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第六章4生活中的圆周运动
第六章4生活中的圆周运动
问题?
在铁路弯道处,稍微留意一下,就能发现内、外轨道的高度略有不同。
你能解释其中的原因吗?
圆周运动是一种常见的运动形式,在生活中有着广泛的应用。
火车转弯
火车转弯时实际是在做圆周运动,因而具有向心加速度。
是什么力使它产生向心加速度?
与汽车轮胎不同的是,火车的车轮上有突出的轮缘(图6.4-1)。
如果铁路弯道的内外轨一样高,火车转弯时,外侧车轮的轮缘挤压外轨,使外轨发生弹性形变,外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源(图6.4-2)。
但是,火车质量太大,靠这种办法得到向心力,将会使轮缘与外轨间的相互作用力过大,不仅铁轨和车轮极易受损,还可能使火车侧翻。
如果在弯道处使外轨略高于内轨(图6.4-3),火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的,而是斜向弯道的内侧,它与重力G的合力指向圆心,为火车转弯提供了一部分向心力。
这就减轻了轮缘与外轨间的挤压。
在修筑铁路时,要根据弯道的半径和规定的行驶速度,适当选择内外轨的高度差,使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供。
从这个例子我们再一次看出,向心力是按效果命名的力,任何一个力或几个力的合力,只要它的作用效果是使物体产生向心加速度,它就是物体的向心力。
如果认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用,还要再受一个向心力,那就不对了。
思考与讨论
高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道,路面往往有一定的倾斜度。
说说这样设计的原因。
汽车过拱形桥
汽车过拱形桥时的运动也可以看作圆周运动。
质量为m的汽车在拱形桥上以速度v前进,设桥面的圆弧半径为r,我们来分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力。
选汽车为研究对象。
分析汽车所受的力(图6.4-4),如果知道了桥对汽车的支持力FN,桥所受的压力也就知道了。
汽车在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN,它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。
鉴于向心加速度的方向是竖直向下的,故合力为
F=G-FN
当汽车通过桥的最高点时,根据牛顿第二定律F=ma,有
F=m
所以
G-FN=m
由此解出桥对车的支持力
FN=G-m
汽车对桥的压力FN′与桥对汽车的支持力FN是一对作用力和反作用力,大小相等。
所以压力的大小为
FN′=G-m
由此可以看出,汽车对桥的压力FN′小于汽车所受的重力G,而且汽车的速度越大,汽车对桥的压力越小。
试分析,当汽车以越来越大的速度通过拱形桥的最高点时,会发生什么现象?
汽车在拱形桥上但不在最高点时,又该如何分析汽车所受的向心力?
公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面,也叫“过水路面”。
汽车通过凹形路面的最低点时(图6.4-5),车对地面的压力比汽车所受的重力大些还是小些?
同学们可以仿照上面的方法自己进行分析。
思考与讨论
地球可以看作一个巨大的拱形桥(图6.4-6),桥面的半径就是地球的半径R(约为6400km)。
地面上有一辆汽车在行驶,所受重力G=mg,地面对它的支持力是FN。
图6.4-6地球可以看作一个巨大的拱形桥
根据上面的分析,汽车速度越大,地面对它的支持力就越小。
会不会出现这样的情况:
速度大到一定程度时,地面对车的支持力是0?
这时驾驶员与座椅之间的压力是多少?
驾驶员躯体各部分之间的压力是多少?
他这时可能有什么感觉?
