高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题03导数及其应用练习理.docx
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高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题03导数及其应用练习理
03 导数及其应用
1.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f
(1)+f'
(1)=().
A.1B.2
C.3D.4
解析▶由条件知(1,f
(1))在直线x-y+2=0上,且f'
(1)=1,∴f
(1)+f'
(1)=3+1=4,故选D.
答案▶D
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为().
A.-B.-2
C.-2或-D.2或-
解析▶由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,
则f'
(1)=0,f
(1)=10,
即
解得或
经检验满足题意,故=-,故选A.
答案▶A
3.对于R上可导的任意函数f(x),若满足≤0,则必有().
A.f(0)+f
(2)>2f
(1)
B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
C.f(0)+f
(2)<2f
(1)
D.f(0)+f
(2)≥2f
(1)
解析▶当x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.即当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f
(1).所以f(0)>f
(1),f
(2)>f
(1),则f(0)+f
(2)>2f
(1).故选A.
答案▶A
4.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.
解析▶ y'=-x2+a,若y=-x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不等实根,Δ=4a>0,故a的取值范围是(0,+∞).
答案▶(0,+∞)
能力1
▶会应用导数的几何意义
【例1】
(1)已知曲线f(x)=在点(1,f
(1))处切线的斜率为1,则实数a的值为().
A.B.-C.-D.
(2)曲线f(x)=x2+lnx在点(1,f
(1))处的切线方程为.
解析▶
(1)对函数f(x)=求导,可得f'(x)=.
因为曲线f(x)=在点(1,f
(1))处切线的斜率为1,
所以f'
(1)==1,得a=,故选D.
(2)因为f'(x)=2x+,
所以曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为f'
(1)=2+=3.
因为f
(1)=1,
所以切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
答案▶
(1)D
(2)3x-y-2=0
1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:
(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程:
先求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程.
(2)已知切线的斜率k,求y=f(x)的切线方程:
设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:
设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.
2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:
已知过某点的切线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.
1.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.
解析▶ ∵函数ye=x的导函数为y'e=x,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.
设P的坐标为(x0,y0)(x0>0),
∵函数y=的导函数为y'=-,
∴曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-,
由题意知k1k2=-1,即1·=-1,解得=1,
又x0>0,∴x0=1.
∵点P在曲线y=(x>0)上,∴y0=1,
故点P的坐标为(1,1).
答案▶(1,1)
2.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.
解析▶(法一)令f(x)=x+lnx,求导得f'(x)=1+,则f'
(1)=2.
又f
(1)=1,∴曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切的切点为P(x0,y0),
则当x=x0时,y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-.
又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,
∴x0=-,此时a=8.
(法二)求出曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1.
由得ax2+ax+2=0,
∴Δ=a2-8a=0,∴a=8或a=0(显然不成立).
答案▶8
能力2
▶会利用导数解决函数的单调性问题
【例2】
(1)函数f(x)=x2lnx的单调递减区间为().
A.(0,)B.
C.D.
(2)若函数f(x)=lnx+ax2-2在内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是().
A.(-∞,-2]B.
C.D.(-2,+∞)
解析▶
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由题意得f'(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),
令f'(x)<0,解得0 所以函数f(x)的单调递减区间为. 故选D. (2)由题意得f'(x)=+2ax, 若f(x)在内存在单调递增区间, 则f'(x)≥0在上有解,即a≥. 又g(x)=-在上是单调递增函数,所以g(x)>g=-2,所以a>-2.故选D. 答案▶ (1)D (2)D 利用导数研究函数的单调性: (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则; (2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别. 1.已知函数f(x)=+lnx,若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数a的取值范围为. 解析▶ ∵f(x)=+lnx, ∴f'(x)=(a>0). ∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数, ∴f'(x)=≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立, ∴ax-1≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立, 即a≥对任意的x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1. 答案▶[1,+∞) 2.已知函数f(x)=x2-2alnx+(a-2)x. (1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间. (2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增? 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 解析▶ (1)当a=-1时,f(x)=x2+2lnx-3x, 则f'(x)=x+-3= =. 当0 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(2,+∞),单调递减区间为(1,2). (2)假设存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增, ∴g'(x)=f'(x)-a=x--2≥0恒成立. 即≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立. ∴x2-2x-2a≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立, ∴a≤(x2-2x)=(x-1)2-(x∈(0,+∞))恒成立. 又φ(x)=(x-1)2-,x∈(0,+∞)的最小值为-, ∴当a≤-时,g'(x)≥0恒成立. 又当a=-时,g'(x)=,当且仅当x=1时,g'(x)=0. 故当a∈时,g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增. 能力3 ▶会利用导数解决函数的极(最)值问题 【例3】若x=3是函数f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点,则f(x)的极大值等于(). A.-1B.3C.-2e3D.6e-1 解析▶ ∵函数f(x)=(x2+ax+1e)x, ∴f'(x)=[x2+(2+a)x+a+1]ex. ∵x=3是函数f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点, ∴f'(3)=0,解得a=-4, 故f'(x)=(x2-2x-3)ex, ∴当x=-1时,f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=6e-1.故选D. 答案▶D 【例4】已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx. (1)当a>0时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)当a<0时,求函数f(x)在上的最小值. 解析▶ (1)由函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx,可得f'(x)=2ax+(1-2a)-=. 令f'(x)>0,∵a>0,x>0,∴>0, ∴x-1>0,得x>1, ∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞). (2)由 (1)可得f'(x)=. 已知a<0,令f'(x)=0,得x1=-,x2=1. ①当->1,即- ∴f(x)在上的最小值为f (1)=1-a. ②当≤-≤1,即-1≤a≤-时, 若x∈,则f'(x)≤0;若x∈,则f'(x)≥0. 因此f(x)在上是减函数,在上是增函数, ∴f(x)的最小值为f=1-+ln(-2a). ③当-<,即a<-1时,x∈,f'(x)>0,因此f(x)在上是增函数, ∴f(x)的最小值为f=-a+ln2. 综上,函数f(x)在上的最小值为 f(x)min= 利用导数研究函数极值、最值的方法: (1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右两边函数值的符号. (2)若已知极值大小或存在情况,则将问题转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.(4)研究函数的极值或最值时应注意的问题: ①利用导数研究函数的极值和最值时,应先考虑函数的定义域;②导数值为0的点不一定是函数的极值点,它是函数在该点取得极值的必要不充分条件. 已知f(x)=lnx+. (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)若对任意x>0,均有x(2lna-lnx)≤a恒成立,求正数a的取值范围. 解析▶ (1)f'(x)=-=,x∈(0,+∞). ①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值. ②若a>0,当x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. 故f(x)在(0,+∞)有极小值,无极大值,f(x)的极小值为f(a)=lna+1. (2)若对任意x>0,均有x(2lna-lnx)≤a恒成立, 则对任意x>0,均有2lna≤+lnx恒成立, 由 (1)可知f(x)的最小值为lna+1, 故问题转化为2lna≤lna+1,即lna≤1,解得0 一、选择题 1.曲线f(x)=2x-ex在点(0,f(0))处的切线方程是(). A.x+y+1=0B.x-y+1=0 C.x+y-1=0D.x-y-1=0 解析▶由题意得f'(x)=2e-x,f'(0)=1,f(0)=-1, 故切线方程为x-y-1=0.故选D. 答案▶D 2.已知函数f(x)=x+sinx,若a=f(3),b=f (2),c=f(log26),则a,b,c的大小关系是(). A.a
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- 高考 数学 二轮 复习 一篇 微型 专题 03 导数 及其 应用 练习