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离散数学总
第一章命题逻辑
1.什么叫做命题?
是陈述句子都是命题吗?
请举例说明之。
2.命题的真值有几种?
为什么?
并说明这些真值的定义。
3.判断下面句子哪些是命题。
如果是命题,说出它的真值。
1.离散数学是计算机科学与技术专业的理论基础。
2.2不是素数。
3.x+y=6
4.明天有雨吗?
5.火星上也有过人类。
4.什么叫做简单命题?
什么叫做复合命题?
如何表示复合命题?
5.命题逻辑中定义了几个逻辑联结词?
都用什么符号表示?
分别叫做什么名称?
在自然语言中都表达什么含义?
6.填空:
P、Q是命题变元,则
P∧Q的真值为真,当且仅当()
P∨Q的真值为假,当且仅当()
P
Q的真值为假,当且仅当()
PQ的真值为假,当且仅当()
PQ的真值为真,当且仅当()
7.请列出P∧Q、P∨Q、P
Q、PQ、PQ的真值表。
(填下表)
P
Q
P∧Q
P∨Q
PQ
PQ
F
F
F
T
T
F
T
T
8.填空
已知P∧Q为T,则P为(),Q为()。
已知P∨Q为F,则P为(),Q为()。
已知P为F,则P∧Q为()。
9.填空
已知P为T,则P∨Q为()。
已知P∨Q为T,且P为F,则Q为()。
10.填空
已知P为F,则PQ为()。
已知Q为T,则PQ为()。
11.填空
已知P为T,PQ为T,则Q为()。
已知Q为T,PQ为T,则P为()。
已知PQ为T,P为T,则Q为()。
12.填空
已知PQ为F,P为T,则Q为()。
PP的真值为()。
PP的真值为()。
13.设P,Q,R代表的意义如下:
P:
苹果是甜的。
Q:
苹果是红的。
R:
我买苹果。
试用自然语言说明下面复合命题所表示的含义。
1.(PQ)R
2.(PQ)R
3.R(PQ)
14.设命题P、Q、R所代表的意义如下:
P:
天气好。
Q:
我有时间。
R:
我去旅游。
用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
1.只要天气好,我就去旅游。
2.仅当天气好,我才去旅游。
3.天气不好,我就不去旅游。
4.如果天气不好或者我没有时间,我不去旅游。
15.设命题P、Q、R所代表的意义如下:
P:
小张上街。
Q:
小王上街。
R:
小李上街。
试用自然语言说明下面复合命题所表示的含义。
1.(PQ)R
2.(PQ)R
3.R(PQ)
15.给P、Q指派真值“T”,给R、S指派真值“F”,求下面复合命题的真值。
(S(Q(RP)))(QS)
16.设命题P、Q、R所代表的意义如下:
P:
明天天气好。
Q:
明天我上街。
R:
明天我在家。
用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
1.如果明天天气好,我就上街,否则在家。
2.明天只有天气好,我才上街。
3.我明天或者上街,或者在家。
17.用逻辑符号写出下面命题的符号表达式。
或者你没有给我写信,或者它在途中丢失了。
18.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
我们不能既划船又跑步。
19.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
如果你来了,那么他唱不唱歌将看你是否为他伴奏而定。
20.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
21.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
我今天进城,除非下雨。
22.用逻辑符号写出下面各各命题的表达式。
仅当你走我将留下。
23请将下面流程图写成符号表达式
A
C
B
D
E
T
F
T
F
开始
24.填空
令P:
天气好。
Q:
我有时间.。
R:
我在家。
S:
我上街。
将下面各个命题的符号表达式
填在各个命题后面的括号内。
⑴.除非天气不好,否则我就在家()
⑵要么我上街,要么我在家.()
⑶仅当我有时间,我才上街.()
⑷我就上街,当且仅当天气好且我有时间。
.()
25.将下面命题的符号表达式。
“如果小张出差,那么小王和小李两人中恰有一个人去,否则小王和小李都不去。
”
26.设A(P1,P2,…,Pn)是含有命题变元P1,P2,…,Pn的命题公式,则它的真值表有多少行?
为什么?
