初二三角形四边形动点问题知识点及题答案.docx
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初二三角形四边形动点问题知识点及题答案
教学过程
一、复习预习
1.复习所学过的几何图形及其性质
2.列出所有几何图形的面积边长公式.
二、知识讲解
专题一:
一函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?
下面结合中考试题举例分析.
一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二:
动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:
等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
(一点动问题。
(二线动问题。
(三面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:
1、特殊探路,一般推证。
2、动手实践,操作确认。
3、建立联系,计算说明。
三、专题二总结,本大类习题的共性:
1.代数、几何的高度综合(数形结合;着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想:
数学结合、分类讨论、方程、函数.
2.以形为载体,研究数量关系;通过设、表、列获得函数关系式;研究特殊情况下的函数值。
专题三:
双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能
全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,供读者欣赏.
1以双动点为载体,探求函数图象问题。
2以双动点为载体,探求结论开放性问题。
3以双动点为载体,探求存在性问题。
4以双动点为载体,探求函数最值问题。
双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。
专题四:
函数中因动点产生的相似三角形问题
专题五:
以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味。
三、例题精析
【例题1】
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts.
(1当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?
(3当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形?
解析:
(1四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ.
(2四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE.
(3四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.
所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可.
解答:
解:
(1∵四边形PQCD平行为四边形
∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得:
t=6
即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形.
(2过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形
∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形
∴QC-PD=2CE
即3t-(24-t=4
解得:
t=7(s
即当t=7(s时,四边形PQCD为等腰梯形.
(3由题意知:
QC-PD=EC时,
四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t=2
解得:
t=6.5(s
即当t=6.5(s时,四边形PQCD为直角梯形.
点评:
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中.
【例题2】
如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0,则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
(1当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC的一部分为第三边构成一个三角形;
(2当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?
如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.
解析:
以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合,此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm;或者点Q、M重合且点P、N不重合,此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根据这两种情况来求解x的值.
以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时,AP=MC,BQ=ND;当点P在点N的右侧时,AN=MC,BQ=PD.所以可以根据这些条件列出方程关系式.
如果以P,Q,M,N为顶点的四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,x≠0.这些条件不能同时满足,所以不能成为等腰梯形.
解答:
解:
(1当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC的一部分为第三边可能构成一个三角形.
①当点P与点N重合时,由x2+2x=20,得
x1=
-1,
x2=--1(舍去.因为BQ+CM=x+3x=4(
-1<20,此时点Q与点M不重合.
所以
x=-1符合题意.②当点Q与点M重合时,由x+3x=20,得x=5.
此时DN=x2=25>20,不符合题意.
故点Q与点M不能重合.
所以所求x的值为
-1.
(2由(1知,点Q只能在点M的左侧,
①当点P在点N的左侧时,
由20-(x+3x=20-(2x+x2,
解得x1=0(舍去,x2=2.
当x=2时四边形PQMN是平行四边形.
②当点P在点N的右侧时,
由20-(x+3x=(2x+x2-20,
解得x1=-10(舍去,x2=4.
当x=4时四边形NQMP是平行四边形.
所以当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
(3过点Q,M分别作AD的垂线,垂足分别为点E,F.
由于2x>x,
所以点E一定在点P的左侧.
若以P,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形,
则点F一定在点N的右侧,且PE=NF,
即2x-x=x2-3x.
解得x1=0(舍去,x2=4.
由于当x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形,
所以以P,Q,M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形.
点评:
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点.
【例题3】
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,P、Q分别从点D、C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动,设运动时间为t(s.
(1设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系;
(2当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
解析:
(1若过点P作PM⊥BC于M,则四
边形PDCM为矩形,得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知:
s=PM×QB=96-6t;
(2本题应分三种情况进行讨论,①若PQ=BQ,在Rt△PQM中,由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,将各数据代入,可将时间t求出;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,由PB2=BM2+PM2,BP=BQ,将数据代入,可将时间t求出;
③若PB=PQ,PB2=PM2+BM2,PB=PQ,将数据代入,可将时间t求出.
解答:
解:
(1过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形.
∴PM=DC=12,
∵QB=16-t,
∴s=•QB•PM=(16-t×12=96-6t(0≤t≤
.
(2由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况
四、课堂运用
【基础】
1.如图,已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动.设点E移动的时间为t(秒
(1设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
(2求当t为何值时,以E,F,C三点为顶点的三角形是等腰三角形;
解析
(1∵ED=t,CF=2t,∴S=S△BCE+S△BCF=12×8×4+1
2×2t×t=16+t2.
