小学数学解题专题研究4.docx
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小学数学解题专题研究4
小学数学解题专题研究4
第四讲小学数学解题的思想方法,三,
问题12:
对应思想
在数学问题的各种数量关系中,有时存在着相对应的关系,抓住这种对应关系就可以找到解答问题的途径。
在具体解答问题时,可以摘录已知条件分析数量之间的联系,找出两类量之间相对应的关系,也可以画出线段图揭示这种对应关系。
例1.甲、乙、丙三人在商场各出同样的钱批发了一些同样的水果罐头,回来以后,甲和乙都比丙多要了6听罐头,因此甲和乙分别给丙4.9元钱。
•每听水果罐头的批发价是多少元?
(《小学数学题典》,甘肃文化出版社,1995年12月版,第262页。
)
分析:
这道题的数量关系较复杂也比较隐蔽,关键是找出水果罐头的听数和相对应的钱数,就可以解决问题。
我们用“对应思想”来确定数量关系。
甲、乙、丙各出同样的钱——?
甲、乙、丙各应分得同样的水果罐头
甲、乙都比丙多要了6听罐头——?
一共多要了6×2,12(听)
三人平均各应再分得的罐头听数——?
12?
3,4(听)
甲实际比平均数多要(6,4)听——?
甲给丙的4.9元钱
乙实际比平均数多要(6,4)听——?
乙给丙的4.9元钱
通过这样的思考,我们搞清了数量关系。
由于甲、乙、丙三人在商场各出同样的钱批发了一些同样的水果罐头,甲和乙都比丙多要了6听罐头,一共多要了12听罐头,而买这12听罐头的钱也都是他们三人的钱。
这说明他们应该再平均分这12听罐头,每人分得4听罐头就正合适。
根据题意,甲实际比丙多要了6听罐头,比平均数4听多要了2听,这2听罐头的钱就正好是甲给丙补的4.9元钱。
(当然也可以这样想:
实际甲、乙两人一共比丙多要了2×2听罐头,一共给丙补了4.9×2元钱)因此,就可以算出每听水果罐头的批发价是多少元。
郑君文、张恩华:
《数学学习论》,广西教育出版社,1991年3月版,第116页。
解:
4.9?
(6,6×2?
3),2.45(元)
或4.9×2?
(6,6×2?
3)×2,2.45(元)
答:
每听水果罐头的批发价是2.45元。
在解题的过程中,在运用对应思想找数量之间对应的关系时,可能会用其它解题思想方法的辅助,如转化思想、线段图示法等。
我们掌握了这一思想方法,就善于把握复杂问题所对应着的简单数量关系,从而化繁为简,清晰反映数量之间的关系,找到解题思路和方法。
例2某超市运来方便面比麻辣粉丝多210包,当方便面卖掉一半时,方便面比麻辣粉丝少30包。
方便面和麻辣粉丝各运来多少包,
分析:
我们用对应思想来确定数量关系之间的联系。
运来的方便面比麻辣粉丝————————————?
多210包
方便面卖掉一半时比麻辣粉丝————————————?
少30包
两次比较比较的标准“麻辣粉丝的包数”没变,只是方便面的包数相差一半,比较的结果出现“多210包”和“少30包”,因此方便面包数的一半就是对应210包与30包的和。
所以找到了这种
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对应关系,也就找到了解题的方法。
画出线段图更能说明问题:
多210包
少30包
方便面
麻辣粉丝
解:
(210,30)×2=480(包)480,210=270(包)
答:
方便面运来480包,麻辣粉丝运来270包。
例3甲乙两人比较岁数。
甲对乙说:
“当我像你现在这么大的岁数时,你刚好3岁。
”乙对甲说:
“当我长到你现在这么大的岁数时,你就15岁了。
”甲、乙二人今年各是多少岁,
分析:
通过画线段图,分析题目中的数量关系。
线段图中甲比乙大的年龄就是“年龄差”。
从甲对乙说的话“当我像你现在这么大的岁数时,你刚好3岁”中知道,此时是把甲现在的年龄减少了1个“年龄差”(线段图中的粗线部分)后的年龄,相对应的乙是3岁。
因此甲当时的年龄对应着“3岁”和1个“年龄差”的和,也就是乙现在的年龄。
这说明甲现在的年龄对应着“3岁”与2个“年龄差”的和。
从乙对甲说的话“当我长到你现在这么大的岁数时,你就15岁了”中又可以知道,此时是把乙现在的年龄增加了1个“年龄差”(线段图中虚线部分)后的年龄相对应的甲是15岁。
因此,甲当时的年龄对应着“3岁”与3个“年龄差”的和。
所以先算出这个“年龄差”,就可以算出甲、乙现在的年龄。
15岁
甲
年龄差
乙年龄差
现在3岁
解:
(15,3)?
