轴对称教案.docx

轴对称教案.docx

《轴对称教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《轴对称教案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

轴对称教案

轴对称

适用学科

初中数学

适用年级

初中一年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

60

知识点

1．轴对称图形的定义．

2．轴对称图形的判断方法

3．学会利用轴对称画图

4．会利用轴对称性质进行相关计算

5．能说出角的平分线的性质、线段的垂直平分线的性质．

6．等腰三角形的性质和应用

教学目标

能解释并区分等腰三角形的性质定理、三线合一定理、判定定理．

能利用轴对称图形说出轴对称的性质．

能利用轴对称的性质画图并解决实际问题

教学重点

轴对称图形的判断；轴对称的应用

教学难点

轴对称的应用

教学过程

一、知识讲解

考点1　轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图

形叫做轴对称图形,该直线称为对称轴．

轴对称图形一定有对称轴,可能有一条,也可能有多条．

归纳整理:

寻找轴对称图形的对称轴应从多角度、多方位仔细观察,不要漏掉．

考点2　轴对称的性质

（１）关于某条直线对称的两个图形是全等形．

（２）如果两个图形关于某直线对称,那么对应点连接的线段被对称轴垂直平分．

（３）关于某直线对称的两个图形的对应线段相等,对应角相等．

关键提醒:

关于某条直线对称的两个图形沿此直线对折后,能够完全重合,能

够重合的点称为对应点,能够重合的线段称为对应线段,能够重合的角称为对

应角

考点3　有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

等腰三角形的特征:

（１）等腰三角形是轴对称图形;

（２）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称三线合

一）,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴;

（３）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）;

（４）如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等（等角对等边）．

考点4　作简单平面图形轴对称后的图形

解决这类问题时,首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点,然后利用轴

对称的性质,作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）,然后分

别连接其对称点,则可得其对称图形．因此,作简单平面图形轴对称后的图形的关

键是求作已知点的对应点（对称点）．

三、例题精析

【例题1】下列图形中是轴对称图形的是（　　）．

【答案】C

【解析】直接根据轴对称图形的定义即可判定．

【例题2】指出图中,哪些是轴对称图形,哪些成轴对称?

【答案】:

轴对称图形是①②⑤,成轴对称的是③⑥

【解析】:

正确理解轴对称图形和轴对称的概念

【例题3】下列图形中,△ABC与△A′B′C′关于直线MN成轴对称的是（　　）

【答案】A

【解析】:

看平面内两个三角形能否按一条直线对折后完全重合．显然只有A对

折后重合．

四、课堂运用

【基础】

1.,观察这些图形,判断其是不是轴对称图形,如果是,请指出它有几条对称轴．

【解析】:

①是轴对称图形,有一条对称轴;②不是轴对称图形;③是轴对称图形,

有一条对称轴;④不是轴对称图形;⑤是轴对称图形,有一条对称轴;⑥不是轴对称

图形;⑦不是轴对称图形;⑧是轴对称图形,有一条对称轴;⑨是轴对称图形,有五条

对称轴;⑩不是轴对称图形;（11）是轴对称图形,有一条对称轴;（12）不是轴对称图形．

轴对称图形的对称轴有时不只一条．

2.△ABC为等边三角形,AE⊥BC,垂足为E,则下列结论

中,正确的个数是（　　）．

①AB＝AC＝BC;②∠BAC＝∠B＝∠C＝６０°;

③线段AE是△ABC的对称轴;

④线段AE是∠BAC的角平分线．

A．１B．２C．３D．４

【解析】一个图形的对称轴应是直线而不是线段．本题反复运用了等边三角形是

轴对称图形这一性质

【答案】C

【巩固】

1.某城区规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A、B、C之间修建购物商场．试问:

该购物商场建在何处才能使三个住宅小区的居民到购物商场的距离相等?

【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,本题实际上就是要

找一个点,使它到三角形的三个顶点的距离相等．

【答案】:

如图５．３Ｇ１０所示,首先考虑到A、B两点距离相等的点应在线段AB的垂直平分线DE上,再考虑到B、C两点距离相等的点应在线段BC的垂直平分线FH上,FH与DE相交于点M．由于点M在线段AB的垂直平分线DE上,所以MA＝MB;又由点M在线段BC的垂直平分线FH上,所以MB＝MC．所以MA＝MB＝MC．故点M处就是购物商场所要建的地点．

2.把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在点D′、C′位置,若∠EFB＝5０°,则∠AED′的度数是多少?

【解析】轴对称的性质在折叠中有着重要的作用,而折叠问题又隐含着角相等、线段相等的条件,这是解决问题的关键．

【答案】由轴对称性质,知∠１＝∠２．

又　AD∥BC,

∴　∠１＝∠EFB＝５０°．

∴　∠１＝∠２＝５０°．

∴　∠AED′＝１８０°－∠１－∠２＝８０°．

【拔高】

1.某一夏令营队要从A地穿过草地去B地,途中需要到河边MN去加水．请问:

在河边的哪一个点加水,才能使行程路线最短?

