中考数学二轮复习阅读理解题综合练习 有答案.docx
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中考数学二轮复习阅读理解题综合练习有答案
2019年中考数学二轮复习
阅读理解题
综合练习
1.阅读理解题:
定义:
如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.
例如计算:
(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i;
(1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i;
根据以上信息,完成下列问题:
(1)填空:
i3=________,i4=________;
(2)计算:
(1+i)×(3-4i);
(3)计算:
i+i2+i3+…+i2017.
2.(2018·湖南张家界中考)阅读理解题
在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离公式为:
d=,
例如,求点P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离.
解:
由直线4x+3y-3=0知:
A=4,B=3,C=-3,
所以P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离为:
d==2.
根据以上材料,解决下列问题:
(1)求点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的距离;
(2)若点P2(1,0)到直线x+y+C=0的距离为,求实数C的值.
3.(2018·浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在如图1所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为,此时正方形EFGH的面积为5.问:
当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值中不包括5是哪些?
4.(2018·山东济宁中考)知识背景
当a>0且x>0时,因为(-)2≥0,所以x-2+≥0,从而x+≥2(当x=时取等号).
设函数y=x+(a>0,x>0),由上述结论可知,当x=时,该函数有最小值为2.
应用举例
已知函数y1=x(x>0)与函数y2=(x>0),则当x==2时,y1+y2=x+有最小值为2=4.
解决问题
(1)已知函数y1=x+3(x>-3)与函数y2=(x+3)2+9(x>-3),当x取何值时,有最小值?
最小值是多少?
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:
一是设备的安装调试费用,共490元;二是设备的租赁使用费用,每天200元;三是设备的折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租赁使用成本最低?
最低是多少元?
5.如图①,△ABC和△DEF中,AB=AC,DE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:
=;
(2)由
(1)中的结论可知,等腰三角形ABC中,当顶角∠A的大小确定时,它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也就确定,我们把这个比值记作T(A),即T(A)==.如T(60°)=1.
①理解巩固:
T(90°)=________,T(120°)=________,若α是等腰三角形的顶角,则T(α)的取值范围是________;
②学以致用:
如图②,圆锥的母线长为9,底面直径PQ=8,一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1).
(参考数据:
T(160°)≈1.97,T(80°)≈1.29,T(40°)≈0.68)
6.定义一种对正整数n的运算“F”:
(1)当n为奇数时,结果为3n+5;
(2)当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算可以重复进行.例如n=26时,则―→…
那么,当n=1796时,第2010次“F”运算的结果是多少?
7.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;
(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:
△ABC是比例三角形.
(3)如图2,在
(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.
图1 图2
8.
(1)如图①,已知△ABC,以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD,请你完成图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),并证明:
BE=CD;
(2)如图②,已知△ABC,以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE、CD,猜想BE与CD有什么数量关系?
并说明理由;
(3)运用
(1),
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图③,要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长(结果保留根号).
9.(2018·山东淄博中考)
(1)操作发现:
如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN.小明发现了:
线段GM与GN的数量关系是________________;位置关系是________________.
(2)类比思考:
如图2,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?
请说明理由.
(3)深入研究:
如图3,小明在
(2)的基础上,又作了进一步探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.
10.我们定义:
如图①,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′,连接B′C′.当α+β=180°时,我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知
(1)在图②,图③中,△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图②,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=____BC;
②如图③,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为________.
猜想论证
(2)在图①中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用
(3)如图④,在四边形ABCD中,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?
若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
11.问题:
如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图①证明上述结论.
【类比引申】
如图②,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时,仍有EF=BE+FD.
【探究应用】
如图③,在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=40(-1)米,现要在E、F之间修一条笔直的道路,求这条道路EF的长.(结果取整数,参考数据:
≈1.41,≈1.73)
12.问题背景:
如图1,△ABC为等边三角形,作AD⊥BC于点D,将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后,BA,BC边与射线AD分别交于点E,F,求证:
△BEF为等边三角形.
迁移应用:
如图2,△ABC为等边三角形,点P是△ABC外一点,∠BPC=60°,将∠BPC绕点P逆时针旋转60°后,PC边恰好经过点A,探究PA,PB,PC之间存在的数量关系,并证明你的结论;
拓展延伸:
如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将∠ABC绕点B顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN,F是BM上一点,连结AF,DF,DF交BN于点E,若B,E两点恰好关于直线AF对称.
(1)证明△BEF是等边三角形;
(2)若DE=6,BE=2,求AF的长.
13.类比等腰三角形的定义,我们定义:
有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
(1)如图①,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件;
(2)小红猜想:
对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形,她的猜想正确吗?
请说明理由;
(3)如图②,小红作了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′,连接AA′,BC′.小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段BB′的长)?
14.理解:
数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路:
思路一 如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.
图①
设AC=1,则BD=BA=2,BC=.
tanD=tan15°=
==2-.
思路二 利用科普书上的和(差)角正切公式:
tan(α±β)=.
假设α=60°,β=45°代入差角正切公式:
tan15°=tan(60°-45°)===2-.
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题(上述思路仅供参考).