(1,1,1)=4(岁)15,4=11(岁)11,4=7(岁)
答:
甲今年11岁,乙今年7岁。
问题13:
假设思想
当数学问题的数量关系隐蔽时,可以先把题中的条件假设为一个与之相近、相似的条件,或直接假设问题,然后从这个假设开始,分析题目的数量关系,从而找到解题途径和方法。
例1.一批石油,用甲种油槽车装载,要用45辆;如果用乙种油槽车装载,只要36辆。
已知甲种车比乙种车每辆少装4吨,这批石油共重多少吨?
(柴学林《小学数学题典》,甘肃文化出版社,1995年12月版,第102页。
)
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分析:
我们假设一个条件“假设用甲种油槽车36辆装载石油”,根据题意,用甲种油槽车装完这批石油,要用45辆,比假设的条件多(45,36)辆;而用乙种油槽车装载只要36辆,已知甲种车比乙种车每辆少装4吨,36辆甲种油槽车比36辆乙种油槽车少装4×36吨,这些石油正好是由(45,36)辆甲种油槽车装的。
所以,可以先求出每辆甲种油槽车装多少吨石油,再求出这批石油共重多少吨。
解:
(1)每辆甲种油槽车装多少吨,
4×36?
(45,36),16(吨)
(2)这批石油共重多少吨,
16×45,720(吨)
答:
这批石油共重720吨。
当然,也可以假设“用乙种油槽车45辆装载石油”去思考解答,请大家试一试。
例2.同学们参加野营活动,一个同学到负责后勤的老师那里去领碗,老师问他领多少,他说领55个。
又问:
“多少人吃饭,”他说:
“一人一个饭碗,两人一个菜碗,三人一个汤碗。
”这个同学给多少人领碗,(九年义务教育小学《数学》课本,第十一册,人民教育出版社2001年12月版,第105页思考题。
)
分析:
假设这个同学给6人领碗,那么根据题意,要领6个饭碗、3个菜碗和2个汤碗,一共要领的碗数是:
6,3,2,11(个),这个碗数与题目中的一共领“55个碗”的条件不相符合,要进行调整。
由于55?
11,5,55个碗是11个碗的5倍,因此实际人数应该是假设人数的5倍,即6×5,30(人)。
所以,问题就可以解决。
问题14:
转化思想
当数学问题情景陌生而且数量关系复杂时,要对题目进行“等效处理”,应用转化思想方法去解答问题。
在数学解题中应用转化的思想方法,其核心是把陌生的问题转化为熟悉的问题,或把数量关系复杂的问题转化为数量关系简单的问题,然后进行解答。
在小学数学解题中,要着重考虑:
从“未知”向“已知”转化;从“繁难”向“简易”转化;从“一个量”向“另一个量”转化,从而找到解答问题的途径和方法。
例1.如下图所示,求图中阴影部分的面积。
分析:
从图中可知,正方形的边长是10厘米,正方形内阴影部分是由两个半圆相交所围成的图形,直接计算有困难。
应用转化的思想,把阴影部分右侧两块虚线画出的弓形图形转动,补在图形中间,阴影部分正好转化成一个底和高都是10厘米的三角形,由此阴影部分的面积就可以求出来。
解:
10×10?
2,50(平方厘米)
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答:
阴影部分的面积是50平方厘米。
在这道题的解答思考过程中,实际上是先把一个较复杂的平面图形面积的计算问题,转化为一个简单的平面图形面积的计算问题,然后再进行计算。
例2(买3双皮鞋的价钱与20双布鞋的价钱相等。
买2双皮鞋与5双布鞋要付660元钱,每双皮鞋和布鞋各多少元,
分析:
我们利用转化思想对题目条件进行“等效处理”:
由于“买3双皮鞋的价钱与20双布鞋的价钱相等”,那么推得:
买3×2双皮鞋价钱与20×2双布鞋的价钱相等;又由于“买2双皮鞋与5双布鞋要付660元钱”,那么又可以推得:
买2×3双皮鞋与5×3双布鞋要付660×3元钱。
再用“20×2双布鞋的价钱”去代替“3×2双皮鞋价钱”就可以推得:
买20×2双布鞋与5×3双布鞋要付660×3元钱。
从而可以先求出每双布鞋多少元钱。
解:
(1)每双布鞋多少元钱,
660×3?
(20×2,5×3),36(元)
(2)每双皮鞋多少元钱,
36×20?
