课时作业12高三数学第二轮.docx
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课时作业12高三数学第二轮
课时作业12 点、直线、平面之间的位置关系
——A级 基础巩固类——
一、选择题
1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
解析:
如图,在长方体ABCD—
A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C.若l4=DC1,也满足条件,可以排除选项B.故选D.
答案:
D
2.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A.α⊥β,且m⊂αB.m∥n,且n⊥β
C.α⊥β,且m∥αD.m⊥n,且n∥β
解析:
根据定理、性质、结论逐个判断,因为α⊥β,m⊂α⇒m,β的位置关系不确定,可能平行、相交、m在β面内,故A错误;由线面垂直的性质定理可知B正确;若α⊥β,m∥α,则m,β的位置关系也不确定,故C错误;若m⊥n,n∥β,则m,β的位置关系也不确定,故D错误.
答案:
B
3.ABCD—A1B1C1D1为正方体,下列结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1B.A1C⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1D.AC1⊥BD1
解析:
因为ABCD—A1B1C1D1为正方体,所以DD1∥BB1,且DD1=BB1,所以四边形DD1B1B为平行四边形,所以BD∥B1D1,因为BD⊄面CB1D1,B1D1⊂面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,故A正确;因为AA1⊥面ABCD,BD⊂面ABCD,所以AA1⊥BD,因为ABCD为正方形,所以AC⊥BD,因为AC∩AA1=A,所以BD⊥面A1ACC1,因为A1C⊂面A1ACC1,所以BD⊥A1C,故B正确.同理可证得B1D1⊥面A1ACC1,因为AC1⊂面A1ACC1,所以B1D1⊥AC1,同理可证CB1⊥AC1,因为B1D1∩CB1=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故C正确.排除法应选D.
答案:
D
4.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC
解析:
∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD,
又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,
∴CD⊥平面ABD,则CD⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ADC,
又AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故选D.
答案:
D
5.直线m,n均不在平面α,β内,给出下列命题:
①若m∥n,n∥α,则m∥α;②若m∥β,α∥β,则m∥α;③若m⊥n,n⊥α,则m∥α;④若m⊥β,α⊥β,则m∥α.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
对①,根据线面平行的判定定理知,m∥α;对②,如果直线m与平面α相交,则必与β相交,而这与α∥β矛盾,故m∥α;对③,在平面α内取一点A,设过A、m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α,所以n⊥b,又m⊥n,所以m∥b,则m∥α;对④,设α∩β=l,在α内作m′⊥β,因为m⊥β,所以m∥m′,从而m∥α.故四个命题都正确.
答案:
D
6.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是AA1,A1D1,CC1,BC的中点,给出以下四个结论:
①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C与PM相交;④NC与PM异面.其中不正确的结论是( )
A.①B.②
C.③D.④
解析:
作出过M,N,P,Q四点的截面交C1D1于点S,交AB于点R,如图中的六边形MNSPQR,显然点A1,C分别位于这个平面的两侧,故A1C与平面MNPQ一定相交,不可能平行,故结论②不正确.
答案:
B
二、填空题
7.已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.其中正确的个数为________.
解析:
①中m,n可能异面或相交,故不正确;②因为m∥α,n⊥β,且α⊥β成立时,m,n两直线的关系可能是相交、平行、异面,故不正确;③因为m⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正确;④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故③④正确.
答案:
2
8.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).
解析:
对于①,注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行,因此直线AB平行于平面MNP;对于②,注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交,因此直线AB与平面MNP相交;对于③,注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行,且直线AB位于平面MNP外,因此直线AB与平面MNP平行;对于④,易知此时AB与平面MNP相交.综上所述,能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.
答案:
①③
9.如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
解析:
由题意知,B1D⊥平面ACC1A1,
所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.
易知Rt△CAF∽Rt△FA1D,
得
=
,即
=
,整理得x2-3ax+2a2=0,
解得x=a或x=2a.
答案:
a或2a
三、解答题
10.如图,AA1,BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D,E分别是AA1,CB1的中点,且AB=AC.
(1)判断DE与平面ABC是否平行,若平行,请给予证明;若不平行,请说明理由.
(2)证明:
DE⊥平面BB1C.
解:
(1)DE与平面ABC平行.
理由如下:
如图,连接EO,OA.因为E,O分别为CB1,BC的中点,所以EO是△BB1C的中位线,则EO∥BB1,且EO=
BB1.又DA∥BB1,AA1=BB1,故DA=
BB1=EO,
所以DA∥EO,且DA=EO.
所以四边形AOED是平行四边形,所以DE∥OA.
又DE⊄平面ABC,OA⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC.
(2)因为AB=AC,BC为直径,所以AO⊥BC.
又BB1为圆柱OO1的母线,所以BB1⊥AO.
又BB1∩BC=B,所以AO⊥平面BB1C.
由
(1)知,DE∥AO,所以DE⊥平面BB1C.
11.如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:
平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:
C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥E—ABC的体积.
解:
(1)证明:
在三棱柱ABC—A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,
所以AB⊥平面B1BCC1.
又AB⊂平面ABE.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明:
取AB中点G,连接EG,FG.
因为E,F分别是A1C1,BC的中点,
所以FG∥AC,且FG=
AC.
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1.
所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,
所以AB=
=
.
所以三棱锥E—ABC的体积
V=
S△ABC·AA1=
×
×
×1×2=
.
——B级 综合能力类——
1.(2015·浙江卷)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′—CD—B的平面角为α,则( )
A.∠A′DB≤α
B.∠A′DB≥α
C.∠A′CB≤α
D.∠A′CB≥α
解析:
解法1:
通过特殊三角形加以排除:
取AC=BC,此时∠A′DB=α,那么有∠A′CB<α,可以排除选项C、D;取AC⊥BC,数形结合可得∠A′DB≥α.
解法2:
取极限思维:
当沿直线CD翻折180°,此时α=0°,排除选项A、C;当沿直线CD翻折0°,此时α=180°,排除选项D.
答案:
B
2.如图,VA⊥平面ABC,△ABC的外接圆是以边AB的中点为圆心的圆,点M、N、P分别为棱VA、VC、VB的中点,则下列结论正确的有________(把正确结论的序号都填上).
①MN∥平面ABC;
②OC⊥平面VAC;
③MN与BC所成的角为60°;
④MN⊥OP;
⑤平面VAC⊥平面VBC.
解析:
对于①,因为点M、N分别为棱VA、VC的中点,
所以MN∥AC,又MN⊄平面ABC,
所以MN∥平面ABC,所以①正确;
对于②,假设OC⊥平面VAC,则OC⊥AC,
因为AB是圆O的直径,所以BC⊥AC,矛盾,
所以②是不正确的;
对于③,因为MN∥AC,且BC⊥AC,
所以MN与BC所成的角为90°,所以③是不正确的;
对于④,易得OP∥VA,又VA⊥MN,
所以MN⊥OP,所以④是正确的;
对于⑤,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以VA⊥BC,
又BC⊥AC,且AC∩VA=A,
所以BC⊥平面VAC,又BC⊂平面VBC,
所以平面VAC⊥平面VBC,所以⑤是正确的.综上,应填①④⑤.
答案:
①④⑤
3.(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
解:
(1)交线围成的正方形EHGF如上图.
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH=
=6,所以AH=10.
以D为坐标原点,
的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),
=(10,0,0),
(0,-6,8).
设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则
即
所以可取n=(0,4,3).
又
=(-10,4,8),故|cos〈n,
〉|=
=
.
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为
.
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