第26章二次函数.docx
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第26章二次函数
九年级数学下册·HS
(这是边文,请据需要手工删加)
知识的圣殿 学生的盛宴
(这是边文,请据需要手工删加)
第26章
二次函数
课题:
二次函数
【学习目标】
1.通过对实际问题情境的分析,让学生经历二次函数概念的形成过程,学会用类比思想学习二次函数知识.
2.掌握二次函数的概念,列出实际问题中的二次函数关系式.
【学习重点】
掌握二次函数的概念,列出二次函数关系式.
【学习难点】
理解变量之间的对应关系,并会求自变量的取值范围.
行为提示:
点燃激情,引发学生思考本节课学什么.
行为提示:
认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目,并在练习中发现规律,从猜测到探索到理解知识.
知识链接:
判断二次函数的方法,函数化简整理后满足:
①函数的表达式是整式;②自变量的最高次数是2;③二次项系数不等于0.若满足就是二次函数,否则就不是.情景导入 生成问题
1.什么是一次函数?
答:
形如y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的函数为一次函数.
2.列出下列问题中的函数关系式,它们有什么共同特点?
(1)矩形周长为20,其面积y与一边长x的函数关系式;
(2)圆的面积S与半径r之间的函数关系式;
(3)矩形的长是4cm,宽是3cm,如果将其长与宽都增加xcm,则面积增加ycm2,试写出y与x的函数关系式.
答:
(1)y=-x2+10x;
(2)S=πr2;(3)y=x2+7x.共同特点:
都是关于自变量的二次式.
自学互研 生成能力
阅读教材P2~P4,完成下列问题:
问题:
什么是二次函数?
答:
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a,b,c分别是二次项系数,一次项系数,常数项.
范例:
下列函数属于二次函数的是( B )
A.y=x2+
+1B.y=2-x2
C.y=
-x2D.y=(x-1)2-x2
仿例1:
对于二次函数y=7-3x+πx2,它的二次项系数,一次项系数和常数项分别为( C )
A.7,-3,1 B.7,-3,π C.π,-3,7 D.1,-3,7
仿例2:
下列关系中,为二次函数的是( B )
A.大米每千克4元,购买数量x(kg)与所付钱数y(元)
B.圆的面积S(cm2)与半径r(cm)
C.矩形的面积为20cm2,两邻边长x(cm)与y(cm)
D.已知T(℃)随时间t(h)的变化
行为提示:
列二次函数关系式要注意实际问题中自变量取值范围,求自变量取值范围时,注意题目条件限制和图形限制等.
行为提示:
找出自己不明白的问题,先对学,再群学,对照答案,提出疑惑,小组内解决不了的问题,写在小黑板上,在小组展示的时候解决.
行为提示:
教会学生整理反思. 仿例3:
已知函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)(m是常数),当m为何值时:
(1)函数是一次函数;
(2)函数是二次函数.
解:
(1)m=1;
(2)m≠0且m≠1.
范例:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有m人患了感冒,假设每轮传染恰好每一个人传染n个人,则m与n之间的函数关系式为m=(1+n)2.
