交集并集全集补集第1课时学案1.docx
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交集并集全集补集第1课时学案1
交集、并集.全集与补集
一.课标解读
1.《普通高中数学课程》中明确指出:
“理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.”
2.重点:
交集与并集.全集与补集的概念.
3.难点:
理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系.
二.要点扫描
1.交集
⑴交集定义:
由属于
又属于
的所有元素构成的集合叫
与
的交集,记作
,表示为
且
图中阴影部分表示集合
与
的交集:
注意:
此定义包含了两层含义:
一层含义为凡是
中的元素都是两集合
与
的公共元素;另一层含义是集合
与
中的所有公共元素都在
中。
另外,当两集合
与
没有公共元素时,不能说集合
与
没有交集,而是
。
⑵交集的运算性质:
对于任何两个集合
与
,都有
2.并集
并集定义:
把给定的两个集合
与
的所有元素并在一起构成的集合叫
与
的并集,记作
,表示为
或
,图中阴影部分表示集合
与
的并集:
注意:
两集合的并集,公共元素只能出现一次。
或
包含了三种情况:
但
;
但
;
且
.
⑵并集的运算性质:
对于任何两个集合
与
,都有
3.补集
⑴补集的定义
如果
,由全集
中不属于
的所有元素构成的集合,叫做
在
中的补集,记作
表示为
且
图中阴影部分表示集合
在全集
中的补集:
⑵补集的运算性质:
对于任何集合
,都有
三.知识精讲
知识点1交集、并集、补集的重要结论
知识点2表示交集、并集、补集关系的常见的几种韦恩图
四.典题解悟
---------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------
[题型一]交集
由属于
又属于
的所有元素构成的集合叫
与
的交集.
例1.A={
},
,求实数p的取值范围。
解析:
因为
,
若
,则方程
无实数解,
所以
,-4
若
,则方程
有非正实数根,
因为
,所以方程有两个负根,
所以
解得
,
综上可知,实数p的取值范围是p>-4.
答案:
p>-4.
[题型二]并集
把给定的两个集合
与
的所有元素并在一起构成的集合叫
与
的并集.
例2.
,求
。
解析:
集合中的元素有两个性质,即确定性和互异性,本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了
这个解。
或
,
若
,则
;
若
,则
。
但
时
,这时集合
的表示与集合元素具有互异性相矛盾,
所以
或
或
。
答案:
或
或
。
例3.已知集合
(1)若A
B,请求a的取值范围;
(2)若
,请求a的取值范围;
(3)若
,请求a的取值范围。
解析:
化简集合A={x|2 (1)因为A B,如下图 虽然要求 ,当 ,3a>4仍然成立,所以A B成立,同理3a=4也符合题意, 所以 解得 故 的取值范围是 。 (2)①当 时,显然 成立,即 ; 或② 时,如下图 或 位置均使 成立。 当 或 时也符合题目意,事实上, ,则 成立。 所以,要求 或 ,解得 。 或③ 时, 显然 成立。 所以 可取, 综上所述, 的取值范围是 。 (3)因为 ,如下图 集合 若要符合题意,位置显然为 ,此时, , 所以, 为所求。 答案: ⑴ ; ⑵ ; ⑶ [题型三]补集 如果 ,由全集 中不属于 的所有元素构成的集合,叫做 在 中的补集. 例4.已知全集U={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+7|},CUA={5},求a的值。 解析: 由已知U={2,3,a2+2a-3},CUA={5},得a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2 若a=-4,|a+7|=3,满足条件; 若a=2,|a+7|=9,与题意不符,舍去。 所以a=-4。 答案: a=-4 例5.设全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x||x|=y+2,y∈A},求CUB,A∪(CUB),A∩(CUB),CU(A∪B),(CUA)∩(CUB). 解析: A={x|-2 ∴CUB={x|x≤-5或x=0或x≥5}, A∪(CUB)={x|x≤-5或-2 CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)={x|x≤-5或x≥5}. 答案: 略. -----------------------------------------------------拓展一步----------------------------------------------------- 1.有限集合中元素的个数 在研究集合时,常遇到有关集合中元素的个数问题,我们便把有限集合 中元素的个数记作 ,如 ,则 =3. 下面看一个例题: 观察它们的元素个数间的关系, 发现: 一般地,对于任意两个有限集合A,B,有 ; 这就是著名的容斥原理; 对于任意三个有限集合A,B,C,有 注意: 例6.天鹅旅行社有15人组成了国际导游组,其中能用英语导游的有11人,能用日语导游的有8人,若每人至少会这两种外语之一,求既能用英语又能用日语的导游有多少位? 