高中数学常用做题思路与结论山东新课标理科版.docx

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高中数学常用做题思路与结论山东新课标理科版

高中数学常用结论大总结

集合部分

1.德摩根公式

.

2.

3.若Ａ={

},则Ａ的子集有

个,真子集有（

－1）个,非空真子集有（

－2）个

函数部分

4.二次函数的解析式的三种形式①一般式

；

②顶点式

；

③零点式

.

三次函数的解析式的两种形式①一般式

；

②零点式

5.设

那么

上是增函数；

上是减函数.

设函数

在某个区间内可导，如果

，则

为增函数；如果

，则

为减函数.

6.函数

的图象的对称性：

①函数

的图象关于直线

对称

②函数

的图象关于直

对称

.

③函数

的图象关于点

对称

函数

的图象关于点

对称

7.两个函数图象的对称性:

①函数

与函数

的图象关于直线

（即

轴）对称.

②函数

与函数

的图象关于直线

对称.

特殊地：

与函数

的图象关于直线

对称

③函数

的图象关于直线

对称的解析式为

④函数

的图象关于点

对称的解析式为

⑤函数

和

的图象关于直线

对称.

对数与指数部分

8.分数指数幂

（

，且

）.

（

，且

）.

9.

.

10.对数的换底公式

.推论

.

对数恒等式

（

）

数列部分

11.数列

的通项

与其前

项的和

之间的关系：

（数列

的前

项的和为

）.

12.等差数列

的通项公式

；

13.等差数列

的变通项公式

对于等差数列

，若

，（

为正整数）

则

.

14.若数列

是等差数列，

是其前

项的和，

，那么

，

，

成等差数列。

如下图所示：

其前

项和公式

.

15.数列

是等差数列

数列

是等差数列

=

16．设数列

是等差数列，

是奇数项的和，

是偶数项的和，

是前

项的和，则有如下性质：

前n项的和

当n为偶数时，

，其中d为公差；

当n为奇数时，则

，

，

，

，

（其中

是等差数列的中间一项）.

17．若等差数列

的前

项的和为

，等差数列

的前

项的和为

，则

.

18.等比数列

的通项公式

；

等比数列

的变通项公式

其前n项的和公式

或

.

19.对于等比数列

，若

（n,m,u,v为正整数），则

也就是：

。

如图所示：

20.数列

是等比数列，

是其前n项的和，

，那么

，

，

成等比数列。

如下图所示：

三角函数部分

21.同角三角函数的基本关系式

，

=

，

.

22.正弦、余弦的诱导公式

；

即：

奇变偶不变,符号看象限,如

23.和角与差角公式

；

；

.

（平方正弦公式）；

.

=

（辅助角

所在象限由点

的象限决定,

）.

24.二倍角公式

.

.（升幂公式）

（降幂公式）

.

25.万能公式:

*

26.半角公式:

27.三函数的周期公式

函数

，x∈R及函数

，x∈R（A,ω,

为常数，且A≠0，ω＞0）的周期

；若ω未说明大于0,则

函数

，

（A,ω,

为常数，且A≠0，ω＞0）的周期

.

28.

的单调递增区间为

单调递减区间为

，对称轴为

对称中心为

29.

的单调递增区间为

单调递减区间为

，

对称轴为

对称中心为

30.

的单调递增区间为

，对称中心为

31.正弦定理 

32.余弦定理

；

；

.

33.面积定理

（1）

（

分别表示a、b、c边上的高）.

（2）

.

34.三角形内角和定理在△ABC中，有

.

平面向量部分

35.平面两点间的距离公式

=

（A

，B

）.

36.向量的平行与垂直设a=

b=

，且b

0，则

a∥b

b=λa

.

a

b（a

0）

a·b=0

.

37.若

则A,B,C共线的充要条件是x+y=1

38.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为

、

、

则△ABC的重心的坐标是

.

不等式部分

41.常用不等式：

（1）

（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（2）

（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（3）

（4）

注意等号成立的条件

（5）

（6）

，等号当且仅当

时成立

42.最值定理已知

都是正数，则有

（1）如果积

是定值

，那么当

时和

有最小值

；

（2）如果和

是定值

，那么当

时积

有最大值

.

43.一元二次不等式

，如果

与

同号，则其解集在两根之外；如果

与

异号，则其解集在两根之间.简言之：

同号两根之外，异号两根之间.

