中考数学二次函数压轴题含标准答案.docx
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中考数学二次函数压轴题含标准答案
中考数学冲刺复习资料:
二次函数压轴题
面积类
1如图,已知抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN//y轴交抛物线于N,若点
M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在
(2)的条件下,连接
NB、NC,是否存在口,使厶BNC的面积最大?
若存在,求
m的值;若不存在,说明理由.
解答:
解:
(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x-3),则:
•••抛物线的解析式:
y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
a(0+1)(0-3)=3,a=-1;
已知点M的横坐标为m,MN//y,贝UM(m,-m+3)、N(m,-m2+2m+3);
2.如图,抛物线『-弓*-2(:
3工0〕的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.
解答:
解:
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
0=16a—X4-2,即:
a=;
抛物线的解析式为:
y=x2—x-2.
(2)由
(1)的函数解析式可求得:
A(-1,0)、C(0,-2);
•OA=1,OC=2,OB=4,
即:
OC2=OA?
OB,又:
OC丄AB,
•••△OACOCB,得:
/OCA=/OBC;
•••/ACB=ZOCA+/OCB=/OBC+/OCB=90°,
•△ABC为直角三角形,ABABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:
(,0).
(3)已求得:
B(4,0)、C(0,-2),可得直线BC的解析式为:
y=x-2;
设直线I//BC,则该直线的解析式可表示为:
y=x+b,当直线I与抛物线只有一个交点时,
可列方程:
x+b=x2-x-2,即:
x2-2x-2-b=0,且△=0;
•4-4X(-2-b)=0,即卩b=-4;
•直线I:
y=x-4.
所以点M即直线I和抛物线的唯一交点,有:
过M点作MN丄x轴于N,
S^bmc=S梯形ocmn+S^mnb-ocb=X2X(2+3)+X2X3-X2><4=4.
平行四边形类
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x+mx+n经过点A(3,0)、B(0,-3),点P
是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
当t=-乞=时,PM最长为:
—=,再利用三角形的面积公式利用
2X(-1)4X(-1)
GABM=S^BPM+SSPM计算即可;
(3)
由PM//OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四
所以直线AB的解析式是y=x-3;
(2)设点P的坐标是(t,t-3),则M(t,t2-2t-3),
因为p在第四象限,
当t=-亍〒=时,二次函数的最大值,即
PM
最长值为
则Saabm
=S^bpm
+S
△APM=—
所以PM=(t-3)-(t2-2t-3)=-t2+3t,
(3)存在,理由如下:
•/PM//0B,
•••当PM=OB时,点P、M、B、0为顶点的四边形为平行四边形,
1当P在第四象限:
PM=0B=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3.
2当P在第一象限:
PM=0B=3,(t2-2t-3)-(t-3)=3,解得ti=「:
It2='''(舍
22
去),所以P点的横坐标是丹顷;
2|
3当P在第三象限:
PM=0B=3,t2-3t=3,解得ti=I:
(舍去),t2=°_',所以P
点的横坐标是_:
.
所以P点的横坐标是'或——
2
2
2
4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,
0),将此三角板绕原点0逆时针旋转90°得到△A'BO.
(1)一抛物线经过点A'、B'、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB'A、的面积
是厶A、O面积4倍?
若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PB'A'B是哪种形状的四边形?
并写出四边形PB'A'B
解:
(1)
的两条性质.
又A(0,1),B(2,0),O(0,0),•••A'(—1,0),B'(0,2).
方法一:
设抛物线的解析式为:
y=ax2+bx+c(a^0,
y=-x2+x+2.
•••抛物线经过点A'、B'、B,
-卜4亡
2二-]
,解得:
b=l
[o=4af2b+c
g
•••满足条件的抛物线的解析式为
方法二:
•••A'(—1,0),B'(0,2),B(2,0),设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x-2)
将B'(0,2)代入得出:
2=a(0+1)(0-2),
解得:
a=-1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2;
(2)TP为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=-x2+x+2.
连接PB,PO,PB',
S四边形PBAZB=S^BOA+SaPBO+S^POB,
=xi><2+X2^<+X2>y,
=x+(-x2+x+2)+1,
=-x2+2x+3.
X1X2=1,
•••AO=1,BO=2,•••△ABO面积为:
假设四边形PBAB的面积是厶ABO面积的4倍,则4=-x2+2x+3,即x2-2x+1=0,解得:
Xi=X2=1,此时y=-12+1+2=2,即P(1,2).
(3)四边形PBA,B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可.
①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;
③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.(10分)
或用符号表示:
1/B,AB=/PBA'或/AB,P=/BPB②FA,BB;③B'P//A'B;④BA,PB.
5.如图,抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l:
y=x-5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与X轴交于点C、D
(C点在D点的左侧),试判断厶ABD的形状;
(3)在直线I上是否存在一点P,使以点P、A、B、D
为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
-0
解:
(1顶点A的横坐标为x=-J=1,且顶点A在y=x-5上,
2
•••当x=1时,y=1-5=-4,
•-A(1,-4).
/叹
0
(2)△ABD是直角三角形.
将A(1,-4)代入y=x2-2x+c,可得,1-2+c=-4,
•c=-3,「.y=x2-2x-3,•B(0,-3)
当y=0时,x2-2x-3=0,Xi=-i,x2=3
•
G
4V_■V
C(-1,0),D(3,0),
BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4-3)2+12=2,
AD2=(3-1)2+42=20,BD2+AB2=AD2,
•••/ABD=90°即厶ABD是直角三角形.
(3)存在.
