离散数学考试模拟试题及详细参考答案共四套.docx

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离散数学考试模拟试题及详细参考答案共四套

nN

离散模拟答案1

1命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）

1.用命题逻辑把下列命题符号化

a）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b）我今天进城，除非下雨。

c）仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化

a）有些实数不是有理数

b）对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c）f是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f（a）=b.

一、简答题（共6道题，共32分）

1.求命题公式（P→（Q→R））（R→（Q→P））的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）

2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）

a）xy（x+y=4）

a）yx（x+y=4）

3.求x（F（x）→G（x））→（xF（x）→xG（x））的前束范式。

（4分）

4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）

a）（AB）－C=（A-B）（A-C）

b）若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|

5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）

a）A上有多少种不同的等价关系？

b）从A到A的不同双射函数有多少个？

6.设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，（5分）

fg

de

bc

a

图1

7.已知有限集S={a

1

a

2

…,a

n

},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数

S;P（S）;N,N;P（N）;R,R×R,{o,1}（写出即可）（6分）

二、证明题（共3小题，共计40分）

1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a）A→（B∧C）,（E→F）→C,B→（A∧S）B→E

b）x（P（x）→Q（x））,x（Q（x）∨R（x）），xR（x）xP（x）

2.设R1

是A上的等价关系，R2

是B上的等价关系，A≠且B≠，关系R满足：

<

y

1

>,

y

2

>>∈R，当且仅当

1

x

2

>∈R1

且

1

y

2

>∈R2

。

试证明：

R是A×B上的

等价关系。

（10分）

3.用伯恩斯坦定理证明（0,1]和（a,b）等势。

（10分）

2

4.设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：

rs≥n。

（10分）

三、应用题（10分）

在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。

城市之间的直接连接的道路是单向的，有a→b,a→c,b→g,g→b,c→f,f→e,b→d,d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。

离散数学考试题答案

一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）

1.用命题逻辑把下列命题符号化

a）设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：

（P⇄Q）（P⇄RS）

b）

c）

2.

a）

b）

设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：

Q→P或P→Q设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：

Q→P

用谓词逻辑把下列命题符号化

设R（x）表示“x是实数”，Q（x）表示“x是有理数”，命题符号化为：

x（R（x）Q（x））或x（R（x）→Q（x））

设R（x）表示“x是实数”，E（x,y）表示“x=y”,f（x,y）=xy,命题符号化为：

x（R（x）E（x,0）→y（R（y）E（f（x,y）,1））））

c）设F（f）表示“f是从A到B的函数”,A（x）表示“x∈A”,B（x）表示“x∈B”,E（x,y）表示“x=y”,命题符号化为：

F（f）⇄a（A（a）→b（B（b）E（f（a）,b）c（S（c）E（f（a）,c）→E（a,b））））

二、简答题（共6道题，共32分）

1.（P→（Q→R））（R→（Q→P））（PQR）（PQR）

（（PQR）→（PQR））（（PQR）→（PQR））.

（（PQR）（PQR））（（PQR）（PQR））

（PQR）（PQR）这是主合取范式

公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为

（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR2.a）Tb）F

3.x（F（x）→G（x））→（xF（x）→xG（x））x（F（x）→G（x））→（yF（y）→zG（z））

x（F（x）→G（x））→yz（F（y）→G（z））xyz（（F（x）→G（x））→（F（y）→G（z）））4.a）真命题。

因为（AB）－C=（AB）~C=（A~C）（B~C）=（A-C）（B-

C）

b）真命题。

因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfB,故命题成立。

5.a）52b）5!

=120

6.B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.

7.K[S]=n;K[P（S）]=2;K[N]=

0

K[N]=

0

K[P（N）]=;K[R]=,K=[R×R]=

N

x

K[{0,1}]=

三、证明题（共3小题，共计40分）

1.a）证

（1）BP（附加条件）

（2）B→（A∧S）P

（3）A∧ST

（1）

（2）I（4）AT（3）I（5）A→（B∧C）P

（6）B∧CT（4）（5）I（7）CT（6）I（8）（E→F）→CP

（9）（E→F）T（7）（8）I（10）E∧FT（9）E（11）ET（10）I（12）B→ECP

b）证

（1）xR（x）P

（2）R（c）ES

（1）

（3）x（Q（x）∨R（x））P

（4）Q（c）∨R（c）US（3）

（5）Q（c）T

（2）（4）I（6）x（P（x）→Q（x））P

（7）P（c）→Q（c）US（6）

（8）P（c）T（5）（7）I（9）xP（x）EG（8）

2.证任取,

∈A×Bx∈Ay∈B∈R1

∈R2

<,>∈R，故R是自反的

任取<,>,

<,>∈R∈R1∈R2∈R1∈R2<,>∈R.故R是对称的。

任取<,>,<,>∈R

<,>,<,>∈R∈R1

∈R2

∈R1

∈R2

（

∈R1

∈R1

）（∈R2

∈R2

）R1

∈R2

<,>∈R,故R

是传递的。

综上所述R是A×B上的等价关系。

3.证构造函数f：

（0,1]→（a,b），f（x）=

ab

22

显然f是入射函数

构造函数g:

（a,b）→（0,1]，g（x）故（0,1]和（a,b）等势。

xa

ba

显然g是入射函数，

由于

m1m2r

m

2

r

m1m2r

m

r

2

，所以

rr

2

2

4.证

设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2

…,mr

，由于一个划分对应一个

等价关系，m1

+m2

+…+mr

=n，m1m2

mrs

由于

22

12

r

m

2

r

m1

m

2

r

m

r

2

（r个数的平方的平均值大于等于

这r个数的平均值的平方），所以

sn

rr

2

2

，即rsn

2

四、应用题（10分）

解把8个城市作为集合A的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A上定义二元关系R，∈R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即R={,,,,,,,}那么该问题即变为求R的传递闭包。

