椭圆的定义和离心率 精品教案.docx
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椭圆的定义和离心率精品教案
椭圆的定义及离心率(人教A选修1-1第二章第1节)
一、教学设计
内容和内容解析
1.内容
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》(人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心编著)选修1-1第二章第1节《椭圆及其标准方程》第一课时.让学生通过自己动手,通过椭圆的画法,掌握椭圆的定义。
通过绘制不同圆扁程度的椭圆,理解离心率的几何意义。
2.内容解析
数学学习的核心是思考,离开思考就没有真正的数学。
针对这节课的内容:
教师提示;学生操作、观察、思考、讨论;教师再演示、点评,最大限度地调动学生积极参与教学活动。
特别是在细线的长度等于或者小于两个图钉之间的距离,以及在探讨如何通过改变细线长度,图钉之间距离来改变离心率,进而影响椭圆的的圆扁程度等教学重难点处适当放慢节奏,给学生充分的时间与空间进行思考与讨论,教师适时给予适当的思维点拨,必要的可进行大面积提问,让学生做课堂的主人,充分发表自己的观点,交流、汇集思想。
这样既有利于化解难点、突出重点,也有利于充分发挥学生的主体作用,使课堂气氛更加活跃,让学生在生生互动、师生互动中掌握知识,提高解决问题的能力。
另外通过学法指导,引导学生思维向更深更广发展,以培养学生良好的思维品质,并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。
根据以上分析,得到本节课重点:
能从椭圆的绘制过程,总结归纳出椭圆的定义,并推断其标准方程。
目标和目标解析
1.知识与技能目标
1.1准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的定义;
1.2了解离心率的概念,理解离心率对椭圆圆扁程度的影响。
2.过程与方法目标
2.1通过和学生一起列举生活中的椭圆图形,了解椭圆的广泛应用;引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程并归纳出椭圆的定义;
2.2通过对图钉之间的距离,和细线长度的调节,从不同形状的椭圆图形中,归纳出它们的变化对椭圆的形状的影响,了解离心率的概念;
2.3学习在问题中发现数量关系,提炼数学概念的能力,由具体到抽象,从特殊到一般的化归思想和数学形结合的思想,初步体会数学概念形成的过程和本质,提高学生的抽象概括能力。
3.情感态度价值观目标
3.1发挥学生的主体地位,让学生在试验中通过观察,尝试,思考,归纳,反思,改进最终形成概念,增强学生的问题意识。
3.2重视学生的知识获得过程,知其然更知其所以然,让他们在经历知识产生过程中找到学习数学的乐趣,激发学习数学的热情。
教学问题诊断分析
因为本课面向文科学生,和理科选修2-1的内容相比,教材删去了较为抽象的《曲线和方程》的内容,即使如此,对文科班的同学来说相比,仍显抽象,特别是第一节就碰上椭圆标准方程的推导,很有可能会成为学习的拦路虎,鉴于此,先绕过较为抽象的对内容,从椭圆在生活中的应用谈起,通过学生动手实践绘制椭圆,观察椭圆,最后归纳出椭圆的定义和圆周率对椭圆圆扁程度的影响,增强感性认识,充分发挥学生在学习中的主体地位,引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思,促进形成研究氛围和合作意识。
重视知识的形成过程教学,让学生知其然并知其所以然,通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。
利用椭圆知识解决实际问题,使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量,增强学习数学的兴趣和信心。
等到下一节课,再通过对椭圆定义的严密化,培养学生形成扎实严谨的科学作风,经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
根据以上分析,得到本节课难点:
从不同圆扁程度的椭圆分析,得到离心率的大小和椭圆圆扁程度的关系。
教学支持条件分析
本课需要教师配备多媒体教学设备,能够向学生展示生活中丰富多彩的椭圆形状及其应用。
同时还要通过动画来展示椭圆图形的绘制过程,以及同学们所做的不同形状的椭圆。
同时,学生还要准备一张做图纸,一条细线,两个图钉,以及铅笔和橡皮、直尺等作图工具。
老师需要拿一瓶装了一半水的圆柱形矿泉水瓶子,以备课堂上演示不同形状的椭圆。
现在绝大部分的学校,都已经可以做到每个教室配备多媒体,即使边远山区的学校,也会有几间的多媒体教室,学生需要的作图工具,学生都可以做到自备。
本课所需要的图钉,细线可以由老师来提供。
同时,启发同学通过喝水杯来观察各种形状的椭圆。
在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则,让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识,并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题,产生学习数学的浓厚兴趣。
教学过程
教学环节
教学内容和形式
设计意图
启发诱导
推陈出新
1、复习旧知识:
圆的定义是什么?