；

.

44.含有绝对值的不等式当a>0时，有

.

或

.

45.无理不等式

（1）

（2）

.

（3）

.*

46.指数不等式与对数不等式

（1）当

时,

；

.

（2）当

时,

；

解析几何部分

47.斜率公式

（

、

）

直线的方向向量v=（a,b）,则直线的斜率为

=

48.直线方程的五种形式:

（1）点斜式

（直线

过点

，且斜率为

）．

（2）斜截式

（b为直线

在y轴上的截距）.

（3）两点式

（

）（

、

（

））.

（4）截距式

（5）一般式

（其中A、B不同时为0）.

49.两条直线的平行和垂直

（1）若

，

①

;②

.

（2）若

①

；②

；

50.夹角公式

.（

，

）

（

）.

直线

时，直线l1与l2的夹角是

.

直线l1到l2的角是

（

，

）

51.点到直线的距离

（点

直线

：

）.

52．两条平行线的间距离

（直线

：

）.

53.圆的四种方程

（1）圆的标准方程

.

（2）圆的一般方程

（

＞0）.

（3）圆的参数方程

.

（4）圆的直径式方程

（圆的直径的端点是

、

）.

54.圆中有关重要结论:

（1）若P（

）是圆

上的点,则过点P（

）的切线方程为

（2）若P（

）是圆

上的点,则过点P（

）的切线方程为

（3）若P（

）是圆

外一点,由P（

）向圆引两条切线,切点分别为A,B，则直线AB的方程为

（4）若P（

）是圆

外一点,由P（

）向圆引两条切线,切点分别为A,B则直线AB的方程为

55.椭圆

的参数方程是

.

56.椭圆

焦半径公式

，

.

椭圆

的准线方程为

椭圆

的准线方程为

57.椭圆

的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为

58.双曲线

的准线方程为

双曲线

的准线方程为

59.双曲线

的渐近线方程为

双曲线

的的渐近线方程为

60.抛物线

上的动点可设为P

或

P

，其中

.

61.P（

）是抛物线

上的一点,F是它的焦点,则|PF|=

+

62.抛物线

的焦点弦长

其中

是焦点弦与x轴的夹角

63.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

或

（弦端点A

，由方程

消去y得到

，

为直线的斜率）.

若（弦端点A

由方程

消去x得到

，

为直线的斜率）.则

64.圆锥曲线

关于点

成中心对称的曲线是

.

空间向量部分

65.共线向量定理对空间任意两个向量a、b（b≠0），a∥b

存在实数λ使a=λb．

66.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足

，

则四点P、A、B、C是共面

．

67.空间两个向量的夹角公式cos〈a，b〉=

（a＝

，b＝

）.

68.直线

与平面所成角

（

为平面

的法向量）.

69.二面角

的平面角

或

（

，

为平面

，

的法向量）.

71.空间两点间的距离公式若A

，B

，则

=

.

72.异面直线间的距离

（

是两异面直线，其公垂向量为

，

分别是

上任一点，

为

间的距离）.

73.点

到平面

的距离

（

为平面

的法向量，

是经过面

的一条斜线，

）.

立体几何部分

74.面积射影定理

（平面多边形及其射影的面积分别是

、

，它们所在平面所成锐二面角的为

）.

75.球的半径是R，则其体积是

其表面积是

．

76.判定两线平行的方法：

（1）平行于同一直线的两条直线互相平行

（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（5）在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明

77.判定线面平行的方法：

（1）据定义：

如果一条直线和一个平面没有公共点

（2）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（3）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（4）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面（5）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

78.判定面面平行的方法：

（1）定义：

没有公共点

（2）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（3）垂直于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一平面的两个平面平行

79.面面平行的性质：

（1）两平行平面没有公共点

（2）两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面（3）两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行（4）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

80.判定两线垂直的方法：

（1）定义：

成

角

（2）直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直（3）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（4）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直（5）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直

81.判定线面垂直的方法：

（1）定义：

如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直

（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（5）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面

（6）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面

82.判定面面垂直的方法：

（1）定义：

两面成直二面角,则两面垂直

（2）一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面

83.面面垂直的性质：

（1）二面角的平面角为

（2）在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面（3）相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

排列组合、二项式定理部分

84.分类计数原理（加法原理）

；分步计数原理（乘法原理）

.

85.排列数公式

=

=

.（

，

∈N*，且

）．