利用Warshal算法，求得t（R）=

0

0

0

0

0

0

0

0

11111100011110000110000011000000000000100010111100000000

那么从城市x出发能到达的城市为（t（R）I

A

）[{x}]{y|x,yt（R）xy}，

故有（t（R）I

A

）[{a}]{b,c,d,e,f,g}

（t（R）I

（t（R）I

（t（R）I

（t（R）I

（t（R）I

A

A

A

A

A

）[{b}]{d,e,f,g}）[{c}]{e,f}

）[{d}]{e,f}

）[{f}]{e}

）[{g}]{b,d,e,f}

（t（R）I

A

）[{e}]（t（R）I

A

）[{e}]

离散考试模拟试题及答案2

一、填空题

1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________;（B）＝__________________________.

（A）-

2

2.设有限集合A,|A|=n,则|（A×A）|=__________________________.

3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是_______________________________________,其中双射的是__________________________.

4.

已知命题公式

G＝（PQ）∧R，则

G的主析取范式是

_______________________________

__________________________________________________________.

5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.

6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝_________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________.

7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是

______________________,________________________,

_______________________________.

8.设命题公式G＝（P（QR）），则使公式G为真的解释有

__________________________，_____________________________,

__________________________.

9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1

={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R1

={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则

R1R2=________________________,R2R1=____________________________,

R1=________________________.

10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||（AB）|=_____________________________.

11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,xR},B={x|0≤x<2,xR},则A-B=__________________________,B-A=__________________________,

A∩B=__________________________,.

13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除，则R以集合形式（列举法）记为__________________________________________________________________.

14.设一阶逻辑公式G=xP（x）xQ（x），则G的前束范式是_______________________________.

13.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。

13.设谓词的定义域为{a,b},将表达式xR（x）→xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公

式是__________________________________________________________________________.

2

17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。

则RS＝_____________________________________________________,

R＝______________________________________________________.

二、选择题

1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（）。

（A）{2}A（B）{a}A（C）{{a}}BE（D）{{a},1,3,4}B.

2

3

设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（）.（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性

设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的

（）。

（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对4下列语句中，（）是命题。

（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人

（C）x+5>6（D）下午有会吗？

6

5

34

2

5设I是如下一个解释：

D＝{a,b},

P（a,a）P（a,b）P（b,a）P（b,b）1010

1

则在解释I下取真值为1的公式是（）.

（A）xyP（x,y）（B）xyP（x,y）（C）xP（x,x）（D）xyP（x,y）.

6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（）.（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.

7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝xP（x）,H＝xP（x）,则一阶逻辑公式GH是（）.

（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式.

8设命题公式G＝（PQ），H＝P（QP），则G与H的关系是（）。

（A）GH（B）HG（C）G＝H（D）以上都不是.

9设A,B为集合，当（）时A－B＝B.

（A）A＝B（B）AB（C）BA（D）A＝B＝.

10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（）。

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对

11

下列关于集合的表示中正确的为（）。

（A）{a}{a,b,c}（B）{a}{a,b,c}（C）{a,b,c}（D）{a,b}{a,b,c}

12命题xG（x）取真值1的充分必要条件是（）.

（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x

0

，使G（x

0

）取真值1.

（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.

13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（）.（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.

14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树.（A）6（B）5（C）10（D）4.

15.设图G的相邻矩阵为

0

1

1

1

1

11110100101101010110

，则G的顶点数与边数分别为（）.

－1－1－1

（A）4,5（B）5,6（C）4,10（D）5,8.

三、计算证明题

1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。

2.

3.

4.

设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,yA且xy},求

（1）画出R的关系图；

（2）写出R的关系矩阵.

设R是实数集合，,,是R上的三个映射，（x）=x+3,（x）=2x,（x）＝x/4,试求复合映射•，•,•,•，••.

设I是如下一个解释：

D={2,3},

abf

（2）f（3）P（2,2）P（2,3）P（3,2）P（3,3）32320011

试求

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;

（2）xyP（y,x）.

5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

6.设命题公式G=（P→Q）∨（Q∧（P→R））,求G的主析取范式。

7.（9分）设一阶逻辑公式：

G=（xP（x）∨yQ（y））→xR（x），把G化成前束范式.

9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},

（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；

（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.

11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：

（1）G=（P∧Q）∨（P∧Q∧R）

（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（P∧R））

13.设R和S是集合A＝{a,b,c,d}上的关系，其中R＝{（a,a）,（a,c）,（b,c）,（c,d）},S＝{（a,b）,（b,c）,（b,d）,（d,d）}.

（1）试写出R和S的关系矩阵；

（2）计算R•S,R∪S,R,S•R.

四、证明题

1.利用形式演绎法证明：

{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。

2.设A,B为任意集合，证明：

（A-B）-C=A-（B∪C）.

3.（本题10分）利用形式演绎法证明：

{A∨B,C→B,C→D}蕴涵A→D。

mn

4.（本题10分）A,B为两个任意集合，求证：

A－（A∩B）=（A∪B）－B.

参考答案

一、填空题

1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2.

2.

3.1

={（a,1）,（b,1）},2

={（a,2）,（b,2）},3

={（a,1）,（b,2）},4

={（a,2）,（b,1）};3

4

.

4.（P∧Q∧R）.

5.12,3.

6.{4},{1,2,3,4},{1,2