圆的标准方程是什么形式?
如何推导圆的标准方程呢?
2、引出课题:
请同学们展示课前搜集的各种椭圆的实际图片,必要的地方可以交代其背景。
3、提出新问题:
这些椭圆是怎么画出来的?
椭圆的定义是什么?
它的标准方程又是什么形式呢?
老师举例:
1.家具等等上面椭圆
2.车标上的椭圆,如丰田
3.行星等天体的运行轨道
4.白宫的椭圆形办公室
(老师可以讲讲椭圆形办公室的一些典故,增强同学们的兴趣)
5.提问:
鸡蛋为什么是椭圆形的呢?
提示:
从反面作答,不是椭圆形,那同等体积下什么形状最合适呢?
激活学生已有的认知结构,为本课合情推理椭圆的标准方程提供了方法与策略。
展示椭圆的现实存在,引出课题。
让学生从感性认识入手,逐步上升到理性认识,形成正确的概念。
小组合作
绘制椭圆
请同学们尝试用事先发给他们的A4作图纸,一条细线,两个图钉,再加一支铅笔为工具,尝试画出椭圆。
学生操作:
以同桌两人为一组较为合适,互相协助,固定一条细线的两端,用笔尖将细线拉紧并运动,在绘图板上得到了怎样的图形?
老师提问,学生回答:
1)绘制椭圆的过程是怎么样的?
最佳过程参考:
先把A4白纸铺在桌面上,把细线的两头打结拴在图钉尖上,在白纸上选两个合适的点,再把两个图钉通过白纸钉在桌面上,然后用铅笔尖尽量拉直细线,在白纸上画出椭圆来。
2)在绘制椭圆的过程中,仔细观察,看那些在变化?
那些始终不变?
参考回答:
铅笔尖在移动,被铅笔分开的两条线段长度在不停的发生变化。
图钉不动,细线的长度不变。
在动手过程中,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。
能否建立合理的流程?
体会变和不变的辩证关系?
教学环节
教学内容和形式
设计意图
老师观察学生完成情况,并对没有顺利绘制成功的小组和学生一起分析原因,讨论其可能的原因
归纳总结
形成概念
3)对没有完成椭圆作图的原因进行分析,都有哪
些?
如何改进?
可能原因:
a.笔尖没有紧贴桌面,或者桌面上面不平整,导致部分没有图象或者变形。
b.图钉尖之间的距离大于细线的长度,线没有办法固定上去,自然没法作图。
c.图钉尖把线拉直了再固定,之间的距离等于细线的长度,做出来是线段,不是椭圆。
d.图钉尖之间距离太小或者太大,导致图象不太“像”椭圆。
e.图钉没有固定好或者用力太大,画到一半脱落
(由老师对b,c进行演示和分析,总结绘制椭圆的条件,为椭圆的定义做好铺垫)
4)通过自己作图的过程,如何给椭圆下个准确的定义?