即S=16+t2.(0≤t≤4;
(2①若EF=EC时,则点F只能在CD的延长线上,
∵EF2=222(2451616tttt-+=-+,
EC2=222416tt+=+,∴251616tt-+=216t+.∴t=4或t=0(舍去;
②若EC=FC时,∵EC2=222416tt+=+,FC2=4t2,∴216t+=4t2
.∴
t=③若EF=FC时,∵EF2=222(2451616tttt-+=-+,FC2=4t2,
∴251616tt-+=4t2.∴t1
=16+,t2
=16-
∴当t的值为4
16-E,F,C三点为顶点的三角形是等腰三角形
【巩固】
2.如图1,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P从A点出发,沿A→B→C→D路线运动,到D点停止;点Q从D点出发,沿D→C→B→A运动,到A点停止.若点P、
点Q同时出发,点P的速度为每秒1cm,点Q的速度为每秒2cm,a秒时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为每秒b(cm,点Q的速度变为每秒c(cm.如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2与x(秒的函数关系图象;图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2与x(秒的函数关系图象.根据图象:
(1求a、b、c的值;
(2设点P离开点A的路程为y1(cm,点Q到点A还需要走的路程为y2(cm,请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(秒的函数关系式,并求出P与Q相遇时x的值.
【答案】(1a=8;b=2;c=1
(2y1=2x﹣8(x>8;y2=22﹣x(x>8;出发10秒时,P与Q相遇
【解析】
(1观察图象得,S△APQ=PA•AD=×(1×a×6=24,
解得a=8(秒
b==2(厘米/秒
(22﹣8c=(12×2+6﹣2×8
解得c=1(厘米/秒
(2依题意得:
y1=1×8+2(x﹣8,
即:
y1=2x﹣8(x>8,
y2=(30﹣2×8﹣1×(x﹣8
=22﹣x(x>8
又据题意,当y1=y2时,P与Q相遇,即
2x﹣8=22﹣x,
解得x=10(秒
∴出发10秒时,P与Q相遇.
【拔高】
3.如图1,在矩形ABCD中,点P从B点出发沿着四边按B→C→D→A方向运动,开始以每秒m个单位匀速运动,a秒后变为每秒2个单位匀速运动,b秒后又恢复为每秒m个单位匀速运动.在运动过程中,△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图2所示.
(1求矩形ABCD的长和宽;
(2求m、a、b的值
【答案】(1长方形的长为8,宽为4
(2m=1;a=4;b=11
【解析】
(1从图象可知,当6≤t≤8时,△ABP面积不变
即6≤t≤8时,点P从点C运动到点D,且这时速度为每秒2个单位
∴CD=2(8﹣6=4
∴AB=CD=4
当t=6时(点P运动到点C,S△ABP=16
∴AB•BC=16
∴×4×BC=16
∴BC=8
∴长方形的长为8,宽为4.
(2当t=a时,S△ABP=8=×16即点P此时在BC的中点处
∴PC=
BC=×8=4
∴2(6﹣a=4
∴a=4
∵BP=PC=4
∴m=BP÷a=4÷4=1,
当t=b时,S△ABP=AB•AP=4
∴×4×AP=4,AP=2
∴b=13﹣2=11;
课程小结
本节重点讲解常考题型即一次函数动点类综合题,着重讲解几何中解决动点问题的思路,讲解过程中需让学生学会如何运用数形结合思想解决问题,学会动中求静。
课后作业
【基础】
1.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,点M从点A开始,沿边AD向点D运动,速度为1cm/s;点N从点C开始,沿边CB向点B运动,速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形?
(2当t为何值时,四边形MNCD是等腰梯形?
【答案】(1t=5时,四边形MNCD是平行四边形
(2t=9时,四边形MNCD是等腰梯形
【解析】
(1∵MD∥NC,当MD=NC,即15-t=2t,t=5时,四边形MNCD是平行四边形;
(2作DE⊥BC,垂足为E,则CE=21-15=6,当CN-MD=12时,即2t-(15-t=12,t=9时,四边形MNCD是等腰梯形
【巩固】
2.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上
运动时,保持AM和MN垂直,设BMx,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函
数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积D
MAB
C
N
解析:
RtRtABMMCN△∽△,
44ABBMxMCCNxCN∴=∴=-,,
244xxCN-+∴=,
(222141144282102422ABCNxxySxxx⎛⎫-+∴==+=-++=--+⎪⎝⎭梯形·,
当2x=时,y取最大值,最大值为10.
拔高:
3.如图,已知ABC△中,10ABAC==厘米,8BC=厘米,点D为AB的中点.
(1如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,BPD△与CQP△是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使BPD△与CQP△全等?
(2若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿ABC△三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇?
解:
(1①∵1t=秒,∴313BPCQ==⨯=厘米,
∵10AB=厘米,点D为AB的中点,∴5BD=厘米.
个性化学案又∵PC=BC-BP,BC=8厘米,∴PC=8-3=5厘米,∴PC=BD.又∵AB=AC,∴ÐB=ÐC,∴△BPD≌△CQP.②∵vP¹vQ,∴BP¹CQ,又∵△BPD≌△CQP,ÐB=ÐC,则BP=PC=4,CQ=BD=5,∴点P,点Q运动的时间t=BP4=33秒,∴vQ=CQ515==44t3厘米/秒。
8015x=x=3x+2´103
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意,得4,解得秒.80´3=80∴点P共运动了3厘米.∵80=2´28+24,∴点P、点Q在AB边上相遇,80∴经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.
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