版高考数学理科一轮设计第56章教师用书人教A版.docx
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版高考数学理科一轮设计第56章教师用书人教A版
2018版高考数学(理科)一轮设计:
第5~6章教师用书(人教A版)
第1讲 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 1.了解向量的实际背景;2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识梳理
1.向量的有关概念
名称定义备注
向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量
零向量长度为零的向量;其方向是任意的记作0
单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线
共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算定 义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运算
(1)交换律:
a+b=b+a
(2)结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
a-b=a+(-b)
数乘求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)零向量与任意向量平行.( )
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
(3)向量AB→与向量CD→是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( )
(5)在△ABC中,D是BC中点,则AD→=12(AC→+AB→).( )
解析
(2)若b=0,则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上.
答案
(1)√
(2)× (3)× (4)√ (5)√
2.给出下列命题:
①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量AB→与BA→相等.则所有正确命题的序号是( )
A.①B.③C.①③D.①②
解析 根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量AB→与BA→互为相反向量,故③错误.
答案 A
3.(2017枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点,AD→=-13AB→+43AC→,若BC→=λDC→(λ∈R),则λ=( )
A.2B.3C.-2D.-3
解析 由AD→=-13AB→+43AC→,可得3AD→=-AB→+4AC→,即4AD→-4AC→=AD→-AB→,则4CD→=BD→,即BD→=-4DC→,可得BD→+DC→=-3DC→,故BC→=-3DC→,则λ=-3,故选D.
答案 D
4.(2015全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________.
解析 ∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,
又向量λa+b与a+2b平行,
则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则得λ=μ,1=2μ,解得λ=μ=12.
答案 12
5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且OA→=a,OB→=b,则DC→=______,BC→=________(用a,b表示).
解析 如图,DC→=AB→=OB→-OA→=b-a,BC→=OC→-OB→=-OA→-OB→=-a-b.
答案 b-a -a-b
考点一 平面向量的概念
【例1】下列命题中,不正确的是________(填序号).
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB→=DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c.
解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB→=DC→,∴|AB→|=|DC→|且AB→∥DC→,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则|AB→|=|DC→|,
AB→∥DC→且AB→,DC→方向相同,因此AB→=DC→.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
答案 ①
规律方法
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与a|a|的关系:
a|a|是与a同方向的单位向量.
【训练1】下列命题中,正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小.
答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
【例2】
(1)(2017潍坊模拟)在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=13AB,BQ=13BC.若AB→=a,AC→=b,则PQ→=( )
A.13a+13bB.-13a+13ba-13bD.-13a-13b
(2)(2015北京卷)在△ABC中,点M,N满足AM→=2MC→,BN→=NC→.若MN→=xAB→+yAC→,则x=________;y=________.
解析
(1)PQ→=PB→+BQ→=23AB→+13BC→=23AB→+
13(AC→-AB→)=13AB→+13AC→=13a+13b,故选A.
(2)由题中条件得,MN→=MC→+CN→=13AC→+12CB→=13AC→+12(AB→-AC→)=12AB→-16AC→=xAB→+yAC→,所以x=12,y=-答案
(1)A
(2)12 -16
规律方法
(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:
①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
【训练2】
(1)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个靠近B点的三等分点,那么EF→等于( )
A.12AB→-13AD→B.14AB→+12AD→AB→+12DA→D.12AB→-23AD→
(2)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO→=λAB→+μBC→,则λ+μ等于( )
A.1B.12C.13D.23
解析
(1)在△CEF中,有EF→=EC→+CF→.
因为点E为DC的中点,所以EC→=12DC→.
因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点,
所以CF→=23CB→.
所以EF→=12DC→+23CB→=12AB→+23DA→
=12AB→-23AD→,故选D.
(2)∵AD→=AB→+BD→=AB→+13BC→,
∴2AO→=AB→+13BC→,即AO→=12AB→+16BC→.
故λ+μ=12+16=23.
答案
(1)D
(2)D
考点三 共线向量定理及其应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB→=a+b,BC→=2a+8b,CD→=3(a-b).求证:
A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
(1)证明 ∵AB→=a+b,BC→=2a+8b,CD→=3(a-b).
∴BD→=BC→+CD→=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB→.∴AB→,BD→共线,
又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解 ∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,
使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
规律方法
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立.
【训练3】
(1)(2017资阳模拟)已知向量AB→=a+3b,BC→=5a+3b,CD→=-3a+3b,则( )
A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线
(2)已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2OA→+xOB→+BC→=0成立的实数x的取值集合为( )
A.{0}B.∅C.{-1}D.{0,-1}
解析
(1)∵BD→=BC→+CD→=2a+6b=2(a+3b)=2AB→,
∴BD→、AB→共线,又有公共点B,
∴A,B,D三点共线.故选B.
(2)因为BC→=OC→-OB→,所以x2OA→+xOB→+OC→-OB→=0,即OC→=-x2OA→-(x-1)OB→,因为A,B,C三点共线,
所以-x2-(x-1)=1,即x2+x=0,
解得x=0或x=-1.