27.列出命题公式(P→Q)→(P→(P∧Q))的真值表。
28.给定命题P与Q所代表的命题公式如下,判断它们是否逻辑等价,并说明原因。
1.PRSQRS
2.PRRQSS
3.PR((RS)R)Q(RS)(SR)
29.什么叫做重言式?
请列举一个重言式。
30.选择填空题:
设A(P1,P2,…,Pn)是含有命题变元P1,P2,…,Pn的重言式,则A(P1,P2,…,Pn)是()。
选择答案:
A:
重言式;B:
矛盾式;C:
无法确定;D:
不知道。
31.什么叫做矛盾式?
请列举一个重言式。
32什么叫做重言蕴涵式?
请列举一个重言式。
33选择填空题:
公式AB是重言式,则BA是()。
选择答案:
A:
矛盾式;B:
重言式;C:
无法确定;D:
不知道。
34.下面的命题公式中哪些是永真式,只写出题号即可。
然后证明其中一个是永真式。
1.(P∧Q)→Q2.(P∧(P→Q))→Q
3.P→(P∨Q)4.(P∨Q)→P
35.下面的命题公式中哪些是永真式,只写出题号即可。
然后证明其中一个是永真式。
1.P((PQ∨P)2.(Q∧(P→Q))→P
3.(PQ)P4.(P∧Q)→(P∨Q)
36.下面命题公式中,哪些是永真式?
对不是永真式的命题公式给予说明。
其中符号“T”、“F”分别表示“永真”、“永假”,表示否定。
1.(FP)(PP)2.(PQ)(PQ)
3.(PQ)P4.(P(QP))P
5.((PP)P)
37.下面哪些命题公式是永真式(写出题号即可)?
再任选其中一个证明之。
⑴(P(PQ))Q
⑵((PQ)Q)((PQ)P)
⑶((PQ)P)(P(QP))
38.给定命题公式如下:
⑴(P∧Q)→(P∨Q)
⑵(P∨Q)→P
⑶(P→P))∧P
⑷P((PQ)P)
⑸(PQ)(PQ)
⑹(Q∧(P→Q))→P
⑺((PQ)(QP))
⑻(PQ)P
从供选择的答案中选出应填入下列叙述内的正确答案。
在以上8个命题公式中,永真式的为(A),矛盾式为(B)。
供选择的答案
A:
①:
⑷⑸⑺⑻②:
⑴⑵⑷⑹③:
⑴⑷⑸⑹④:
⑴⑷⑸⑺
B:
①:
⑵⑶⑺⑻②:
⑶⑷⑻③:
⑶⑹⑺⑻④:
⑶⑺
39.不用真值表证明下面命题公式是永真蕴涵式。
(P(QR))((PQ)(PR))
40.不用真值表证明下面永真蕴涵式。
((A∧B)C)∧D∧(C∨D)A∨B
41.不用真值表证明下面永真蕴涵式。
(A(B∨C))∧(D∨E)∧((D∨E)A)B∨C
42.什么叫做两个命题公式等价?
43.选择填空题:
设A(P1,P2,…,Pn)、B(P1,P2,…,Pn)是含有命题变元P1,P2,…,Pn的命题公式。
如果A(P1,P2,…,Pn)与B(P1,P2,…,Pn)等价,则A(P1,P2,…,Pn)与B(P1,P2,…,Pn)()。
选择答案:
A:
等价;B:
不等价;C:
无法确定;D:
不知道。
44.求证吸收律P∧(P∨Q)P
45.求证(P∨Q)→(P∧Q)P
46.化简命题公式(P∧Q)→(P∨(P∨Q))。
47.令P表示天气好,Q表示我上街。
请用最简单的语言说明命题公式
(P∧Q)→(P∨(P∨Q))
所表达的含义。
48.证明((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))(B∧(D→A))→c
49.什么叫做命题公式A的对偶式?
50.选择填空:
如何用对偶式求公式A(P1,P2,…,Pn)的否定A(P1,P2,…,Pn)?
即
A(P1,P2,…,Pn)()
选择答案:
a:
A*(P1,P2,…,Pn);b:
A*(P1,P2,…,Pn);
c:
A*(P1,P2,…,Pn);d:
A*(P1,P2,…,Pn)。
51利用对偶式求公式A的否定公式直接写出下面命题公式的计算结果。
(((P∧Q)∨(P∧Q))∨R)
52.请描述命题公式的对偶原理
53.如何利用对偶原理,说明下面两个等价公式之间的关系。
P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R)
P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R)
54.什么叫做命题公式的析取范式?