3,240(元)
答:
每双皮鞋240元,每双布鞋36元。
这道题还可以有其它的解法,大家可以试一试。
转化是解决问题的一种最基本的思想方法。
我们要注意学习和体会在解题过程中,怎样化繁就简、化难为易、化陌生为熟悉、化未知为已知,使问题得到解决,从而逐步积累解题经验,进一步掌握解题的思想方法。
问题15:
分类思想
在小学数学中,一些概念就是通过分类定义的,有的运算法则、运算性质和计算公式也是用分类的方法给出的,一些图形的辨认和相互位置的变化规律也要通过分类加以研究。
在解答小学数学问题时,也要用分类的思想方法对一些比较复杂的问题进行分析,分成若干类加以考察,从而使问题得到解决。
例1.小于1000的自然数中,各数位上的数的和是5的自然数有多少个,
分析:
可以按数位多少进行分类,分别考察满足条件的自然数各有多少个。
(1)符合条件的三位数。
百位数是1的三位数,其它两个数位上的数的和是4,这些自然数是:
104、140、113、131、122,有5个。
百位数是2的三位数,其它两个数位上的数的和是3,这些自然数是:
203、230、212、221,有4个。
百位数是3的三位数,其它两个数位上的数的和是2,这些自然数是:
302、320、311,有3个。
百位数是4的三位数,其它两个数位上的数的和是1,这些自然数是:
401、410,有2个。
百位数是5的三位数,只有500,有1个。
因此,符合条件的三位数有:
5,4,3,2,1,15(个)。
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(2)符合条件的两位数:
14、41、23、32、50,有5个。
(3)符合条件的一位数只有5,有1个。
解:
综合以上的分析可知,符合条件的自然数一共有:
15,5,1,21(个)
答:
小于1000的自然数中,各数位上的数的和是5的自然数有21个。
例2(下面的图形是由边长1厘米的正方形组成的,在这个图形中一共可以找出多少个正方形,
1厘米
1厘米
分析:
直接去数难免有重复或遗漏的情况,我们可以按正方形的边长的多少进行分类,考察正方形的个数。
(1)边长是1厘米的正方形,从大正方形的一边看有5个,从另一边看也有5个,因此共有:
5×5,25(个)。
(2)边长是2厘米的正方形,从大正方形的一边看有4个,从另一边看也有4个,因此共有:
4×4,16(个)。
(3)边长是3厘米的正方形,从大正方形的一边看有3个,从另一边看也有3个,因此共有:
3×3,9(个)。
(4)边长是4厘米的正方形,从大正方形的一边看有2个,从另一边看也有2个,因此共有:
2×2,4(个)。
(5)边长是5厘米的正方形,只有1个。
所以,在这个图形中一共可以找出的正方形有:
5×5,4×4,3×3,2×2,1,25,16,9,4,1,55(个)
答:
在这个图形中一共可以找出55个正方形。
分类既是一种数学思想,又是自然科学及社会科学研究中的基本逻辑方法。
在小学数学解题中,常常以概念的划分、集合的分类为基础,首先要能够想到分类,然后要能够会用分类的方法对问题进行逐一考察和解决,从而使数学问题得到解答。
问题16:
数形结合思想
“数”与“形”是反映现实世界中客观事物属性的两个方面。
一般来讲,“数”是“形”的概括与抽象,“形”是“数”的具体体现,“数”和“形”在一定条件下可以互相转化。
在小学数学解题中,数形结合思想就是利用“形”把问题的数量关系形象地表示出来,如用线段图、长方形面积图
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或集合图等帮助理解数量关系,进行广泛联想,促使“数”与“形”的和谐统一,从而打开思维通道,使问题简明、直观,找到解决问题的方法。
例1(早晨8时以后,有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去,两辆汽车的速度都是每小时60千米。
在8时32分的时候,第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车离开化肥厂距离的3倍;到了8时39分的时候,第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车离开化肥厂距离的2倍。
第一辆汽车是8时几分离开化肥厂的,(首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题)
化
肥8点39分8点32分厂
第一辆汽车
第二辆汽车
分析:
这道题目的数量关系比较抽象,直接理解有困难。
我们可以根据问题中的已知条件,画出线段图,数量关系就清楚了。
如下图所示:
由于两辆汽车的速度相同,都是每小时60千米,那么就可以用同样的线段长度表示两辆汽车在一定时间里所行的路程。
