整式的乘除与因式分解教案.docx

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整式的乘除与因式分解教案

第十四章整式乘除与因式分解

14.1.1同底数的幂相乘

[教学目标]1、理解同底数幂的乘法法则，掌握其公式的运用；2、通过由特殊到一般的推导过程，培养学生的猜想、归纳和表达能力。

[重点难点]同底数幂的乘法公式及其运用是重点；理解同底数幂的乘法公式是难点。

[教学过程]

一、情景导入

　　一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

可进行1014×103次运算.

如何计算1012×103呢？

根据乘方的意义可知

容易知道1012×103是同底数的幂相乘。

上面的计算有没有规律呢？

二、同底数幂的乘法法则

探究：

根据乘方的意义填空：

（1）25×22＝2（）；

（2）a3·a2＝a（）；

（3）5m·5n＝5（）（m、n都是正整数）。

你发现了什么？

这三个式子都是同底数的幂相乘；相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n，am·an的幂是多少呢？

因此，我们有am·an=am+n（m、n都是正整数）

用语言叙述是：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

三、例题

例1计算：

（1）x2·x5

（2）a·a6（3）2×24×23（4）xm·x3m+1

分析：

式子表示什么运算？

结果是多少？

解：

（1）x2·x5=x2+5=x7．

（2）a·a6=a1·a6=a1+6=a7．

（3）2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28．

（4）xm·x3m+1=xm+（3m+1）=x4m+1．

注意：

a＝a1。

指数1一般省略不写。

例2计算

（1）am·an·ap;

（2）－a·（-a）3;

（3）27·3n;（4）（a-b）2（a-b）3.

分析：

式子可以看成什么运算？

结果是多少？

解：

（1）am·an·ap=（am·an）·ap

=am+n·ap=am+n+p；

（2）－a·（-a）3＝（-a）1＋3（-a）4＝a4；

或－a·（-a）3＝a·a3＝a4；

（3）27·3n＝33·3n＝233＋n；

（4）（a-b）2（a-b）3＝（a-b）2＋3＝（a-b）5.

反思：

①要注意有些形式上不是同底数幂的乘法可以转化为同底数幂的乘法来计算；②

（1）的结果说明了什么？

四、课堂练习

课本142面练习

（1）－（4）题。

五、课堂小结

这节课我们学习了一些什么知识？

探讨了同底数幂的运算法则；运用同底数幂的运算法则进行计算。

运用同底数幂的运算法则进行计算时要注意：

必须是同底数的幂才能相乘；结果是底数不变，指数相加.

作业：

149面8题。

14.1.2—3幂的乘方和积的乘方

[教学目标]经历探索幂的乘方与积的乘方运算性质的过程，理解和掌握幂的乘方和积的乘方法则，并会运用它们进行熟练的计算。

[重点难点]幂的乘方和积的乘方的计算是重点；正确地运用幂的乘方和积的乘方法则是难点。

[教学过程]

一、复习导入

根据幂的意义填空：

（1）32表示_____个_____相乘；

（2）（32）3表示_____个_____相乘；

（3）a2表示_____个_____相乘；（4）（a2）3表示______个_____相乘；

（5）am表示个相乘；（6）（am）3表示个相乘。

式子（32）3、（a2）3、（am）3有什么共同特点？

都是幂的乘方.

二、幂的乘方

（一）幂的乘方法则

探究1根据乘方的意义填空：

（1）（32）3=32×32×32=3（）；

（2）（a2）3=a2×a2×a2=a（）；

（3）（am）3=am×am×am=a（）.

从计算中你发现了什么？

幂的乘方的结果是底数没有变，指数相乘。

（am）n等于什么？

即（am）n=amn（m、n是正整数）.

上面的结论用语言表达是：

幂的乘方,底数不变,指数相乘。

（二）例题

例1计算：

（1）（103）5；

（2）（a4）4;

（3）（am）2;（4）－（x4）3.