仿例1:
某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=
x2(x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为( C )
A.40m/s B.20m/s C.10m/s D.5m/s
仿例2:
一个长方形的周长是20cm,一边长是xcm,则这个长方形的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是y=-x2+10x,自变量x的取值范围是0 仿例3: 如图所示,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x(m),面积为S(m2),则S与x的函数关系式为S=-3x2+24x,自变量取值范围是 仿例4: 多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为d= n2- n,自变量n的取值范围是n≥3且为整数;当d=35时,多边形的边数n=10. 仿例5: 如图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm,AC与MN在同一条直线上,开始时点A与点N重合,若△ABC以2cm/s的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数关系式为y= (20-2t)2(0≤x≤10),.) 交流展示 生成新知 1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”. 知识模块一 二次函数的概念 知识模块二 列出实际问题中的二次函数表达式 检测反馈 达成目标 【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书 课后反思 查漏补缺 1.收获: ________________________________________________________________________ 2.困惑: ________________________________________________________________________ 课题: 二次函数y=ax2的图象与性质 【学习目标】 1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,掌握二次函数y=ax2的性质. 2.经历探索二次函数y=ax2的图象与性质的过程,能运用二次函数y=ax2的图象及性质解决简单的实际问题,掌握数形结合的数学思想方法. 【学习重点】 会画二次函数y=ax2的图象,理解有关概念及图象性质. 【学习难点】 对二次函数研究的途径和方法的体悟. 行为提示: 点燃激情,引发学生思考本节课学什么. 行为提示: 认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目,并在练习中发现规律,从猜测到探索到理解知识. 知识链接: 二次函数y=ax2(a≠0)的图象开口方向和开口大小分别由a决定,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下,开口的大小由|a|决定,|a|越小,抛物线的开口越大;|a|越大,抛物线的开口越小.情景导入 生成问题 1.用描点法画函数图象有哪些步骤? 答: 列表、描点、连线. 2.一次函数、反比例函数的图象是什么? 答: 一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是两条双曲线. 3.对于函数y=x2,取一些x,y的对应值在坐标系内描点,这些点会在同一直线上吗? 答: 不会. 自学互研 生成能力 阅读教材P5~P6,完成下列问题: 问题: 二次函数y=ax2的图象是怎样的? 答: 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它是轴对称图形,y轴是它的对称轴,抛物线与它的对称轴的交点是抛物线的顶点. 范例: 关于二次函数y=x2与y=-x2的图象,下列叙述正确的有( A ) ①它们的图象都是一条抛物线;②它们的图象的对称轴都是y轴;③它们的图象都经过(0,0);④二次函数y=x2的图象开口向上,二次函数y=-x2的图象开口向下. A.4个B.3个C.2个D.1个 仿例: 函数y=ax2与y=-ax+b的图象可能是图中的( B ) A) B) C) D) 问题: 二次函数y=ax2的图象与性质是什么? 答: 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,①当a>0时,抛物线的开口向上,图象有最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,图象有最高点;②抛物线的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0);③当a>0时,在对称轴左侧,图象呈下降趋势,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,图象呈上升趋势,y随x的增大而增大. 行为提示: 要灵活应用二次函数图象性质,必须结合图象来进行做题,一定要多画草图,这是求解函数题的关键. 行为提示: 教会学生怎么交流,先对学,再群学,充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决. 范例1: 函数y=-6x2的图象开口向下,顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,当x=0时,函数y=-6x2有最大(选填“大”或“小”)值,这个值为0. 仿例1: 在抛物线y=- x2中,当x<0时,y的值随x的增大而增大,当x>0时,y的值随x的增大而减小. 仿例2: 下列四个二次函数: ①y=x2;②y=-2x2;③y= x2;④y=3x2,其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④. 范例2: 抛物线y=-x2上有两点(x1,y1),(x2,y2),若x1 仿例1: 已知函数y=(m+1)xm2+m-4是二次函数,当x>0时,y随x的增大而减小,则m=-3. 仿例2: 如图,⊙O的半径为2,C1是函数y= x2的图象,C2是函数y=- x2的图象,则阴影部分的面积是2π. 仿例3: 若点(x1,5)和点(x2,5)(x1≠x2)均在抛物线y=ax2上,则当x=x1+x2时,y的值是( A ) A.0 B.10 C.5 D.-5 交流展示 生成新知 1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”. 知识模块一 二次函数y=ax2的图象 知识模块二 二次函数y=ax2的图象与性质 检测反馈 达成目标 【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书 课后反思 查漏补缺 1.收获: ________________________________________________________________________ 2.