【解析】本题转化为数学模型就是:

已知直线MN和直线MN的同侧两点A、B．

试在直线MN上确定一个点O,并且使AO＋OB最短．

【答案】作法:

（１）作点A关于直线MN的对称点A１;

（２）连接A１B,交直线MN于点O,如图５．３Ｇ１２,则点O就是所求的点．

2.一轮船由南向北航行,在A处测得小岛P在西偏北７５°方向上,２小时后,轮船在B处测小岛P在西偏北６０°方向上,在小岛周围１８海里内有暗礁,若轮船仍按１５海里/时的速度向前航行,有无触礁的危险．

【解析】根据题意画出，则AB＝１５×２＝３０（海里）．

过点P作PC⊥AB,垂足为C,由题中分别在点A、点B测得方位角可知

∠PAB＝９０°－７５°＝１５°,∠PBC＝９０°－６０°＝３０°．

∴　∠APB＝∠PBC－∠PAC＝３０°－１５°＝１５°．

∴　∠PAB＝∠APB．

∴　PB＝AB＝３０（海里）（等角对等边）．

在Rt△BPC中,

∵　∠PBC＝３０°,PC⊥AC,

∴　PC＝0.5×PB＝0.5×３０＝１５（海里）．

就是说,点C距小岛P只有１５海里,而小岛P的周围１８海里的范围内有暗

礁,所以该船向北航行有触礁的危险．

课程小结

熟练掌握轴对称图形的特点以及作图方法，学会判断轴对称图形，能够灵活运用等腰三角形的相关性质和定理。

课后作业

【基础】

1.,在四边形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA,

∠A＝７２°,请你设计三种不同的方法,将四边形ABCD分割成四个三角形,使得每个三角形都是等腰三角形．（画图工具不限,要求画出分割线段,标出能够说明分法所得三角形内角的度数,没有标出能够证明分法所得三角形内角度数的不给分;不要求写出画法,不要求证明）

注:

两种方法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的方法．

【解析】本题是一道综合题,不仅考查学生的画图能力,更重要地是考查学生如

何利用已知的知识去处理问题,从不同角度去探索结果．因为四边形ABCD四条

边相等,每条对角线所在直线是它的对称轴,所以连接对角线就能把对角一分为

二,且得两个完全相同的等腰三角形,考虑∠A＝７２°,故可从连接对角线AC开始

来处理,当然也可以从某一个顶点出发来考虑．

2.如图所示的图形是轴对称图形,找出它的对称轴,并找出它的两组对应线段与两组对应角．

【解析】确定对应线段与对应角的关键是先找出它们的对应点．

【答案】对应线段:

AB＝AC,AD＝AE;对应角:

∠B＝∠C,∠１＝∠２．

【巩固】

1.平面镜固定在与水平桌面成４５°角处,一小球以１厘米/秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去,则小球在平面镜里所成的像（　　）．

A、以１厘米/秒的速度,做竖直向上运动

B、以１厘米/秒的速度,做竖直向下运动

C、以２厘米/秒的速度,做竖直向上运动

D、以２厘米/秒的速度,做竖直向下运动

【解析】根据小球与其在镜子中的像关于镜面成轴对称,可作出小球关于镜面对

称的像,根据作图可以发现其像运动的方向．

由平面镜成像的特点可知像与球关于镜面成轴对称，根据轴对称的特征可知∠１＝４５°,AO＝A′O,由此可得小球运动的速度为１厘米/秒,运动的方向竖直下．故选B．

【答案】B．

2.∠AOB内有一点P,分别画出点P关于OA、OB的对称点P１、P２,连接P１P２,交OA于点M,交OB于点N．若P１P２＝５cm,求△PNM的周长．

【解析】借助轴对称的性质,把△PMN中的两条边等值转化到MN所在的直线上．

【答案】因为点P与点P１、P２分别关于OA、OB对称,所以PM＝P１M,PN＝P２N．所以△PMN的周长＝PM＋PN＋MN＝P１P２＝５cm．

【拔高】

1.,在△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,点P在DA的延长线上．你能利用轴对称的性质证明PC＝PB吗?

【解析】利用轴对称的性质可以证明线段相等．

【答案】因为AB＝AC,∠BAD＝∠CAD,AD＝AD,所以△BAD≌△CAD．所以AD垂直平分BC．因为点P在DA的延长线上,所以PC、PB关于PD对称．所以PC＝PB．

2.在△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC,垂足为D,∠A＝５０°,求∠DBC．

【答案】∵在△ABC中,AB＝AC,∠A＝５０°,

∴　∠ABC＝∠ACB＝６５°．

∵　BD⊥AC,垂足为D,

∴　∠DBC＝９０°－∠ACB＝９０°－６５°＝２５°．

课后评价