版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算教案文新人教A版.docx
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版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算教案文新人教A版
第1讲 集合的概念与运算
一、知识梳理
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
[注意] N为自然数集(即非负整数集),包含0,而N*和N+的含义是一样的,表示正整数集,不包含0.
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中元素相同
A=B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U且x∉A}
常用结论
(1)A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.
(2)A∩A=A,A∩∅=∅.
(3)A∪A=A,A∪∅=A.
(4)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
二、习题改编
1.(必修1P12A组T5改编)若集合P={x∈N|x≤
},a=2
,则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆PD.a∉P
解析:
选D.因为a=2
不是自然数,而集合P是不大于
的自然数构成的集合,所以a∉P.故选D.
2.(必修1P12B组T1改编)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.
解析:
由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个).
答案:
64
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(2)若a在集合A中,则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB,则A⊆B且A≠B.( )
(4)N*NZ.( )
(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、易错纠偏
(1)忽视集合的互异性致错;
(2)集合运算中端点取值致错;
(3)忘记空集的情况导致出错.
1.已知集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},则∁UA=________.
解析:
因为A={x|x=m2,m∈U}={0,1},所以∁UA={-1}.
答案:
{-1}
2.已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},B={x|2 解析: 由已知得A={x|1 答案: (2,3) (1,4) (-∞,1]∪(2,+∞) 3.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________. 解析: 易得M={a}.因为M∩N=N,所以N⊆M,所以N=∅或N=M,所以a=0或a=±1. 答案: 0或1或-1 集合的基本概念(师生共研) (1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A且y∈A且x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 (2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________. 【解析】 (1)由x∈A,y∈A,x-y∈A,得x-y=1或x-y=2或x-y=3或x-y=4,所以集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},所以集合B中有10个元素. (2)因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3, 此时集合A中有重复元素3, 所以m=1不符合题意,舍去; 当2m2+m=3时,解得m=- 或m=1(舍去), 当m=- 时,m+2= ≠3,符合题意.所以m=- . 【答案】 (1)D (2)- 与集合中元素有关问题的求解策略 1.已知集合A={x|x∈Z,且 ∈Z},则集合A中的元素个数为( ) A.2B.3 C.4D.5 解析: 选C.因为 ∈Z, 所以2-x的取值有-3,-1,1,3, 又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4. 2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=( ) A.1B.-1 C.2D.-2 解析: 选C.因为{1,a+b,a}= ,a≠0,所以a+b=0,则 =-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 3.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选A.若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A; 当-1∈B时,1-(-1)=2∈A; 当-2∈B时,1-(-2)=3∈A; 当-3∈B时,1-(-3)=4∉A, 所以B={-3},故集合B中元素的个数为1. 集合间的基本关系(师生共研) (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2 C.3D.4 (2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m 【解析】 (1)由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}. (2)当m≤0时,B=∅,显然B⊆A. 当m>0时,因为A={x|-1 当B⊆A时,在数轴上标出两集合,如图, 所以 所以0 综上所述,m的取值范围为(-∞,1]. 【答案】 (1)D (2)(-∞,1] [提醒] 题目中若有条件B⊆A,则应分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论. 1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|- },则( ) A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆AD.A⊆B 解析: 选B.因为A={x|x>2或x<0},因此A∪B={x|x>2或x<0}∪{x|- }=R.故选B. 2.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N*},则集合A的真子集的个数为( ) A.7B.8 C.15D.16 解析: 选A.法一: A={x|-1≤x≤3,x∈N*}={1,2,3},其真子集有: ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个. 法二: 因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为23-1=7(个). 3.设集合A={x|1 A.{a|a≤2}B.{a|a≤1} C.{a|a≥1}D.{a|a≥2} 解析: 选D.由A∩B=A,可得A⊆B,又A={x|1 集合的基本运算(多维探究) 角度一 集合的运算 (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=( ) A.{1,6}B.{1,7} C.{6,7}D.{1,6,7} (2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U=R,集合A={x|-3 A.{x|x≤-3或x≥1}B.{x|x<-1或x≥3} C.{x|x≤3}D.{x|x≤-3} 【解析】 (1)依题意得∁UA={1,6,7},故B∩∁UA={6,7}.故选C. (2)因为B={x|x≥-1},A={x|-3 【答案】 (1)C (2)D 集合基本运算的求解策略 角度二 利用集合的运算求参数 (1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.-12 C.a≥-1D.a>-1 (2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( ) A.0B.1 C.2D.4 【解析】 (1)因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1. (2)根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故a=4. 【答案】 (1)D (2)D 根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到. (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解. (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围. 1.