三角函数的图像.docx
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三角函数的图像
三角函数的图象
一、知识回顾
(一)熟悉.三角函数图象的特征:
y=tanx
y=cotx
(二)三角函数图象的作法:
1.几何法(利用三角函数线)
2.描点法:
五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3.利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等,重点掌握函数y=Asin(ωx+φ)+B的作法.
函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义:
振幅|A|,周期
,频率
,相位
初相
(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),
(1)振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象.
(2)周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的
倍,得到y=sinωx的图象.
(3)相位变换或叫做左右平移.(用x+φ替换x)由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象.
(4)上下平移(用y+(-b)替换y)由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象.
注意:
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
二、基本训练
1、为了得到函数
的图象,只需把函数
的图象 ( )
A、向左平移
B、向左平移
C、向右平移
D、向右平移
2、函数
的部分图象是 ( )
B
3、函数
的图象一个对称中心的坐标是 ( )
A、
B、
C、
D、
4、(00)函数y=-xcosx的部分图象是
5、已知函数
,当
时
=0恒有解,则
的范围是______。
6、方程
有___个实数根。
三、例题分析
例1、已知函数
。
(1)求它的振幅、周期和初相;
(2)用五点法作出它的图象;
(3)说明
的图象可由
的图象经过怎样的变换而得到?
例2、把函数
的图象向左平移
个单位,所得的图象关于
轴对称,求
的最小值。
y
例3、如图为
的图象的一段,求其解析式。
例4、受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;缺货后落潮时返回海洋。
某港口水的深度
(米)是时间
(
,单位:
时)的函数,记作
,下面是该港口在某季节每天水深的数据:
(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察,
曲线可以近似地看做函数
的图象。
(1)根据以上数据,求出函数
的近似表达式;
(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米。
如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
例5.(00) 已知函数
(I)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(II)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
四、作业同步练习三角函数的图象
1、若函数
对任意实数
,都有
,则
等于
A、0B、3C、-3 D、3或-3
2、把函数
的图象向右平移
个单位,设所得图象的解析式为
,则当
是偶函数时,
的值可以是
A、
B、
C、
D、
3、函数
的部分图象如图,则
A.
B.
C.
D.
4、函数
的部分图象如图所示,则函数表达式为)
(A)
(B)
(C)
(D)
5、函数
与
轴距离最近的对称轴是______.
6、将函数
的图象向右平移
个单位后,再作关于
轴的对称变换,得到函数
的图象,则
可以是_______。
7、给出下列命题:
①存在实数
,使
;②存在实数
,使
;③
是偶函数;④
是函数
的一条对称轴方程;⑤若
、
是第一象限角,且
,则
。
其中正确命题的序号是_______。
(注:
把你认为正确命题的序号都填上)
8、函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点,则
的取值范围是__________。
9、设函数f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a,b]上的面积,已知函数y=sinnx在[0,
]上的面积为
(n∈N*),(i)y=sin3x在[0,
]上的面积为 ;(ii)y=sin(3x-π)+1在[
,
]上的面积为 .
10、已知函数
。
(1)求它的振幅、周期和初相;
(2)用五点法作出它的图象;
(3)说明
的图象可由
的图象经过怎样的变换而得到?
11、若函数
的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后将所得图象先向左平移
个单位,再向下平移1个单位,得到的曲线与
的图象相同,求
的表达式。
12、函数
在
内只取到一个最大值和一个最小值,且当
时,函数的最大值为3,当
时,函数的最小值为-3,试求此函数的解析式。
13、设函数
,给出以下四个论断:
①它的图象关于直线
对称;②它的图象关于点
对称;
③它的周期是
;④它在区间
上是增函数。
以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的两个命题,并对其中一个命题加以证明。
参考答案:
基本练习:
1、B 2、C3、B4、D5、[-4,5]6、6
例题分析:
例1
(1)振幅2,周期
,初相
;
(2)略;(3)把
的图象上所有的点左移
个单位,得到
的图象,再把
的图象上的点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变),得到
的图象,最后把
图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到
的图象 例2、
例3、
例4
(1)
;
(2)该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港口至多停留16小时
作业:
1—4、DBCA
5、直线
6、
7、③④ 8、
9、
10、振幅2,周期
,初相
;
(2)略;(3)把
的图象上所有的点右移
个单位,得到
的图象,再把
的图象上的点的横坐标缩短到原来的
(纵坐标不变),得到
的图象,然后最把
图象上点的纵坐标伸长到原来的
倍(横坐标不变),得到
的图象,最后把
的图象向上平移1个单位,即可得到
的图象,即
的图象
11、
12、
13、①③
②④;②③
①④
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