思考(给学生足够得时间):
定义:
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和(大于|F1F2|)的动点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆之间的焦距(|F1F2|=2c)。
(老师板书)
5)如何用集合表示M点所满足的几何条件。
学生回答:
教师板书P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜(2a>2c)
6)类比圆的定义和标准方程,在椭圆的图形纸上建立合适的直角坐标系。
区别:
a.圆有一个定点,一段定长。
椭圆有两个顶点,两段之和为定长。
(提示同学通过对圆的方程的复习,以及对椭圆知识的预习,合情推理得到椭圆的标准方程)
分析作图失败的原因,培养学生观察能力、归纳总结能力,为为形成椭圆定义奠定基础。
在概念的理解上,先突出“和”,在此基础上再完善“常数”取值范围.在变化的过程中建立起用联系与发展的观点看问题。
使学生能将文字语言转化为数学语言,为类比猜想椭圆标准方程做铺垫。
学生体会老师给椭圆所下的定义引导学生由由圆和椭圆图形和定义的不同,以及预习知识,猜想椭圆的标准形式。
教学环节
教学内容和形式
设计意图
启发诱导
小组协作
猜想方程
观察比较
小组讨论
通过观察可得:
1)这两条折痕线互相垂直并且相交于一点
2)这两条折痕线一条两点间距离最长,另一条则最短
3)这两条折痕线把椭圆分成相同的四部分
4)这两条折痕线的交点是这个椭圆的对称中心
5)可以以这两条折痕线建立平面直角坐标系
b.圆心在原点的方程:
,变形为
F1F2
y
x
F22
O2
猜想:
类比圆的定义和方程,建立椭圆的平面直角坐标系,猜测椭圆的标准方程形式?
7)观察上图,找出表示a、c、
的线段。
并猜想如果此图形椭圆竖立起来后的标准方程?
结论:
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
给出长轴,短轴,焦距的概念,并请图学们在自己绘制的椭圆图上标出来。
7.观察并思考:
1)交换各自所做的椭圆,比较各自图形的的不同,特别是圆扁的程度。
2)观察老师用计算机演示不同圆扁的椭圆;
3)观察老师用装了水的饮料瓶演示水面形成的不同椭圆,病情同学们思考:
如何做出一个更圆(或者更扁)的椭圆?
把画有椭圆的A4纸横竖对折,让椭圆两次都重叠,观察折痕,总结结论。
引导学生由由圆和椭圆图形和定义的不同,以及预习知识,猜想椭圆的标准形式。
教学环节
教学内容和形式
设计意图
小组讨论
得出概念
应用举例
变式巩固
提示:
前后四人组成小组,通过只改变图钉间的相对位置,细线的长度不变;或图钉之间的距离固定,改变细线长度,动手实践绘制椭圆图形,检验自己的猜想。
(教师巡视,参与交流,推荐观点总结完整的小组长上讲台来说明)
结论:
当细线长度2a不变时,图钉尖的距离2c越接近零,椭圆越圆;反之,越接近2a,椭圆越扁。
当图钉尖的距离2c不变时,细线长度2a越大,椭圆越圆;反之,越接近2c,椭圆越扁。
8.老师总结,给出离心率定义:
,利用上面的结论,说明离心率对椭圆圆扁程度的影响。
例1:
写出适合下列条件的椭圆方程,并比较其圆扁程度的不同。
1)a=4,b=1,焦点在x轴上。
2)a=4,c=1,焦点在y轴上。
例2:
已知椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10,求椭圆的标准方程和离心率。
变式:
已知椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0),且经过点
求椭圆的标准方程和离心率。
通过动手实践来化解离心率概念的难度
以上例题较简单,其目的为了巩固求椭圆标准方程和离心率,及区别焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆标准方程
课堂小结
小结:
1)椭圆是怎样的点的轨迹?
2)椭圆的两个标准方程是怎样的?
有什么区别?
3)椭圆离心率的概念及其几何意义。
4)你学会了哪些数学思想与方法?
活动过程:
(师)提问-----(生)小结-----(师生)补充完善
让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力.