分析：

式子表示什么意义？

结果是多少？

理由是什么？

解：

（1）（103）5＝103×5＝1015；

（2）（a4）4＝a4×4＝a16；

（3）（am）2＝10m×2＝a2m；

（4）－（x4）3＝－x4×3＝－x12.

三、积的乘方

（一）积的乘方法则

探究2填空：

（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a（）b（）；

（2）（ab）3=______=_______=a（）b（）

（3）（ab）n=______=______=a（）b（）（n是正整数）

（ab）2、（ab）3、（ab）n表示什么运算？

从上面的计算中你发现了什么规律？

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

用符号语言表达是：

an·bn=（ab）n（n为正整数）

（二）例题

例2计算：

（1）（2a）3；

（2）（-5b）3；

（3）（xy2）2；（4）（-2x3）4。

分析：

式子表示什么意义？

由积的乘方法则可得到什么？

解：

（1）（2a）3=23·a3=8a3．

（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．

（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．

（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．

四、课堂练习

课本143面练习；144面练习。

五、课堂小结

这节课学习了什么内容？

1、幂的乘方法则是什么？

用符号怎么表达？

2、积的乘方法则是什么？

用符号怎么表达？

3、幂的乘方与积的乘方的计算。

在计算过程中，要注意同底数的幂相乘、幂的乘方和积的乘方的区别，以免混淆出错。

作业：

课本148面1、2。

14.1.4整式的乘法

（一）

[教学目标]探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并会运用它们进行计算．

[重点难点]单项式与单项式、单项式与多项式的乘法是重点；单项式与多项式相乘去括号法则的应用是难点。

[教学过程]

一、情景导入

光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

地球与太阳的距离约为（3×105）×（5×102）千米．

怎样计算（3×105）×（5×102）呢？

二、单项式与单项式相乘

（一）单项式乘法法则

根据乘法的交换律和结合律有

（3×105）×（5×102）=（3×5）×（105×102）=15×107.

思考：

如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，这是什么运算？

怎样计算这个式子呢?