(1)类比:
求出tan75°的值;
(2)应用:
如图②,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,则得A、C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°,求这座电视塔CD的高度;
(3)拓展:
如图③,直线y=x-1与双曲线y=交于A、B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交?
若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.
图②
图③
备用图
15.(2018·贵州贵阳中考)如图1,在Rt△ABC中,以下是小亮探究与之间关系的方法:
∵sinA=,sinB=,
∴c=,c=,
∴=.
根据你掌握的三角函数知识.在图2的锐角△ABC中,探究,,之间的关系,并写出探究过程.
图1 图2
16.请你阅读引例及其分析解答,希望能给你以启示,然后完成对探究一和探究二的解答.
引例:
设a,b,c为非负实数,求证:
++≥(a+b+c),
分析:
考虑不等式中各式的几何意义,我们可以试构造一个边长为a+b+c的正方形来研究.
解:
如图①,设正方形的边长为a+b+c,
则AB=,BC=,CD=,
显然AB+BC+CD≥AD,
∴++≥(a+b+c).
探究一:
已知两个正数x,y,满足x+y=12,求+的最小值(图②仅供参考);
探究二:
若a,b为正数,求以,,为边的三角形的面积.
17.【操作发现】在计算器上输入一个正数,不断地按“”键求算术平方根,运算结果越来越接近1或都等于1.
【提出问题】输入一个实数,不断地进行“乘以常数k,再加上常数b”的运算,有什么规律?
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程:
也可用图象描述:
如图①,在x轴上表示出x1,先在直线y=kx+b上确定点(x1,y1),再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点(x2,y1),然后在x轴上确定对应的数x2,…,依次类推.
【解决问题】研究输入实数x1时,随着运算次数n的不断增加,运算结果xn怎样变化.
(1)若k=2,b=-4,得到什么结论?
可以输入特殊的数如3,4,5进行观察研究;
(2)若k>1,又得到什么结论?
请说明理由;
(3)①若k=-,b=2,已在x轴上表示出x1(如图②所示),请在x轴上表示x2,x3,x4,并写出研究结论;
②若输入实数x1时,运算结果xn互不相等,且越来越接近常数m,直接写出k的取值范围及m的值(用含k,b的代数式表示).
18.(2018·山西中考)综合与实践
问题情境:
在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:
如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连结DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连结AM.试判断线段AM与DE的位置关系.
探究展示:
勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:
证明:
∵BE=AB,∴AE=2AB.
∵AD=2AB,∴AD=AE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴=.(依据1)
∵BE=AB,∴=1.∴EM=DM.
即AM是△ADE的DE边上的中线,
又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)
∴AM垂直平分DE.
反思交流:
(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;
(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连结CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;
探索发现:
(3)如图3,连结CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.
19.问题提出
(1)如图①,已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?
若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,EF=FG=米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件.试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?
若能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;若不能,请说明理由.
参考答案
1.解:
(1)-i;1;
【解法提示】∵i2=-1,
∴i3=i2·i=-i,i4=i2·i2=1.
(2)原式=3-4i+3i-4i2
=3-i+4
=7-i;
(3)根据题意可得i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i,i6=-1,…,i2016=1,i2017=i,
∵i+i2+i3+i4=0,且2016÷4=504,
∴i+i2+i3+i4+…+i2017=i.
2.解:
(1)d==1.
(2)=,∴|C+1|=2,
∴C+1=±2,∴C1=-3,C2=1.
3.解:
当DG=,CG=2时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=,可得正方形EFGH的面积为13.
当DG=8,CG=1时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=7,可得正方形EFGH的面积为49.
当DG=7,CG=4时,此时HG=3,四边形EFGH的面积为9.故答案为9,13和49.
4.解:
(1)==(x+3)+,
∴当x+3=时,有最小值,
∴x=0或-6(舍弃)时,有最小值6.
(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w元,
则w=
=+0.001x+200,
∴当=0.001x时,w有最小值,
∴x=700或-700(舍弃)时,w有最小值,最小值为201.4元.
5.
(1)证明:
∵AB=AC,DE=DF,
∴=,
又∵∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF,
∴=,
∴=.