板书设计
2.1椭圆的定义及其离心率
一、复习引入
二、新课讲解
1、椭圆图片展示
2、椭圆的定义
3、椭圆的标准方程
4、椭圆的离心率
三、习题研讨
例1:
例2:
变式:
四、小结
五、作业
附录:
白宫椭圆形办公室
白宫的是由爱尔兰裔建筑师JamesHoban设计,1792年奠基,1800年落成。
当时建筑界新古典主义巴洛克风格盛行,椭圆形正是其主要标志之一,因此18世纪的新古典主义建筑中椭圆形房间非常流行,白宫内著名的南草坪、蓝厅以及外交接待大厅等便均属椭圆形,而二楼的黄色椭圆形厅在整个19世纪长期作为总统的私人办公室与图书室。
现代的总统办公地点:
白宫西翼(WestWing)则始建于老罗斯福总统时代,随后的塔夫脱总统则在建筑的南部中央建造了第一个椭圆形办公室(设计师NathanC.Wyeth),小罗斯福总统上台后,为了方便出入(其因患脊髓灰质炎而行走不便)把办公室改建在了东南角(设计师EricGugler),并一直沿用至今。
可能是出于继承传统的考虑,当代椭圆形办公室的设计依然保持了新古典主义巴洛克风格,复现了乔治王朝时期的建筑传统。
二、教学实践心得
探本朔源学概念———
谈《椭圆的定义和离心率》的教学
福建省厦门市海沧实验中学韩耀辉
本节课如果依照教材,按照传统的方法来处理,首先是椭圆的定义及其标准方程的学习,定义是重点,化归到到其标准方程是难点。
基本过程是根据动手绘制椭圆,也有可能老师会用动画代替,建构椭圆定义,并用直接法求轨迹方程。
经过对教材的冷静分析,结合自己所带班级是文科班,同是本校又属于厦门市的高中“薄弱校”的特点,我改变了传统的教法。
采用实践——探究学习的方式,从生活中的椭圆图形入手,通过介绍美国总统办公生活地—白宫的建筑特点,特别是椭圆形办公室的轶事,激发学生的学习兴趣。
再通过学生两人一组,动手绘制椭圆,观察和探索此过程,得到椭圆的定义。
再类比圆心在原点的圆的标准方程,得到椭圆的标准方程。
然后从同学亲手绘制的图形入手,对比其圆扁程度等不同点,抛开大小不同这些非本质因素,从不同的图形的圆扁程度对比,并分析影响椭圆圆扁程度的因素,取决于两个量:
线长(2a)和钉子之间的距离(2c),引出椭圆离心率的概念,得到其大小变化对椭圆的影响。
与常规教学过程不同之处在于,把坐标化、及化简方程等较为繁杂,且需要一定技巧和运算能力的内容置后一节。
放在第二节再去处理推导标准方程时探寻简洁的运算方法,并从化简的过程中去发掘有价值的材料。
目的是事先培养学生的感性认识,再来根据文科生的认知特点,加强理性认识。
从而培养学生的研究能力,增强了知识的系统性,提高了问题解决能力。
纵观整堂课的教学过程,始终关注问题解决,贯穿以下几个目标。
1.通过学生在问题上的尝试去学习新的数学知识。
解决问题的能力不仅仅是学习数学的一个目的,而且也同样是学习数学的一种主要方法。
当学生们在对数学内容的探索中应用问题解决的方法时,他们会得到对数学的新的理解,并利用他们已知的数学知识去解决新的数学问题的能力。
为了寻求解决问题的方法,学生们必须以不同的方法应用他们的知识,在本节课中,他们通过动手操作,绘制椭圆,观察绘制过程,通过小组合作,相互讨论得到椭圆的定义。
通过对比绘制的椭圆图形的不同,得到椭圆离心率的几何意义。
学生通过这个过程,来得到新的知识体验,非常有助于后续双曲线、抛物线等知识的学习。
问题解决是整个数学学习的不可缺少的一部分,而不是数学教学计划中的一个孤立的部分。
它应该是支持发展数学理解的课程的一个有机部分。
应该给学生创造更多的机会去建立新的知识,设法解决那些需要相当程度的努力的复杂问题。
而在这方面,是传统课堂的一个缺憾,本节课试图努力做一些尝试。
问题解决怎样帮助学生学数学呢?