困惑: ________________________________________________________________________ 课题: 二次函数y=ax2+k的图象与性质 【学习目标】 1.能解释二次函数y=ax2+k和y=ax2的图象的位置关系,掌握y=ax2上、下平移规律. 2.体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系,领悟y=ax2与y=ax2+k相互转化的过程. 【学习重点】 抛物线y=ax2+k的图象与性质. 【学习难点】 理解抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的位置关系. 行为提示: 点燃激情,引发学生思考本节课学什么. 行为提示: 教会学生看书,自学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案,教会学生落实重点. 知识链接: 二次函数y=ax2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象向上或向下平移|k|个单位得到的,当k>0时,向上平移,当k<0时,向下平移. 行为提示: 二次函数y=ax2+k的图象与性质要结合平移来记,顶点变,其他不变.情景导入 生成问题 二次函数y=ax2的图象性质是怎样的? 答: 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,对称轴是y轴,顶点为原点,当a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y随x增大而减小,在对称轴右侧,y随x增大而增大;当a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大,在对称轴右侧,y随x增大而减小,且|a|越大,开口越小,|a|越小,开口越大. 自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y=ax2+k与y=ax2之间的平移 阅读教材P7~P9,完成下列问题: 问题: y=ax2+k与y=ax2之间有何关系? 答: 二次函数y=ax2+k是由y=ax2平移|k|个单位得到的,k>0,向上平移,k<0,向下平移. 范例: (郴州中考)将抛物线y=x2+1向下平移2个单位,则此时抛物线的表达式为y=x2-1. 仿例: 下列各组抛物线中,能够通过互相平移而彼此得到对方的是( D ) A.y=2x2与y=3x2B.y= x2+2与y=2x2+ C.y=2x2与y=x2+2D.y=x2+2与y=x2-2 问题: 二次函数y=ax2+k的图象与性质是怎样的? 答: 一般地,抛物线y=ax2+k的对称轴是y轴,顶点是(0,k),当a>0时,开口向上,顶点是最低点;当a<0时,开口向下,顶点是最高点. 范例1: 抛物线y= x2-9的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-9),它可以看做是由抛物线y= x2-1向下平移8个单位得到的. 仿例: 抛物线y=- x2+1与抛物线y=ax2+c关于x轴对称,则a= ,c=-1. 行为提示: 求二次函数的表达式,一般先依题意设出适当的函数式,然后依据图象上点的坐标代入所设函数式,得到一个方程组,从而求出函数表达式. 行为提示: 找出自己不明白的问题,先对学,再群学,对照答案,提出疑惑,小组内解决不了的问题,写在小黑板上,在小组展示的时候解决. 范例2: 一抛物线的顶点坐标为(0,5),形状与抛物线y= x2相同,在对称轴右侧,y随x增大而减小,则该函数关系式为( A ) A.y=- x2+5B.y=-5x2+ C.y=-5x2- D.y= x2-5 仿例: 抛物线y=- x2+4与x轴交于B,C两点,顶点为A,则△ABC的面积为( B ) A.8B.8 C.4D.4 交流展示 生成新知 1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”. 知识模块一 抛物线y=ax2+k与y=ax2之间的平移 知识模块二 二次函数y=ax2+k的图象与性质 检测反馈 达成目标 【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书 课后反思 查漏补缺 1.收获: ________________________________________________________________________ 2.困惑: ________________________________________________________________________ 课题: 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 【学习目标】 1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象,掌握y=a(x-h)2的图象与性质. 2.理解抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的位置关系. 【学习重点】 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质. 【学习难点】 把握抛物线y=ax2通过平移后得到y=a(x-h)2时平移的方向和距离. 行为提示: 点燃激情,引发学生思考本节课学什么.情景导入 生成问题 1.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质是什么? 它由y=ax2如何平移得到? 答: 函数y=ax2+k(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴是y轴,顶点是(0,k).当a>0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a<0时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点.当a>0时,在对称轴左侧(x<0),y随x的增大而减小,在对称轴右侧(x>0),y随x的增大而增大. 2.二次函数y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象上、下平移|k|个单位得到的. 行为提示: 认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目,并在练习中发现规律,从猜测到探索到理解知识. 知识链接: 1.由抛物线y=ax2向右平移k(k>0)个单位,则y=a(x-k)2.向左平移k(k>0)个单位,则y=a(x+k)2; 2.抛物线平移对应的二次项系数a相等; 3.抛物线的平移规律是“左右平移,左加右减;上下平移,上加下减”. 行为提示: y=a(x-h)2由y=ax2左右平移得到,注意顶点对称轴的变化,函数增减性叙述的变化. 行为提示: 教会学生怎么交流,先对学,再群学,充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决. 自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移 阅读教材P11~P13,完成下列问题: 问题: 二次函数y=a(x-h)2如何由y=ax2平移得到? 