ac5·bc2=（a·c5）·（b·c2）

=（a·b）·（c5·c2）（乘法交换律和结合律）

=abc5+2（同底数的幂相乘）

=abc7

类似地，请你试着计算：

（-5a2b3）·（4b2c）

上面都是单项式乘以单项式，总结一下，怎样进行单项式乘法？

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（二）例1计算：

（1）（－5a2b）（－3a）；

（2）（2x）3（－5xy2）。

分析：

（1）、

（2）是什么运算？

怎样进行这样的计算？

解：

（1）（－5a2b）（－3a）=[（-5）×（-3）]（a2·a）b

=15a3b。

（2）（2x）3（－5xy2）=8x3·（-5）·xy2

=[8×（-5）]（x3·x）y2

=-40x4y2

注意：

系数相乘时要注意积的符号；先乘方再相乘。

思考：

课本145面练习2题。

三、单项式与多项式相乘

（一）单项式乘多项式法则

看下面的问题：

三家连锁店以相同的价格m（单位：

元/瓶）销售某种新商品，它们在一个月内的销售量（单位：

瓶）分别是a、b、c，你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

方法一：

先分别求三家连锁店的收入，总收入为ma+mb+mc。

方法二：

先求三家连锁店的总销量，总收入为m（a+b+c）。

显然，m（a+b+c）=ma+mb+mc。

从运算的角度来说，这个式子表示什么？

它有什么特点？

这个式子表示乘法分配律；这个式子左边是单项式乘以多项式，右边是单项式的和。

请你试着计算：

2a2·（3a2－5b）。

从上面解决的两个问题中，总结一下，怎样将单项式与多项式相乘？

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

容易知道，单项式与多项式相乘就是乘法分配律的运用。

（二）例2计算：

（1）（－4x2）·（3x+1）；

（2）（2/3ab2－2ab）·1/2ab。

分析：

从运算的角度看，这个式子表示什么？

怎样进行这样的计算？

解：

（1）（－4x2）·（3x+1）=（－4x2）·3x+（－4x2）·1

=－12x3－4x2。

（2）（2/3ab2－2ab）·1/2ab=2/3ab2·1/2ab－2ab·1/2ab

=1/3a2b3－a2b2。

注意：

去括号时要注意符号。

四、课堂练习

课本145面练习1题；146练习1、2题。

五、课堂小结

这节课我们学习了什么内容？

1、单项式的乘法法则及其运用；

2、多项式的乘法法则及其运用。

作业：

149面3、4、6、9题。

14.1.4整式的乘法

（二）

[教学目标]探索并了解多项式与多项式相乘的法则，会运用它们进行计算．

[重点难点]多项式与多项式相乘是重点；去括号时符号的确定是难点。

[教学过程]

一、直接导入

前面我们学习了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，那么怎样进行多项式与多项式的乘法呢？

二、多项式乘多项式的法则

为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，你能用几种方法求出扩大后的绿地的面积？

方法一：

由长乘宽得，绿地的面积为（a+b）（m+n）米2．

方法二：

由四小块的面积相加得，绿地的面积为（am+an+bm+bn）米2．

因此，（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

这个等式的右边是怎样从左边得到的呢？

仔细地观察，我们可以发现：

（a+b）（m+n）的结果可以看作由a+b中的每一项乘m+n中的每一项，再把所得的积相加而得到的。

即

（a+b）（m+n）==am+an+bm+bn。

根据上面的分析，请你总结多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

三、例题

例1计算：

（1）（3x+1）（x+2）；

（2）（x-8）（x-y）；

（3）（x+y）（x2-xy+y2）。

分析：

这是什么运算？

怎样进行这样的运算？

解：

（1）（3x+1）（x+2）=3x·x+3x·2+1·x+1×2

=3x2+6x+x+2

=3x2+7x+2

（2）（x-8）（x-y）=x·x－xy－8xy+8y2

=x2－9xy+8y2。

（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x3－x2y+xy2+x2y-xy2+y3

=x3+y3。

注意：

去括号时要注意符号的变化。

四、课堂练习

课本148面练习1、2。

五、课堂小结

这节课我们学习了多项式与多项式相乘，在计算的过程中要准确地运用法则，注意去括号时符号的变化。

作业：

课本149面5、7、10题；150面12题。

选做150面11题。

14.1.4整式的乘法（三）

[教学目标]1、理解同底数幂的除法法则和零指数幂的意义；2、会运用同底数幂的除法法则进行计算。

[重点难点]运用同底数幂的除法法则进行计算是重点；理解同底数幂的除法法则和零指数幂的意义是难点。

[教学过程]