航天器中的失重现象
上面“思考与讨论”中描述的场景其实已经实现了,不过不是在汽车上,而是在航天器中。
我们以绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船为例做些说明。
当飞船距地面高度为100~200km时,它的轨道半径近似等于地球半径R,航天员受到的地球引力近似等于他在地面受到的重力mg。
有人把航天器失重的原因说成是它离地球太远,从而摆脱了地球引力,这是错误的。
正是由于地球引力的存在,才使航天器连同其中的乘员有可能做环绕地球的圆周运动。
除了地球引力外,航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力FN。
引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力,即
mg-FN=m
也就是
FN=m(g-
)
由此可以解出,当v=
时座舱对航天员的支持力FN=0,航天员处于完全失重状态。
这里的分析仅仅针对圆轨道而言。
其实任何关闭了发动机,又不受阻力的飞行器的内部,都是一个完全失重的环境。
例如向空中任何方向抛出的容器,其中的所有物体都处于完全失重状态。
离心运动
做圆周运动的物体,由于惯性,总有沿着切线方向飞出去的倾向。
但是物体没有飞出去,这是因为向心力在拉着它,使它与圆心的距离保持不变。
一旦向心力突然消失,物体就会沿切线方向飞出去。
除了向心力突然消失这种情况外,在合力不足以提供所需的向心力时,物体虽然不会沿切线飞去,也会逐渐远离圆心(图6.4-7)。
这里描述的运动叫作离心运动。
离心运动有很多应用。
例如,洗衣机脱水时利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉;纺织厂也用这样的方法使棉纱、毛线、纺织品干燥。
在炼钢厂中,把熔化的钢水浇入圆柱形模子,模子沿圆柱的中心轴线高速旋转,钢水由于离心运动趋于周壁,冷却后就形成无缝钢管。
水泥管道和水泥电线杆的制造也可以采用这种离心制管技术。
借助离心机,医务人员可以从血液中分离出血浆和红细胞(图6.4-8)。
图6.4-8医务人员用离心机分离血液
离心运动有时也会带来危害。
在水平公路上行驶的汽车,如果转弯时速度过大,所需向心力F很大,大于最大静摩擦力Fmax,汽车将做离心运动而造成事故(图6.4-9)。
因此,在公路弯道,车辆不允许超过规定的速度。
高速转动的砂轮、飞轮等,都不得超过允许的最大转速。
转速过高时,砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需向心力,离心运动会使它们破裂,酿成事故。
练习与应用
1.如果高速转动的飞轮的重心不在转轴上,运行将不稳定,而且轴承会受到很大的作用力,加速磨损。
图6.4-10中飞轮半径r=20cm,OO′为转动轴。
正常工作时转动轴受到的水平作用力可以认为是0。
假想在飞轮的边缘固定一个质量m=0.01kg的小螺丝钉P,当飞轮转速n=1000r/s时,转动轴OO′受到多大的力?
2.有一种叫“飞椅”的游乐项目(图6.4-11)。
长为L的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。
转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。
当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ。
不计钢绳的重力。
分析转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。
图6.4-11
3.质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶,轮胎与路面间的最大静摩擦力为1.4×104N。
汽车经过半径为50m的弯路时,如果车速达到72km/h,这辆车会不会发生侧滑?
4.有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。
(1)汽车到达桥顶时速度为5m/s,汽车对桥的压力是多大?
(2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空,对桥没有压力?
(3)汽车对地面的压力过小是不安全的。
从这个角度讲,汽车过桥时的速度不能过大。
对于同样的车速,拱桥圆弧的半径大些比较安全,还是小些比较安全?
(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样,汽车要在桥面上腾空,速度要多大?
5.质量为25kg的小孩坐在秋千上,小孩离系绳子的横梁2.5m。
秋千摆到最低点时,如果小孩运动速度的大小是5m/s,他对秋千的压力是多大?
复习与提高
A组
1.请根据加速度的特点,对以下七种运动进行分类,并画出分类的树状结构图:
匀速直线运动;匀变速直线运动;自由落体运动;抛体运动;平抛运动;匀速圆周运动;变速圆周运动。
2.图6-1是一皮带传动装置的示意图,右轮半径为r,A是它边缘上的一点。
左侧是一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r。
B点在小轮上,到小轮中心的距离为r。
C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。
如果传动过程中皮带不打滑,那么A、B、C、D点的线速度、角速度、向心加速度之比分别是多少?
3.在空间站中,宇航员长期处于失重状态。
为缓解这种状态带来的不适,科学家设想建造一种环形空间站,如图6-2所示。
圆环绕中心匀速旋转,宇航员站在旋转舱内的侧壁上,可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。
已知地球表面的重力加速度为g,圆环的半径为r,宇航员可视为质点,为达到目的,旋转舱绕其轴线匀速转动的角速度应为多大?