答: 二次函数y=a(x-h)2是由y=ax2向左或向右平移|h|个单位得到,当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移. 范例: 将抛物线y=-2 向左平移4个单位后,所得抛物线的表达式为y=-2 .) 仿例: 将抛物线y= (x+2)2沿x轴向右平移3个单位,得到抛物线y= (x-1)2. 问题: 抛物线y=a(x-h)2的图象与性质是什么? 答: 抛物线y=a(x-h)2的性质: 对称轴是直线x=h,顶点坐标为(h,0),a>0时,在对称轴右侧y随x的增大而增大,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,图象有最低点,函数有最小值;a<0时,在对称轴右侧y随x的增大而减小,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,图象有最高点,函数有最大值. 范例: 抛物线y=-9(x+12)2的开口向下,对称轴为直线x=-12,顶点坐标是(-12,0);当x<-12时,y随x的增大而增大;当x>-12时,y随x的增大而减小;当x=-12时,函数y有最大(选填“最大”或“最小”)值. 仿例: 已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是y3 交流展示 生成新知 1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”. 知识模块一 抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移 知识模块二 抛物线y=a(x-h)2的图象与性质 检测反馈 达成目标 【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书 课后反思 查漏补缺 1.收获: ________________________________________________________________________ 2.困惑: ________________________________________________________________________ 课题: 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 【学习目标】 1.掌握抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系,熟练掌握函数y=a(x-h)2+k的有关性质,并能用函数y=a(x-h)2+k的性质解决一些实际问题. 2.经历探索y=a(x-h)2+k的图象与性质的过程,体验y=a(x-h)2+k与y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法. 【学习重点】 二次函数y=a(x+h)2+k的性质. 【学习难点】 二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质的运用. 行为提示: 创景设疑,帮助学生知道本节课学什么. 行为提示: 教会学生看书,自学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案,教会学生落实重点. 知识链接: 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由y=ax2的图象向左(或右)平移|h|个单位,再向上(或下)平移|k|个单位得到的,平移规律是上下平移变常数项,上加下减;左右平移变自变量,左加右减.情景导入 生成问题 1.填写下表 图象性质 函数 开口方向 顶点 对称轴 最大/ 最小值 对称轴左侧增减性 y=- x2 下 (0,0) y轴 最大值0 当x<0时, y随x增大而增大 y=2x2-1 上 (0,-1) y轴 最小值-1 当x<0时, y随x增大而减小 y=-3(x+4)2 下 (-4,0) 直线 x=-4 最大值0 当x<-4时, y随x增大而增大 2.抛物线y= x2-2,y= (x-2)2是由y= x2如何平移得来? 答: 抛物线y= x2-2是由抛物线y= x2向下平移2个单位得到,y= (x-2)2是由y= x2向右平移2个单位得到. 自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移 阅读教材P14~P15,完成下列问题: 问题: 抛物线y=a(x-h)2+k如何由y=ax2平移得到? 答: 一般地,抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移得到的,平移的方向、距离要依据h,k的值来决定. 范例: (无锡中考)将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为y=2x2. 仿例: (扬州中考)将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数表达式是( B ) A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2 C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2-2 问题: 抛物线y=a(x-h)2+k的图象性质是怎样的? 答: 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点: 当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下,对称轴是直线x=h,顶点是(h,k).从图象可以看出,如果a>0,当x 行为提示: 熟记y=a(x-h)2+k的图象与性质并用它解决问题,已知顶点坐标可直接代入求h,k的值.注意平移时a不变,绕原点旋转180°,a变为原数的相反数. 行为提示: 教会学生怎么交流,先对学,再群学,充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决. 范例: 抛物线y=-3(x-2)2+1的对称轴是直线x=2,当x<2时,y的值随x的增大而增大,当x>2时,y的值随x的增大而减小;有最大值,当x=2时,这个值等于1. 仿例: (泰安中考)对于抛物线y=- (x+1)2+3,下列结论: ①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④x>1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 交流展示 生成新知 1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑. 2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”. 知识模块一 抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移 知识模块二 抛物线y=a(x-h)2+k的图象与性质 检
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