(2019·高考天津卷)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( ) A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4} 解析: 选D.通解: 因为A∩C={1,2},B={2,3,4},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选D. 优解: 因为B={2,3,4},所以(A∩C)∪B中一定含有2,3,4三个元素,故排除A,B,C,选D. 2.(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1≥0},则下图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{-1}B.{0} C.{-1,0}D.{-1,0,1} 解析: 选B.阴影部分对应的集合为A∩∁RB,B={x|x2-1≥0}={x|x≤-1或x≥1},则∁RB={x|-1 3.已知集合A={x|x2≥4},B={m}.若A∪B=A,则m的取值范围是( ) A.(-∞,-2)B.[2,+∞) C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析: 选D.因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得m≥2或m≤-2. 4.已知全集U=R,函数y=ln(1-x)的定义域为M,集合N={x|x2-x<0},则下列结论正确的是( ) A.M∩N=NB.M∩(∁UN)=∅ C.M∪N=UD.M⊆(∁UN) 解析: 选A.由题意知M={x|x<1},N={x|0 核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题 以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了核心素养中的数学抽象. 定义集合的商集运算为 ={x|x= ,m∈A,n∈B}.已知集合A={2,4,6},B={x|x= -1,k∈A},则集合 ∪B中的元素个数为( ) A.6 B.7 C.8D.9 【解析】 由题意知,B={0,1,2}, ={0, , , ,1, },则 ∪B={0, , , ,1, ,2},共有7个元素,故选B. 【答案】 B 解决集合创新型问题的方法 (1)要分析新定义的特点和本质,认清新定义对集合元素的要求,结合题目要求进行转化,并将其运用到具体的解题过程中. (2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等),将新定义问题转化到已学的知识中进行求解. 1.如果集合A满足若x∈A,则-x∈A,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A={2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=________. 解析: 由题意可知-2x=x2+x, 所以x=0或x=-3. 而当x=0时不符合元素的互异性,所以舍去. 当x=-3时,A={-6,0,6}, 所以A∩B={0,6}. 答案: {0,6} 2.设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={x|0 解析: 由已知A={x|0 又由新定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}, 结合数轴得A⊗B={0}∪[2,+∞). 答案: {0}∪[2,+∞) [基础题组练] 1.已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>1},则∁UA=( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.(-1,1)D.[-1,1] 解析: 选D.因为全集U=R,集合A={x|x<-1或x>1},所以∁UA={x|-1≤x≤1},故选D. 2.(2020·辽宁辽阳期末)设集合A={x∈Z|x>4},B={x|x2<100},则A∩B的元素个数为( ) A.3B.4 C.5D.6 解析: 选C.因为B={x|-10 3.已知集合A={0},B={-1,0,1},若A⊆C⊆B,则符合条件的集合C的个数为( ) A.1B.2 C.4D.8 解析: 选C.由题意得,含有元素0且是集合B的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},即符合条件的集合C共有4个.故选C. 4.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是( ) A.(-2,1) B.[-1,0]∪[1,2) C.(-2,-1)∪[0,1] D.[0,1] 解析: 选C.因为集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},所以A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},所以A∪B=(-2,1],A∩B=[-1,0),所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)=(-2,-1)∪[0,1],故选C. 5.(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},则A∩B=______,∁UA=______. 解析: 因为全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},所以A∩B={3},则∁UA={2,5}. 答案: {3} {2,5} 6.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=________. 解析: 由于A∪B={x|x≤0或x≥1},结合数轴,∁U(A∪B)={x|0 答案: {x|0 7.已知集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤a,a∈R},A∪B=(-∞,5],则a的值是________. 解析: 因为集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤a,a∈R},A∪B=(-∞,5],所以a=5. 答案: 5 8.已知集合A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}. (1)当m=1时,求A∪B; (2)当B⊆∁RA时,求实数m的取值范围. 解: (1)因为m=1时,B={x|1≤x<4}, 所以A∪B={x|-1 (2)∁RA={x|x≤-1或x>3}. 当B=∅时,即m≥1+3m,解得m≤- ; 当B≠∅时,要使B⊆∁RA成立, 则 或 解得m>3. 综上可知,实数m的取值范围是 ∪(3,+∞). [综合题组练] 1.已知集合M={y|y=x-|x|,x∈R},N= ,则下列选项正确的是( ) A.M=NB.N⊆M C.M=∁RND.∁RN⃘M 解析: 选C.由题意得M={y|y≤0},N={y|y>0},所以∁RN={y|y≤0},M=∁RN.故C正确,A,B,D错误. 2.(创新型)如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|2x-x2≥0},B={y|y=3x,x>0},则A⊗B=( ) A.{x|0 C.{x|x≤1或x≥2}D.{x|0≤x≤1或x>2} 解析: 选D.因为A={x|2x-x2≥0}=[0,2],B={y|y=3x,x>0}=(1,+∞),所以A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],由题图知A⊗B=[0,1]∪(2,+∞),故选D. 3.(2020·济南外国语学校月考)集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},U=R.若M∩(∁UN)=∅,则a的取值范围是( ) A.(1,+∞)B.[1,+∞) C.(-∞,1)D.(-∞,1] 解析: 选B.由集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},可得M= ,∁UN= .要使M∩(∁UN)=∅,则- ≤- ,解得a≥1,故选B. 4.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________. 解析: 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4], 因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2, 即实数a-b的取值范围是(-∞,-2]. 答案: (-∞,-2]
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