4.如图6-3所示,长L的轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B,放置在光滑水平桌面上,杆中心O有一竖直方向的固定转动轴,小球A、B的质量分别为3m、m。
当轻杆以角速度ω绕轴在水平桌面上转动时,求转轴受杆拉力的大小。
5.如图6-4所示,滚筒洗衣机脱水时,滚筒绕水平转动轴转动。
滚筒上有很多漏水孔,滚筒转动时,附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出,达到脱水的目的。
如果认为湿衣服在竖直平面内做匀速圆周运动,那么,湿衣服上的水是在最低点还是最高点时更容易甩出?
请说明道理。
6.波轮洗衣机中的脱水筒(图6-5)在脱水时,衣服紧贴在筒壁上做匀速圆周运动。
某洗衣机的有关规格如下表所示。
在运行脱水程序时,有一质量m=6g的硬币被甩到桶壁上,随桶壁一起做匀速圆周运动。
求桶壁对它的静摩擦力和弹力的大小。
在解答本题时可以选择表格中有用的数据。
重力加速度g取10m/s2。
型号
××
额定电压、频率
~220V、50Hz
额定脱水功率
225W
质量
31kg
脱水转速
600r/min
脱水筒尺寸
直径300mm,高370mm
外形尺寸
长555mm,宽510mm,高870mm
7.如图6-6所示,半径为R的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。
转台以一定角速度匀速转动,一质量为m的小物块落入陶罐内,经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,此时小物块受到的摩擦力恰好为0,且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°,重力加速度为g。
求转台转动的角速度。
B组
1.如图6-7所示,半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内,半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。
一小球从A点冲上竖直半圆环,沿轨道运动到B点飞出,最后落在水平地面上的C点(图上未画),g取10m/s2。
(1)能实现上述运动时,小球在B点的最小速度是多少?
(2)能实现上述运动时,A、C间的最小距离是多少?
2.如图6-8所示,做匀速圆周运动的质点在时间t内由A点运动到B点,AB弧所对的圆心角为θ。
(1)若AB弧长为l,求质点向心加速度的大小。
(2)若由A点运动到B点速度改变量的大小为Δv,求质点做匀速圆周运动的向心加速度的大小。
3.如图6-9所示,带有一白点的黑色圆盘,绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动,转速n=20r/s。
在暗室中用每秒闪光21次的频闪光源照射圆盘,求观察到白点转动的方向和转动的周期。
图6-9
4.如图6-10所示,一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上,另一端固定一质量为m的小球,轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动,重力加速度为g。
(1)小球运动到最高点时,求杆对球的作用力。
(2)小球运动到水平位置A时,求杆对球的作用力。
5.如图6-11所示,质量为m的小球用细线悬于B点,使小球在水平面内做匀速圆周运动,重力加速度为g。
(1)若悬挂小球的绳长为l,小球做匀速圆周运动的角速度为ω,绳对小球的拉力F有多大?
(2)若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变,改变绳长l,求小球做匀速圆周运动的角速度ω与绳长l的关系。
(3)若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变,改变绳长l,求绳对A球的拉力F与绳长l的关系。
6.某人站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。
当球某次运动到最低点时,绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断,球以绳断时的速度水平飞出,通过水平距离d后落地。
已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为
,重力加速度为g,忽略空气阻力。
(1)绳能承受的最大拉力是多少?
(2)保持手的高度不变,改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断,要使球抛出的水平距离最大,绳长应是多少?
最大水平距离是多少?
7.图6-12是场地自行车比赛的圆形赛道。
路面与水平面的夹角为15°,sin15°=0.259,cos15°=0.966,不考虑空气阻力,g取10m/s2。
图6-12
(1)某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动,圆周的半径为60m,要使自行车不受摩擦力作用,其速度应等于多少?
(2)若该运动员骑自行车以18m/s的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动,自行车和运动员的质量一共是100kg,此时自行车所受摩擦力的大小又是多少?
方向如何?
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- 第六 生活 中的 圆周运动