答案
(1)B
(2)D
[思想方法]
1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线对于三点共线有以下结论:
对于平面上的任一点O,OA→,OB→不共线,满足OP→=xOA→+yOB→(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.
[易错防范]
1.解决向量的概念问题要注意两点:
一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
基础巩固题组
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.已知下列各式:
①AB→+BC→+CA→;②AB→+MB→+BO→+OM→;③OA→+OB→+BO→+CO→;④AB→-AC→+BD→-CD→.其中结果为零向量的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析 由题知结果为零向量的是①④,故选B.
答案 B
2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|D.|-λa|≥|λ|a
解析 对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反;B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.
答案 B
3.如图,在正六边形ABCDEF中,BA→+CD→+EF→=( )
A.0B.BE→
C.AD→D.CF→
解析 由题图知BA→+CD→+EF→=BA→+AF→+CB→=CB→+BF→=CF→.
答案 D
4.设a0为单位向量,下述命题中:
①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
答案 D
5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA→+OB→+OC→+OD→等于( )
A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→
解析 OA→+OB→+OC→+OD→=(OA→+OC→)+(OB→+OD→)=2OM→+2OM→=4OM→.故选D.
答案 D
6.在△ABC中,AB→=c,AC→=b,若点D满足BD→=2DC→,则AD→等于( )
A.23b+13cB.53c-23b
C.23b-13cD.13b+23c
解析 ∵BD→=2DC→,∴AD→-AB→=BD→=2DC→=2(AC→-AD→),
∴3AD→=2AC→+AB→,∴AD→=23AC→+13AB→=23b+答案 A
7.(2017温州八校检测)设a,b不共线,AB→=2a+pb,BC→=a+b,CD→=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为( )
A.-2B.-1C.1D.2
解析 ∵BC→=a+b,CD→=a-2b,
∴BD→=BC→+CD→=2a-b.
又∵A,B,D三点共线,∴AB→,BD→共线.
设AB→=λBD→,∴2a+pb=λ(2a-b),
∴2=2λ,p=-λ,∴λ=1,p=-1.
答案 B
8.如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB→=a,AC→=b,则AD→=( )
A.a-12b B.12a-b
C.a+12b D.12a+b
解析 连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且CD→=12AB→=12a,
所以AD→=AC→+CD→=b+12a.
答案 D
二、填空题
9.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中,与向量OA→相等的向量有________个.
解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义,易知与向量OA→相等的向量有CB→,DO→,EF→,共3个.
答案 3
10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB→+AD→=λAO→,则λ=________.
解析 因为ABCD为平行四边形,所以AB→+AD→=AC→=2AO→,已知AB→+AD→=λAO→,故λ=2.
答案 2向量e1,e2不共线,AB→=3(e1+e2),CB→=e2-e1,CD→=2e1+e2,给出下列结论:
①A,B,C共线;②A,B,D共线;③B,C,D共线;④A,C,D共线.其中所有正确结论的序号为________.
解析 由AC→=AB→-CB→=4e1+2e2=2CD→,且AB→与CB→不共线,可得A,C,D共线,且B不在此直线上.
答案 ④
12.已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0,若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立,则m=________.
解析 由已知条件得MB→+MC→=-MA→,如图,延长AM交BC于D点,则D为BC的中点.
延长BM交AC于E点,延长CM交AB于F点,同理可证E,F分别为AC,AB的中点,即M为△ABC的重心,
∴AM→=23AD→=13(AB→+AC→),即AB→+AC→=3AM→,则m=3.
答案 3
能力提升题组
(建议用时:
15分钟)(2017延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量,AB→=3e1+2e2,CB→=ke1+e2,CD→=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为( )
A.-94B.--38D.不存在
解析 由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB→=λBD→.
又AB→=3e1+2e2,CB→=ke1+e2,CD→=3e1-2ke2,
所以BD→=CD→-CB→=3e1-2ke2-(ke1+e2)
=(3-k)e1-(2k+1)e2,
所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,
所以3=λ(3-k),2=-λ(2k+1),解得k=-答案 A已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP→=2OA→+BA→,则( )
A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上
解析 因为2OP→=2OA→+BA→,所以2AP→=BA→,所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.
答案 B是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足:
OP→=OA→+λAB→|AB→|+AC→|AC→|,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析 作∠BAC的平分线AD.∵OP→=OA→+λAB→|AB→|+AC→|AC→|,
∴AP→=λAB→|AB→|+AC→|AC→|=λ′AD→|AD→|(λ′∈[0,+∞)),
∴AP→=λ′|AD→|AD→,∴AP→∥AD→.
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案 B若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|OB→-OC→|=|OB→+OC→-2OA→|,则△ABC的形状为________.
解析 OB→+OC→-2OA→=(OB→-OA→)+(OC→-OA→)=AB→+AC→,OB→-OC→=CB→=AB→-AC→,∴|AB→+AC→|=|AB→-AC→|.
故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.
答案 直角三角形
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义;2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;4.理解用坐标表示的平面向量共线的条
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