA”:
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等;
(3)“边边边”简称“SSS”:
三边分别相等的两个三角形全等;
(4)“角角边”简称“AAS”:
两角和其中一个角的对边风暴相等的两个三角形全等;
(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL):
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
12.3角平分线的性质
1、角的平分线性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2、角的平分线推论:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
3、证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:
①确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系);②回顾三角形判定,搞清我们还需要什么;③正确地书写证明格式。
第十三章轴对称
13.1轴对称
13.1.1轴对称
1、对称轴:
如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2、垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
3、图形轴对称的性质:
(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
(2)轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
13.1.2线段的垂直平分线的性质
1、性质:
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
(2)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
13.2画轴对称图形
1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。
13.3等腰三角形
13.3.1等腰三角形
1、等腰三角形的性质:
性质1:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”。
2、等腰三角形的判定:
等角对等边。
13.3.2等边三角形
1、等边三角形角的特点:
等边三角形的三个内角相等,并且每一个角都等于60°。
2、等边三角形的判定:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3、性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
13.4课题学习最短路径问题
第十四章整式的乘法与分解因式
14.1整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
1、同底数幂的乘法法则:
(m,n都是正数)。
14.1.2幂的乘方
1、幂的乘方法则:
(m,n都是正数)。
。
14.1.3积的乘方
1、积的乘方法则:
(n为正整数)。
14.1.4整式的乘法
1、单项式乘法法则:
单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与多项式相乘:
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
3、多项式与多项式相乘:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
4、同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
(a≠0,m、n都是正数,且m>n)。
在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0。
②任何不等于0的数的0次幂等于1。
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即
(a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的;当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的。
④运算要注意运算顺序。
5、单项式除法单项式:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
6、多项式除以单项式:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加。
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
1、平方差公式:
。
14.2.2完全平方公式
1、完全平方公式:
。
2、添括号法则:
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。
14.3因式分解
1、分解因式:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。
14.3.1提公因式法
1、公因式:
在多项式中各项都有一个共同的因式,把这个因式叫做多项式的公因式。
2、提公因式法:
将多项式写成公因式与另一个因式乘积
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