精心设计的问题情景提供一种场所,在那里学生能巩固并扩展自己所知道的东西,精心挑选的问题能鼓励进行深入的数学探索。
本节课就是通过多媒体演示,图片展示,动手时间等各种方式让学生对椭圆实现从感性认识到理性认识的跨越。
一改课本对椭圆定义的研究方法,而是在建构主义教学观下的抛锚式教学指导下,利用学生动手绘制椭圆图形,来寻求学生的最近发展区:
通过和圆的定义及标准方程的对比研究方式,变更运算方式延续而形成椭圆定义。
2.对在解决问题中的数学思维进行监控和反思。
学生在问题解决中的失败,是经常出现的情况。
很多并不是由于数学知识的缺乏,而是由于对他们已知知识的非有效的应用。
而知识要达到有效的应用,必然建立在他们对相关知识的产生,发展和延伸的有效掌握上。
本节课就是让学生通过动手来理解概念的产生和形成过程,通过他们的产品(绘制不同的椭圆)来辨识,进而达到对概念的理解。
如果问题是书面的,他们就仔细阅读它。
如果问题是以口述方式告诉他们的,他们提出各种问题直到理解问题。
为了让学生成为好的问题解决者,自我意识和自我评价是绝对重要的。
这样的深入思考的技巧(称为"元认知")在支持他们发展的教室环境中会更好地得到发展。
通常教师问以下的一些问题在帮助形成这些深入思考的习惯方面会扮演重要的角色:
"在我们开始之前,我们确认了我们已经理解这一点了吗?
"、"我们有哪些可以选择呢?
"、"我们能看出他们的区别吗?
"、"我们能不能试着把看到的情况描述出来呢?
"、"为什么我们认为这是真实的呢?
"类似这样的问题能帮助学生形成在做一件事的过程中检查他们对问题的理解的习惯。
在本节课中我在两个地方设计了对思维过程的监控和反思。
第一个地方是椭圆定义形成后让学生再次思考定义的建构过程;第二个地方是焦点在x上的标准方程推导出来后设置了几个反思性问题引导学生反思,反思探索性提问:
若将F1F2所在直线作y轴,方程又如何?
(给出标准方程的定义并强化标准何在。
)这样处理,既提高了学生元认知水平,也培养了学生探索性解决问题的能力。
3.突出学生主体地位,发展学生创新思维。
概念教学理当重视概念形成过程与概念的应用。
本节课在回顾圆的定义方式、阅读相关下水材料后,让学生从情景中发现问题、提出问题并解决问题。
提出问题和解决问题的过程,就是学生思维的过程,教师在课堂上给学生留有充足的时间和空间,让学生去议论、去争辩、去探索。
例如:
在复习了圆的几种定义之后让学生讨论、探索椭圆定义;在建立平面直角坐标系的方法和把焦点在x上的标准方程推导出来后的反思探索都充分让学生讨论、研究等。
这样教学不仅使学生的主体地位得到了充分的体现,也使学生的创新思维得到的发展。
高中阶段的数学内容,是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础,特别是其中的概念,如果去了解其背景,它的形成过程,甚至它的应用,以及它与其他概念的联系,通过这节课,都是水到渠成,浑然天成的。
学生完全有可能、有能力去了解并加以应用。
作为老师,只需要适当的加以引导即可。
不可否认,教学是一个需要不断探索、不断完善的过程,只要我们不断学习教育理论,在实践中不断探索,定会使我们的教学日趋成熟。
应用众多的策略去解决问题,并使各种策略适应新的情况。
【参考文献】
美国新课程标准问题解决
人教版普通高中课程标准数学教科书
三、专家点评
“问渠那得清如许,为有源头活水来”
——听韩耀辉老师《椭圆的定义及离心率》一课有感
厦门市海沧区教师进修学校教研员邱宗如
韩耀辉老师,是我区培养的市级青年骨干教师。
从北师大毕业到海沧中学十多年来,对工作认真负责,勤勤恳恳,现已成长为学校的教育教学中坚力量。
经过四轮完整的高中教学后,形成了自己的教学风格,对教材也有了自己独到的见解。
这节课的处理,真正实现了由“教教材”到利用教材教的转变。
今天到该校听取他所讲的《椭圆的定义及离心率》,初看题目,大感意外。
怎么是椭圆的第一节课,属于概念教学课,又怎能一步过渡到其性质的离心率呢?