由题意知:
直线y=x-5交y轴于点E(0,-5),交x轴于点F(5,0)
•0E=0F=5,
又•••0B=0D=3
•△OEF与厶OBD都是等腰直角三角形
•BD//I,即FA//BD
则构成平行四边形只能是FADB或FABD,如图,
过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.
设P(xi,xi-5),贝VG(1,xi-5)
则PG=|1-xi|,AG=|5-xi-4|=|1-xi|
FA=BD=3:
■:
由勾股定理得:
(1-xi)2+(1-xi)2=18,xi2-2xi—8=0,xi=-2或4
•P(-2,-7)或P(4,-1),
存在点P(-2,-7)或P(4,-1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.
周长类
6.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到厶DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作//BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?
若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
。
即”on士
设对称轴交
x于点F,则亠「卜八-一
(PF+OM)
f.-丄一出•一丄"gt,&pnf=XNF?
PF=X(-t)X=—t-y,
扑电t(0Vtv4),
?
OF=(+t)
(2)在RtAABO中,OA=3,OB=4,•AB=门;
•••四边形ABCD是菱形,•BC=CD=DA=AB=5,
当x=时,唏瘙遥!
,•p傍寻,
(4)TMN//BD,
•当7时,S取最大值是汙,此时,点M的坐标为(0,―.
等腰三角形类
7.如图,点A在x轴上,0A=4,将线段OA绕点0顺时针旋转120。
至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、0、B的抛物线的解析式;
(3)
在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等腰三
解:
(1)如图,过B点作BC丄x轴,垂足为C,则/BCO=90°
•••/AOB=120°,•••/BOC=60°,
又•0A=0B=4,•OC=OB=X4=2,BC=0B?
si门60。
=4^二=2.:
将A(4,0),B(—
16a+4b=0
4a-2b--2
,•此抛物线的解析式为一严」
解得
3
(3)存在,
如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
1若0B=0P,则22+|y2=42,解得y=±2二当曲时,在RfP0D中,/PTsin/POD昶
•••/POD=60°,
•••/P0B=ZP0D+/AOB=60°+120°=180°,
即P、0、B三点在同一直线上,
•••y=2沖不符合题意,舍去,
•••点P的坐标为(2,-2:
■;)
2若0B=PB,则42+|y+2「;|2=42,
解得y=-2.二
故点P的坐标为(2,-2:
';),
3若0P=BP,则22+|y|2=42+|y+2-;|2,
解得y=-2;,
故点P的坐标为(2,-2:
;),
&在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴
上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示:
抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直
•••/BCD+/ACO=90°,/ACO+ZCAO=90°
•••/BCD=ZCAO,(1分)
又tZBDC=ZCOA=9O°CB=AC,
•••△BCD◎△CAO,(2分)
•BD=OC=1,CD=OA=2,(3分)
•••点B的坐标为(-3,1);(4分)
(2)抛物线y=ax2+ax-2经过点B(-3,1),
JiT
则得到1=9a-3a-2,(5分)
\一
解得a=,
所以抛物线的解析式为y=x2+x-2;(7分)
X7、
(3)假设存在点P,使得△ACP仍然是以
%
AC为直角边的等腰直角三角形:
①若以点C为直角顶点;
则延长BC至点Pi,使得PiC=BC,得到等腰直角三角形厶ACPi,(8分)
过点Pi作PiM丄x轴,
tCPi=BC,/MCPi=ZBCD,/PiMC=ZBDC=90°
•••△MPiC^ADBC.(10分)
•••CM=CD=2,PiM=BD=1,可求得点Pi(1,-1);(11分)
2若以点A为直角顶点;
则过点A作AP2丄CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形厶ACP2,(12分)
过点P2作P2N丄y轴,同理可证△AP2NCAO,(13分)
•••NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1),(14分)
经检验,点P1(1,-1)与点P2(2,1)都在抛物线y=/+x-2上.(16分)
9.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且
点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2-ax-2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点
P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直
角三角形?
若存在,求所有点
P的坐标;若不存在,请说明理由.
ACPi,过点Pi作PiM丄x轴,如图
解:
(1)过点B作BD丄x轴,垂足为D,
•••/BCD+/ACO=90°,/ACO+/OAC=90°
•••/BCD=/CAO,
又•••/BDC=/COA=90°CB=AC,
•••△BDC◎△COA,
•BD=OC=1,CD=OA=2,
•••点B的坐标为(3,1);
(2)•••抛物线y=ax2-ax-2过点B(3,1),
•1=9a-3a-2,
解得:
a=,
•抛物线的解析式为y=x2-x-2;
(3)假设存在点P,使得△ACP是等腰直角三角形,
①若以AC为直角边,点C为直角顶点,则延长BC至点P!
使得PiC=BC,得到等腰直角三角形
(1),
•CPi=BC,ZMCP1=ZBCD,/P1MC=ZBDC=90°
•△MP1CBADBC,
•CM=CD=2,P1M=BD=1,
•-P1(-1,-1),经检验点P1在抛物线y=x2-x-2上;
②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP2丄CA,且使得AP2=AC,
得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N丄y轴,如图
(2),
同理可证厶AP2NBACAO,
•NP2=OA=2,AN=OC=1,
•P2(-2,1),经检验P2(-2,1)也在抛物线y=/-x-2上;
3若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP3丄CA,且使得AP3=AC,
得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H丄y轴,如图(3),
同理可证厶AP3HCAO,
•HP3=OA=2,AH=OC=1,
•P3(2,3),经检验P3(2,3)不在抛物线y=x2-x-2上;故符合条件的点有P1(-1,-1),P2(-2,1)两点.
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