一、情景导入

一种数码照片文件的大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

这个移动存储器的容量为26×210=216K，所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28．

216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？

二、同底数幂的除法法则

根据乘法与除法的互逆关系，求216÷28，即求一个数使它与28的积是216，这个数是什么？

另一方面，216÷28=

即216÷28=28

探究：

根据除法的意义填空：

（1）55÷53=5

（2）；

（2）109÷102=10（7）；

（3）a7÷a3=a（4）。

仔细观察一下，你发现了什么规律？

上面的计算中底数和指数有没有变化？

底数没有变，被除数的指数减去除数的指数等于商的指数。

这就是说：

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

你能用字母表示吗？

am÷an=am－n（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n。

）

下面来验证这个结论是正确的。

∵am-n·an=am-n+n=am

∴am÷an=am-n．

思考：

为什么这里要规定a≠0？

三、例题

例计算：

（1）x8÷x2

（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2

分析：

式子是什么运算？

怎样进行同底数幂的运算？

结果是什么？

解：

（1）x8÷x2=x8-2=x6．

（2）a4÷a=a4-1=a3．

（3）（ab）5÷（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．

注意：

公式中的a可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

思考：

课本160面练习3题。

四、零指数幂的意义

探究：

根据除法的意义填空：

（1）32÷32=（30）

（2）103÷103=（100）

（3）am÷an=（a0）（a≠0）

你发现了什么？

任何不等于0的数的0次幂都等于1．

于是规定：

a0=1（a≠0）。

这样，同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到：

am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．

五、课堂练习

课本160面1、2。

六、课堂小结

这节课你学习了哪些知识？

1、同底数幂的乘法法则是什么？

用字母怎么表示？

2、零指数幂的意义是什么？

00没有意义。

3、同底数幂的乘法运算。

作业：

课本164面1、5题。

14.1.4整式的乘法（四）

[教学目标]经历探索单项式除以单项式运算法则的过程，理解单项式与单项式相除的算理，会进行单项式与单项式的除法运算．

[重点难点]单项式除以单项式的运算法则及其运用是重点；探索单项式与单项式相除的运算法则是难点。

[教学过程]

一、情景导入

木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨。

你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

木星的质量约为地球质量的（1.90×1024）÷（5.98×1021）倍．

计算（1.90×1024）÷（5.98×1021）就是要求一个数，使它与5.98×1021的乘积等于1.90×1024。

∵（5.98×1021）×（95/299×103）=1.90×1024

∴（1.90×1024）÷（5.98×1021）=95/299×103≈3177.

把上面的数字换成字母该怎么计算呢？

二、单项式相除的法则

讨论：

利用乘除法的互逆关系计算下列各式：

（1）8a3÷2a；

（2）5x3y÷3xy；（3）12a3b2x3÷3ab2．

解答：

（1）∵2a·（4a2）=8a3，

∴8a3÷2a=4a2；

（2）∵3xy·（2x2）=6x3y，

∴6x3y÷3xy=2x2；

（3）∵3ab2·（4a2x3）=12a3b2x3，

∴12a3b2x3÷3ab2=4a2x3．

这三个式子是什么运算？

都是单项式除以单项式。

从系数和字母两个方面观察，运算结果与原式有什么关系？

运算结果都是系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，结果都作为商的因式，其余的也作为商的因式。

也就是：

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

三、例题

例计算：

（1）28x4y2÷7x3y；

（2）-5a5b3c÷15a4b；

（3）5（2a+b）4÷（2a+b）2。

分析：

这是什么运算？

怎样进行这样的运算？

结果是什么？

解：

（1）28x4y2÷7x3y

=（28÷7）·x4-3·y2-1

=4xy．

（2）-5a5b3c÷15a4b

=（-5÷15）a5-4b3-1c

=-1/3ab2c．

（3）5（2a+b）7÷（2a+b）3

=（5÷1）（2a+b）7-3

=5（2a+b）4

注意：

28x4y2÷7x3y就是（28x4y2）÷（7x3y），括号通常省略。

四、课堂练习

课本162面练习1、2题。

五、课堂小结

这节课我们探索了单顶式相除的法则，并进行了单项式与单项式的除法运算，你有些什么体会呢？

作业：

课本164面2、4题。

14.1.4整式的乘法（五）

[教学目标]理解多项式除以单项式的法则,会进行多项式除以单项式的运算.

[重点难点]多项式除以单项式的运算是重点;准确地进行多项式除以单项式的运算是难点.

[教学过程]

一、问题导入

上节课我们学习了单项式与单项式相除，怎样进行单项式与单项式的除法运算？

如果是多项式与单项式相除，又怎样进行计算呢？

二、多项式除以单项式

探究：

试计算下列各式：

（1）（am+bm）÷m；

（2）（a2+ab）÷a；

（3）（4x2y+2xy2）÷2xy．

根据前面探究的经验，你认为应该怎样计算呢？

利用乘除互逆的关系计算：

（1）∵（a+b）m=am+bm∴（am+bm）÷m=a+b

（2）∵（a+b）a=a2+ab∴（a2+ab）÷=a+b

（3）∵（2x+y）·2xy=4x2y+2xy2∴（4x2y+2xy2）÷2xy=2x+y

仔细观察式子与结果，这个结果还可以怎样得到？

（1）（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b;

（2）（a2+ab）÷a=a2÷a+ab÷a=a+b;

（3）（4x2y+2xy2）÷2xy=4x2y÷2xy+2xy2÷2xy=2x+y.