等到实际在其课堂实际听完以后,观看学生的上课参与程度,课堂思考程度,以及课后的作业反馈后,顿觉得这节课对他的学生来说,尤其是对文科班的学生来说,确属量身定做,和体裁衣。
实属一节有内容、有创新、有收获的好课。
一、过程回顾
1.引入:
师生回顾圆的概念和方程,列举生活中常见的椭圆形象,特别是对白宫椭圆形特点的介绍,一下子激发了学生的学习兴趣。
2.新课:
2.1同桌两人一组,绘制椭圆图形,老师巡视指导。
分析:
2.1.1轨迹上的点是怎么来的?
2.1.2在这个运动过程中,什么是变化的?
什么是不变的?
2.2归纳总结出椭圆的定义。
(教师启发引导,学生回答)
2.3类比推理得到椭圆标准方程。
(推导之前先回顾求轨迹方程的方法)
观察不同的组绘制的椭圆,比较不同的圆扁程度,引导学生找出决定圆扁程度的因素,得到离心率的概念。
3.讲解例题。
(教师启发引导,板演过程,学生分析,思考)
4.小结。
5.布置作业。
二、成功之处
1.教学方法上:
结合本节课的具体内容,确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学,大量的图片演示和互动过程,符合文科生的认知特点。
,,,。
。
,,,geng。
特别是大胆地对教材内容进行了调整,让学生能够较好的入手,提高学习数学的兴趣,降低畏难情绪。
2.学法指导上:
采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合,促进学生说、想、做,注重“引、思、探、练”的结合,鼓励学生发现问题,大胆分析问题和解决问题,进行主动探究学习,形成师生互动的教学氛围。
3.学生参与度上:
课堂教学真正面向全体学生,让每个学生都享受到发展的权利。
在老师的启发鼓励下,让学生充分参与进来,积极进行小组交流讨论。
4.整节课贯彻了“学生为主体,老师为主导”的课程理念,为学生的主动参与提供时间和空间,特别是给了学生大量动手实践的机会,并通过观察让不同的学生发表自己的观点,真正做到了:
凡是学生能够思考探究、动手操作、都尽量让学生自己去做,调动学生学习积极性,拉近师生距离,提高知识的认可度,实现知识的迁移。
三、不足之处
1.本节课课堂容量偏大,特别是动手实践的过程占用的时间较多,从而导致学生在课堂上的思考的时间不够,课堂时间安排比较紧张。
因此,今后可以更合理地安排的课堂结构,让学生有更多的思考时间和空间。
2.椭圆的标准方程通过预习和类比圆的方程得到,总是有点不太自然,应该结合定义体验推导过程,尽快实现从感性认识到理性认识的过渡。
3.展示学生的观察能力,概括总结能力的活动安排偏少。
总之,在课堂教学中,韩老师“以知识为载体,以思维为主线,以能力为目标,以发展为方向”,展现知识的发生形成过程。
采取以学生发展为本,明确本节课的学习目标,以学习任务驱动为方式,以椭圆在实际生活中的应用和椭圆图形的绘制为中心。
穿插研究性教学尝试,体现了“学生是学习主体,教师是引导者、参与者、组织者、合作者”的新课程理念。
有利于改变学生的学习方式,有利于学生自主探究,有利于学生的实践能力和创新意识的培养。
达到了教学目标,优化了整个教学过程。
整节课最大的亮点在于通过新授课,展示了椭圆概念的形成过程,达到了学生对知识探本朔源的求知本能。
真正做到了“问渠那得清如许,为有源头活水来”。
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