(2)解:
①,,0 【解法提示】①如解图①,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=∠C=45°, ∴设AB=AC=x,由勾股定理得BC=x, ∴T(90°)===; 图① 图② 如解图②,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC, 过点A作AD⊥BC, ∴∠BAD=60°,BD=BC, 设AD=y,在Rt△ABD中,∠BAD=60°, ∴BD=AD·tan60°=y,AB=2AD=2y, ∴BC=2BD=2y, ∴T(120°)==; ∵∠A<180°,当∠A=180°时, 此时AB=AC=BC即T(A)===2, ∵要构成三角形, ∴T(A)<2, ∵T(A)>0, ∴0 图③ ②如解图③,设圆锥的底面半径为r,母线长为l, ∵圆锥的底面圆周长=圆锥展开图扇形的弧长, 即2πr=, ∴=, ∵r=4,l=9, ∴n=160. ∵T(80°)≈1.29, ∴蚂蚁爬行的最短距离=T(80°)×l≈1.29×9≈11.6. 6.解: 根据题意得,当n=1796时, 第一次运算,=449; 第二次运算,3n+5=3×449+5=1352; 第三次运算,=169; 第四次运算,3×169+5=512; 第五次运算,=1; 第六次运算,3×1+5=8; 第七次运算,=1; 可以看出: 从第五次开始,结果就只是1,8两个数轮流出现,且当次为偶数时,结果是8,次数是奇数时,结果是1,而2010是偶数,因此最后结果是8. 7.解: (1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2,BC=3, ①当AB2=BC·AC时,得4=3AC,解得AC=; ②当BC2=AB·AC时,得9=2AC,解得AC=; ③当AC2=AB·BC时,得AC2=6,解得AC=(负值舍去), ∴当AC=或或时,△ABC是比例三角形. (2)∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD. 又∵∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA, ∴=,即CA2=BC·AD. ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD, ∴CA2=BC·AB, ∴△ABC是比例三角形. (3)如图,过点A作AH⊥BD于点H. ∵AB=AD,∴BH=BD. ∵AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠BCD=90°, ∴∠BHA=∠BCD=90°. 又∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC, ∴=,即AB·BC=BH·DB, ∴AB·BC=BD2. 又∵AB·BC=AC2, ∴BD2=AC2,∴=. 8.解: (1)作图如解图①, 图① 证明: ∵△ABD和△ACE为等边三角形, 则AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°, 又∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC=∠BAE, ∴△DAC≌△BAE(SAS), ∴BE=CD. (2)BE=CD. 理由如下: ∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形, ∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°, 又∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC=∠BAE, ∴△DAC≌△BAE(SAS), ∴BE=CD. (3)如解图②,以AB为边,作等腰直角三角形ABD,∠BAD=90°, 图② 则AD=AB=100米,∠ABD=45°, ∴BD=100米, 连接CD,则由 (2)可得,BE=CD, ∵∠ABC=45°, ∴∠DBC=90°, 在Rt△DBC中,BC=100米,BD=100米, 由勾股定理得CD==100米, 则BE=CD=100米. 9.解: (1)MG=NG MG⊥NG 如图,连结BE,CD相交于H. ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形, ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠BAE, ∴△ACD≌△AEB(SAS), ∴CD=BE,∠ADC=∠ABE, ∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°, ∴∠BHD=90°,∴CD⊥BE. ∵点M,G分别是BD,BC的中点, ∴MG綊CD.同理NG綊BE, ∴MG=NG,MG⊥NG,∴MG=NG,MG⊥NG. (2)连结CD,BE相交于点H,同 (1)的方法得MG=NG,MG⊥NG. (3)如图,连结EB,DC,延长线相交于H, 同 (1)的方法得MG=NG, 同 (1)的方法得△ABE≌△ADC, ∴∠AEB=∠ACD, ∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°, ∴∠DHE=90°, 同 (1)的方法得MG⊥NG, ∴△GMN是等腰直角三角形. 10.解: (1)①,②4; 【解法提示】①如解图①中, 图① ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=AB′=AC′, ∵DB′=DC′, ∴AD⊥B′C′, ∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°, ∴∠B′AC′=120°, ∴∠B′=∠C′=30°, ∴AD=AB′=BC. ②如解图②中, 图② ∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°, ∴∠B′AC′=∠BAC=90°, ∵AB=AB′,AC=AC′, ∴△BAC≌△B′AC′, ∴BC=B′C′, ∵B′D=DC′, ∴AD=B′C′=BC=4; (2)猜想: AD=BC. 理由: 如解图③中,延长AD到M,使得AD=DM,连接B′M,C′M, 图③ ∵B′D=DC′,AD=DM, ∴四边形AC′MB′是平行四边形, ∴AC′=B′M=AC, ∵∠BAC+∠B′AC′=180°,∠B′AC′+∠AB′M=180°, ∴∠BAC=∠MB′A, ∵AB=AB′, ∴△BAC≌△AB′M, ∴BC=AM, ∴AD=BC; (3)存在. 理由: 如解图④中,延长AD交BC的延长线于M,作BE⊥AD于E,作线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接PA、PD、PC,作△PCD的中线PN,连接DF交PC于O, 图④ ∵∠ADC=150°, ∴∠MDC=30°, ∴在Rt△DCM中, ∵CD=2,∠DCM=90°,∠MDC=30°, ∴CM=2,DM=4,∠M=60°, 在Rt△BEM中, ∵∠BEM=90°,BM=BC+CM=14,∠MBE=30°, ∴EM=BM=7, ∴DE=EM-DM=3, ∵AD=6, ∴AE=DE, ∵BE⊥AD, ∴PA=PD,PB=PC, 在Rt△CDF中, ∵CD=2,CF=6, ∴∠CDF=∠CPE=60°, 易证△FCP≌△CFD, ∴CD=PF,∵CD∥PF, ∴四边形CDPF是矩形, ∴∠CDP=90°, ∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°, ∴△ADP是等边三角形, ∴∠APD=60°, ∵∠BPF=∠CPF=60°, ∴∠BPC=120°, ∴∠APD+∠BPC=
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