在8时32分时,如果把第二辆汽车所行的路程(距离)看作1份,那么第一辆汽车离开化肥厂所行的路程(距离)就是这样的3份;在8时39分时,第一辆汽车离开化肥厂的路程(距离),正好是第二辆汽车离开化肥厂路程(距离)的2倍,符合题目条件。
可以看出,每行1份的路程(距离)两辆汽车各行驶了7分钟。
解:
39,32,7(分)
8时32分,7分×3,8时32分,21分,8时11分
答:
第一辆汽车是8时11分离开化肥厂的。
在这个问题的解答中,把反映数量关系的“数量”与“线段图”紧密结合,很快找到了解题方法。
利用数形结合思想解答小学数学问题,主要是借助图形把抽象、复杂的数量关系形象化、直观化,以帮助理解题中的数量关系,拓宽解题思路,提高解题能力。
问题17:
代数思想
在小学数学解题中应用代数思想,就是指能够通过用字母表示数,以及用字母表示实际问题中的数量关系和数学的一般规律性,从而找到解决问题的方法。
如用代数方法(列方程)解应用题就是代数思想在小学解题中的重要应用。
算术方法解答问题,未知数处于特殊地位,解题思路和方法经常受到限制,有时解题比较困难,就可以考虑用代数方法(列方程的方法)解决问题。
一个数学问题用代数方法解决,首先要熟悉列方程解决问题的思路;其次是分析、探索找等量关系的途径;再次是把握数量之间的相等关系,列出方程;最后通过解方程解答数学问题。
在解题的思维过程中,可以用字母或文字表示数量关系,借助“代数式”进行分析,寻找解题方法。
例1.鸡兔同笼共有36只,脚有100只,鸡兔各有多少只,
这个问题我们先用算术方法解答,然后再用代数思想进行分析解答,从而又可以看出代数思想
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在解题中的作用。
分析:
如果我们想象,这些鸡兔做精彩的表演,所有的鸡都是单脚站立,“金鸡独立”;所有的兔都是后双脚站立,“玉兔拜月”。
这时候,鸡兔脚的总数只有原来的一半:
100?
2,50(只),因为鸡兔的总数不变,而此时鸡的只数等于鸡脚的只数,所以兔的只数是50,36,14(只),因而鸡的只数是36,14,22(只)。
解:
(1)兔的有多少只,
100?
2,36,14(只)
(2)鸡有多少只,
36,14,22(只)
答:
鸡有22只,兔有14只。
再分析:
以上这种具有想象力的解题思路显得新颖独特,别出心裁,是一种“奇思巧想”,是一个“再发现式”的创造性思维过程。
事实上,如果设鸡有x只,兔有y只,列出方程是:
x,y,36
2x,4y,100
解得y,100?
2,36,从而证实了以上想法的正确性,也揭示了“奇思巧想”的本质特征,更体现了用代数思想解决问题的优越性,是代数思想在解题中的应用。
例2.甲、乙、丙三数的和是244。
已知甲数除以乙数、乙数除以丙数,结果都是商3余2。
丙数是多少,
分析:
由于甲数除以乙数商3余2,这说明甲数是乙数的3倍还多2;同样乙数除以丙数商3余2,同样也说明乙数是丙数的3倍还多2,如果用算术方法思考商量关系复杂。
因此,应用代数思想进行思考:
可以设丙数为x,那么,乙数就是3x,2,因此,甲数就是3(3x,2),2。
所以,就可以列出方程进行解答。
解:
设丙数为x,乙数就是3x,2,甲数就是3(3x,2),2,根据题意得
3(3x,2),2,3x,2,x,2449x,6,2,3x,2,x,244
13x,10,24413x,234x,18
答:
丙数是18。
在小学数学解题过程中应用数学思想方法,不仅能够加深对基础知识的理解,拓宽知识面,培养分析问题和解决问题的能力,而且能够树立辩证唯物主义观念,自觉地用科学的方法去认识客观世界,探求一般规律,为进一步学习和研究打下基础。
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习题四
1、甲工程队有80人,乙工程队有58人,由于施工需要,要求甲队人数是乙队的2倍,应该从乙队抽调多少人到甲队,
2、王芳买2本笔记本和5支圆珠笔,一共用去15.4元,一支圆珠笔笔一本笔记本便宜1.4元,笔记本与圆珠笔的单价各是多少,
3、买3支钢笔和12支毛笔要用96元;买同样的6支钢笔和20支毛笔要用168元。
钢笔和毛笔的单价各是多少,
4、一个书架有3层,共放图书190本。
第二层放图书的本数是第一层的2倍,第三层放图书的本数比第二层多15本。
这个书架三层各放图书多少本,
5、两个整数相除,商是24,余数是16.已知被除数、除数、商与余数的和为506,被除数和除数各是多少,
7、蜘蛛有8只脚,蜻蜓有6只脚和1对翅膀,苍蝇有6只脚和1对翅膀。
现在这三种昆虫共有18只,脚有118只,翅膀有20对。
问蜘蛛、蜻蜓和苍蝇各有多少只,
8、甲仓库原存粮85吨,乙仓库原存粮156吨。
现在甲仓库每天存入粮食5吨,乙仓库每天存入粮食12吨,多少天后乙库存粮是甲库存粮的2倍,
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