55.什么叫做命题公式的合取范式?
56.什么叫做小项?
57.具有两个命题变元P、Q可以组成多少个不同的小项?
请列出这些小项。
58.填空:
对于n个命题变元P1,P2,,...,Pn:
a).这n个命题变元,则可构成(a)个小项。
b).对这n个命题变元的每一组指派有且只有(b)个小项为T。
59.填空:
具有两个命题变元P、Q情况下,在P、Q分别指派为F、F时,为真的小项是
(1),在T,F指派时为真的小项是
(2)。
60.什么叫做主析取范式?
61.永真式的主析取范式是什么样?
试写出具有两个命题变元P、Q的永真式A(P,Q)的主析取范式。
62.什么叫做大项?
63.具有两个命题变元P、Q可以组成多少个不同的大项?
请列出这些大项。
64.填空:
对于n个命题变元P1,P2,,...,Pn:
a).这n个命题变元,则可构成(a)个大项。
b).对这n个命题变元的每一组指派有且只有(b)个大项为F。
65.请叙述一下由n个命题变元P1,P2,,...,Pn构成的大项的性质。
66.填空:
具有两个命题变元P、Q情况下,在P、Q分别指派为F、F时,为假的大项是
(1),在F,T指派时为假的大项是
(2),在T,F指派时为假的大项是(3)。
在T,T指派时为假的大项是(4)。
67.什么叫做主合取范式?
68.试写出命题公式(PQ)R的析取范式与合取范式
69已知命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m3,m5,m7。
求它的主合取范式。
70.已知含有命题变元P、Q、R的命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m3,m4,m6,m7,求命题公式A(P,Q,R)的主合取范式(要求写出最终形式,即含有P,Q,R的表达式形式)。
71.已知含有命题变元P、Q、R的命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m3,m4,m6,m7;命题公式B(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m2,m4,m5,求命题公式A(P,Q,R)∧B(P,Q,R)的主合取范式(要求写出最终形式,即含有P,Q,R的表达式形式)。
72.已知含有命题变元P、Q、R的命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m3,m4,m6,m7;命题公式B(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1,m2,m4,m5,求命题公式A(P,Q,R)B(P,Q,R)的主合取范式(要求写出最终形式,即含有P,Q,R的表达式形式)。
73.写出下面命题公式(P→Q)→R的主合取范式。
74.写出下面命题公式(P→Q)→(P→(P∧Q))的主析取取范式。
75.求命题公式(QP)(PQ)的主析取范式。
76.写出命题公式(Q→⌝P)→Q的主合取范式。
(要求有解题过程)
77.令E、J、G分别表示我学习英语、日语、德语,则在英、日和德三种语言中下面命题公式
(EJG)(EJG)(EJG)(EJG)表示()
A:
至少学一种B:
至多学一种C:
至少学两种D:
至多学两种
78.有工具箱A、B、C、D,各个箱内装的工具如下表所示。
试问如何携带数量最少工具箱,而所包含的工具种类齐全。
(注意:
要求用范式的方法求解。
)
改锥
扳手
钳子
锤子
A
有
有
B
有
有
有
C
有
有
D
有
有
79.名词解释:
1.规则P(引入前提规则):
2.规则T(引入结论规则):
80.填空:
即令H1,H2,…,Hn是已知的命题公式(前提),若有()
则称C是H1,H2,…Hn的有效结论,简称结论。
81.用直接推理证明(A∨B)(C∧D),(D∨E)FAF
82用条件论证方法证明(A∨B)(C∧D),(D∨E)FAF
83.用反证法证明(A∨B)(C∧D),(D∨E)FAF
84请根据下面事实,找出凶手:
1.清洁工或者秘书谋害了经理。
2.如果清洁工谋害了经理,则谋害不会发生在午夜前。
3.如果秘书的证词是正确的,则谋害发生在午夜前。
4.如果秘书的证词不正确,则午夜时屋里灯光未灭。
5.如果清洁工富裕,则他不会谋害经理。
6.经理有钱且清洁工不富裕。
7.午夜时屋里灯灭了。
85.用命题逻辑推理方法证明下面推理的有效性:
如果A地发生交通事故,则该地交通受阻。
在交通受阻情况下,如果小王不改路通行,就会迟到。
因此,小王没有改路通行也未迟到,则A地没有发生交通事故。
86.仅用P和联结词,最多可以写出()个不等价的命题公式。
a:
1b:
2c:
3d:
4
1.答案:
命题:
是一个能确定是真的或是假的判断。
(判断都是用陈述句表示)
例x+y=5。
是陈述句,但不是命题,因为不能确定它是否正确与错误。
2.答案:
命题的真值有两种:
“真”或“假”。
因为一个命题所作的判断有两种可能:
是正确的判断或者是错误的判断。
因此一个命题的真值有两个:
“真”或“假”。
真值为真:
一个命题所作的判断与客观一致,则称该命题的真值为真,记作T(True)。
真值为假:
一个命题所作的判断与客观不一致,则称该命题的真值为假,记作F(False)。
3.答案:
1,2,5是命题。
其中1的真值为“真”。
2的真值为“假”。
5的真值我们现在还无法确定,但随着科学的发展,它的真值是可以确定的,所以也是命题。
4.答案:
简单命题(原子命题):
由最简单的陈述句构成的命题(该句再不能分解成更简单的句
子了)。
通常用大写英字母表示。
复合命题(分子命题):
由若干个原子命题构成的命题。
用逻辑联结词把原子命题连接起来,构成复合命题。
5.答案:
定义了六个逻辑联结词,分别是:
(1)“”叫做否定。
(2)“∧”叫做合取。
(3)“∨”叫做析取。
(4)“
”叫做异或。
(5)“”叫做蕴涵。
(6)“”叫做等价。
“”表示:
“…不成立”,“不…”。
“∧”表示:
“并且”、“不但…而且...”、“既…又...”、“尽管…还…”
“∨”表示“或者”,是可兼取的或。
“
”表示“或者”,是不可兼取的或。
“”表示如果…,则…;只要…,就…;只有…,才…;仅当…。
“”表示“当且仅当”、“充分且必要”
6.答案:
P∧Q的真值为真,当且仅当(P和Q的真值均为真。
)
P∨Q的真值为假,当且仅当(P与Q均为F。
)
P
Q的真值为假,当且仅当(P与Q的真值相同。
)
PQ的真值为假,当且仅当(P为真,Q为假。
)
PQ的真值为真,当且仅当(P与Q的真值相同。
)
7.答案:
见下表:
P
Q
P∧Q
P∨Q
PQ
PQ
F
F
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
F
T
T
8.答案:
已知P∧Q为T,则P为(T),Q为(T)。
已知P∨Q为F,则P为(F),Q为(F)。
已知P为F,则P∧Q为(F)。
9.答案:
已知P为T,则P∨Q为(T)。
已知P∨Q为T,且P为F,则Q为(T)。
已知PQ为F,则P为(T),Q为(F)。
10.答案:
已知P为F,则PQ为(T)。
已知Q为T,则PQ为(T)。
已知PQ为F,则P为(F),Q为(F)。
11.答案:
已知P为T,PQ为T,则Q为(T)。
已知Q为T,PQ为T,则P为(F)。
已知PQ为T,P为T,则Q为(T)。
12.答案:
已知PQ为F,P为T,则Q为(F)。
PP的真值为(T)。
PP的真值为(T)。
13.答案:
1.如果苹果甜且红,则我买。
2.因为苹果不甜且不红,所以我没有买。
3.我买苹果,当且仅当苹果既甜又红。
14.答案:
1.PR
2.RP或者PR
3.PR
4.(PQ)R
15.答案:
1.如果不是小张与小王都上街去,则小李上街。
2.如果小张与小王都不上街,则小李也不上街。
3.小李上街,当且仅当小张与小王都都上街。
16.答案:
将P、Q、R、S的真值代入上面复合命题表达式得:
(F(T(FT)))(TF),进一步得(F(T(FF)))(TT),
(F(TF))T,(FF)T,FT,最后得该复合命题的真值为F。