由此你认为怎样进行多项式除以单项式的运算？

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

三、例题

例3计算：

（1）（12a3-6a2+3a）÷3a；

（2）（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）；

（3）[（x+y）2-y（2x+y）-8x]÷2x

分析：

这是什么运算？

怎样进行这样的运算？

请你说一说运算过程。

解：

（1）（12a3-6a2+3a）÷3a

=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a

=4a2-2a+1

（2）（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）

=-3x2y2+5xy-y

（3）[（x+y）2-y（2x+y）-8x]÷2x

=（x2+2xy+y2-2xy-y2-8x）÷2x

=（x2-8x）÷2x

=1/2x-4。

注意：

运算时要注意符号，多项式是几项结果就是几项。

四、课堂练习

课本163面练习题。

五、课堂小结

这节课学习了多项式与单项式相除。

多项式除以单项式的基本思想是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，计算时要注意符号，多项式是几项结果就是几项。

作业：

课本164面3、6、8。

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

[教学目标]1、经历探索平方差公式的过程，会验证平方差公式；2、明确平方差公式的结构特征，并能正确地运用公式进行计算．

[重点难点]平方差公式及其应用是重点；平方差公式的结构特点及灵活运用是难点。

[教学过程]

一、情景导入

前面我们学习了多项式与多项式的乘法,回忆一下,怎样进行多项式与多项式的乘法?

计算下列多项式的积：

（1）（x+1）（x-1）;

（2）（m+2）（m-2）;

（3）（2x+1）（2x-1）;（4）（x+5y）（x-5y）.

观察上述算式，它们有什么特征？

它们都是两个数的和与差的积。

解:

（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12

（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×2=m2-22

（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12

（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·x-x·5y-（5y）2=x2-（5y）2

二、平方差公式

看看计算的结果，你发现了什么规律？

两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。

你用字母表示上述规律吗？

（a+b）（a-b）=a2-b2．

事实上，（a+b）（a-b）=a2－ab+ab－b2=a2-b2．

我们还可以用下面的图来验证。

从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，如图1；把阴影部分再剪掉拼到剩余的部分上得到图2，请你用图1、图2进行说明。

图1的面积是a2-b2，图2的面积是（a+b）（a-b）。

因此，（a+b）（a-b）=a2-b2．

我们称它为平方差公式。

注意：

①公式的左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

三、例题

例1运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）

（3）（-x+2y）（-x-2y）

分析：

这些式子有什么特点？

相当于平方差公式中a、b的是什么？

套用公式的结果是什么？

解：

（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a2-b2=4a2-b2．

（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．

反思：

套用公式的结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。

例2计算：

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

分析：

（1）能够运用平方差公式计算吗？

怎样变形呢？

（2）这个式子有什么特点？

解：

（1）102×98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y2+5y-y-5）

=y2-4-y2-4y+5=-4y+1．

反思：

①对

（2）题，你还有其它的变形方式吗？

（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y-1）（y+1）-5（y-1）。

②运用平方差公式，有时要进行适当的变形。

四、课堂练习

课本153面练习1、2题。

五、课堂小结

1、平方差公式是怎样的？

用语言怎么叙述？

2、运用平方差公式要注意些什么？

①要明确公式的特点；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；③有时要进行适当的变形。

作业：

课本156面1题。

14.2.2完全平方公式

[教学目标]理解完全平方公式的特征，了解公式的几何背景，会运用公式进行简单的计算。

[重点难点]完全平方公式及其应用是重点；完全平方公式的结构特征及灵活运用是难点。

[教学过程]

一、情景导入

请用两种方法计算下面图形的面积，你发现了什么？

由图

（1）得（a+b）2=a2+ab+b2，

由图

（2）得（a-b）2=a2-2ab+b2。

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