解析: 设A={能使用英语的导游},B={能使用日语的导游}, {国际导游组成员}, {既能用英语又能用日语的导游} 由 ,则15=11+8 则 =4。 答案: 既能用英语又能用日语的导游有4位。 2.德摩根律 利用维恩图观察 与 的关系 通过观察发现: 与 是相同的,即 = 同样的道理可以发现: = 这便是著名的德摩根律,它可以叙述为: 交集的补集等于 的补集之并; 并集的补集等于 的补集之交。 例7.已知集合A={(x,y)|ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|x2+y2=1}, 问: (1)当a取何值时,(A∪B)∩C为含有两个元素的集合? (2)当a取何值时,(A∪B)∩C为含有三个元素的集合? 解析: (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。 A∩C与B∩C分别为 的解集。 解之得: (Ⅰ)的解为(0,1),( ) (Ⅱ)的解为(1,0),( ) (1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能: 解得a=0或a=1。 (2)使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是: 解得 。 答案: (1)a=0或a=1; (2) 。 ---------------------------------------------------错解点击--------------------------------------------------- 例8.15.集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a+1=0},C={x|x2-mx+2=0},若A∪B=A,A∩C=C,求a,m的值. 错解: 此为易错题目. 正解: m=3或m∈(-2 2 ). 分析: 当a-1=1,即a=2时,B={1}; 当a-1=2,即a=3时,B={1,2}. ∴a的值为2或3. 再考虑条件: C A,则集合C有三种情况: 1当C=A时,m=3; 2当C为单元素集合时,即方程x2-mx+2=0有等根. 由△=m2-8=0,得m=±2 . 但当m=±2 时,C={ }或{- } 不合条件C A.故m=±2 舍去. 3当C=φ时,方程x2-mx+2=0无实根, △=m2-8<0,∴-2 .综上m=3或m∈(-2 2 ). 五.课本习题解析 六.同步自测 ---------------------------------------------------双基训练--------------------------------------------------- 1.设集合M={x| ≤0},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N=() A、{x|0≤x<1}B、{x|0≤x<2}C、{x|0≤x≤1}D、{x|0≤x≤2} 2.设全集U=N,集合A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=4n,n∈N}则() A、U=A∪BB、U=CUA∪CUBC、U=A∪CUBD、U=CUA∪B 3.设M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},且M∩N={2,3}则a的值是() A、1或2B、2或4C、2D、1 4.设集合 , ,则 () A、 B、MC、ZD、{0} 5.设全集U(U )和集合M,N,P且M=CUN,N=CUP,则M与P的关系是-------() A、M=CUPB、M=PC、M PD、M P 6.已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=() A.{2,1}B.{x=2,y=1}C.{(2,1)}D.(2,1) 7.若集合 ,则满足 的集合B的个数是() A.1B.2C.7D.8 8.已知集合 ,则 () A. B. C. D. 9.设A、B、I均为非空集合,且满足 ,则下列各式中错误的是() A.. B. C. D. 10.已知集合U、P、Q满足U=P∪Q={0,1,2,3,4},P∩Q={1,3},则( )∩(P∪Q)=() A{0,1,3}B{1,2,4}C{0,2,4}D{1,3,4} 11.U=R,集合A={x| ≤2},则CUA=______________; 12.设全集U={x|x≤10,x∈N},集合P={能被2或3整除的自然数},用列举法表示集合CUP为{}。 13.知集合 , , 则 =; ---------------------------------------------------综合提高--------------------------------------------------- 14.集合A={1,3,x},B={x2,1},且A B={1,3,x},满足这些条件的x的值有(). A.一个B.两个C.三个D.四个 15.设全集为 ,非空集 满足 ,则下列集合中一定是空集的是() (A) (B) (C) (D) 16.设集合 ,要使 ,则 应满足的条件是() (A) (B) (C) (D) 17.已知集合 ,则 () (A) (B) (C) (D) 18.已知全集U={(x,y)|x,y }, 集合A={(x,y
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