17.答案:
1.(PQ)(PR)
2.RP(注:
“只有…,才…..”是表示必要条件。
即天气好是我上街的必要条件。
)
3.(QR)(QR)或者Q
R(注:
这里的或者是“不可兼的或”)
18.答案:
显然这里的“或者”是“不可兼取的或”。
令P:
你给我写信。
Q:
信在途中丢失了。
表达式为:
P
Q或(P∧Q)∨(P∧Q)
19.答案:
令P:
我们划船。
Q:
我们跑步。
表达式为(P∧Q)
20.答案:
令P:
你来了。
Q:
你为他伴奏。
R:
他唱歌。
表达式为:
P→((Q→R)∧(Q→R))
也可以写成:
P→(QR)
21.答案:
令P:
上午下雨。
Q:
我去看电影。
R:
我在家里读书。
S:
我在家里看报。
表达式为:
(P→Q)∧(P→(R
S))
22.答案:
令P:
我今天进城。
Q:
今天下雨。
表达式为:
Q→P
23答案:
令P:
你走。
Q:
我留下。
表达式为:
Q→P或者P→Q
24答案:
(A→B)∧(A→((C→E)∧(C→D)))
25.答案:
⑴(P→R)⑵(S
R)
⑶(S→Q)⑷(R((PQ))
26.答案:
设P:
小张出差。
Q:
小王出差。
R:
小李出差。
(P→(Q
R))∧(P→(Q∧R))
27.答案:
命题公式A(P1,P2,…,Pn)的真值表有2n行。
因为A(P1,P2,…,Pn)有n个命题变元,对P1,P2,…,Pn每个命题变元可以有两个真值(T,F)被指派,所以A(P1,P2,…,Pn)的真值表有2n行。
28.答案:
P
Q
P→Q
P→(P∧Q)
(P→Q)→(P→(P∧Q))
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
T
29.答案:
1.PQ因为RSRS,所以PQ。
2.PQ因为RRTSST,所以PQ。
3.PQ因为R((RS)R)RRT
(RS)(SR)(RS)(RS)T,所以PQ。
30.答案:
A(P1,P2,…,Pn)是含有命题变元P1,P2,…,Pn的命题公式,如不论对P1,P2,…,Pn作任何指派,都使得A(P1,P2,…,Pn)为真,则称之为重言式,也称之为永真式。
例如P∨P是重言式。
31.答案:
A
32.答案:
A(P1,P2,…,Pn)是含有命题变元P1,P2,…,Pn的命题公式,如不论对P1,P2,…,Pn作任何指派,都使得A(P1,P2,…,Pn)为假,则称之为矛盾式,也称之为永假式。
例如PP是矛盾式。
33.答案:
如果公式AB是重言式,则称A重言(永真)蕴涵B,记作AB。
例如P→P是重言蕴涵式。
33.答案:
B
34.答案:
1、2、3是永真式。
证明:
1.设前件(P∧Q)为真,则得Q为真。
所以.(P∧Q)→Q是永真式。
35.答案:
1、2、4是永真式。
证明:
4.设前件(P∧Q)为真,则得P与Q为均真。
进而得P∨Q为真。
所以.
(P∧Q)→(P∨Q)是永真式。
36.答案:
1、2、5是永真式。
3、4不是永真式。
3.(PQ)P中,由前件(PQ)为真,可以推出P为真,而不能推出P为真。
4.(P(QP))P中,根据吸收律得此命题公式等价于P。
所以不是永真式。
37.答案:
(2)、(3)是永真式。
(2)的证明:
(3)的证明:
((PQ)Q)((PQ)P)((PQ)P)(P(QP))
=((PQ)Q)P=PP
=(PQ)P=T
=T
38.答案:
A:
③B:
④
39.答案:
证明:
有两种方法
方法1.假设后件((PQ)(PR))为假,于是得(PQ)为真,而(PR)为假,所以P为真、Q为真、R为假。
进而得QR为假,这样前件(P(QR))为假。
所以命题公式(P(QR))((PQ)(PR))是永真蕴涵式。
方法2.公式化简成永真式。
(P(QR))((PQ)(PR))
(P(QR))((PQ)(PR))去
(P(QR))((PQ)(PR))摩根定律
((P(QR))(PQ))(PR)结合律
(P((Q
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