人教版五年级数学下册笔记整理.docx
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人教版五年级数学下册笔记整理
第一單元圖形的變換
(1)軸對稱圖形的概念:
如果一個圖形沿著一條直線對折,兩側的圖形能夠完全重合,這樣的圖形叫做軸對稱圖形。
沿著的那條對折直線叫做對稱軸。
(2)軸對稱圖形的性質:
在軸對稱圖形中,對稱軸兩側相對的點到對稱軸兩側的距離相等。
(3)平移:
沿著直線移動,這樣的現象叫做平移。
(4)旋轉:
物體都繞著一個固定的點或一個固定的軸移動,這樣的現象叫做旋轉。
(旋轉三要素:
旋轉中心、旋轉方向、旋轉角)
(5)等腰三角形有1條對稱軸,等邊三角形有3條對稱軸,長方形有兩條對稱軸,正方形有四條對稱軸,正五邊形有5條對稱軸,正六邊形有6條對稱軸,圓形有無數條對稱軸。
(6)
第二單元因數和倍數
注意:
為了方便,在研究因數和倍數的時候,我們所說的數指的是整數(一般不包括0)。
1、整除:
被除數、除數和商都是非0的自然數,並且沒有餘數。
如果a能被b整除,那麼b是a的因數,a是b的倍數
一個數的因數的個數是有限的,其中最小的因數是1,最大的因數是它本身。
1是所有自然數的因數。
一個數的倍數的個數是無限的,最小的倍數是它本身。
沒有最大的倍數。
2、自然數按能不能被2整除來分:
奇數偶數
奇數:
不能被2整除的數,最小的奇數是1
偶數:
能被2整除的數,最小的偶數是0
連續的奇數,如1、3、5等,連續偶數如、12、14、16、等,連續的奇數或連續的偶數前後相差2。
用字母表示連續的奇數或偶數(a-2)、a、(a+2)
3、2、3、5倍數的特徵
個位上是0,2,4,6,8的數都是2的倍數。
個位上是0或5的數,是5的倍數。
一個數各位上的數的和是3的倍數,這個數就是3的倍數。
能同時被2、3、5整除的最大的兩位數是90,最小的兩位數是30,最小的三位數是120。
4、自然數按因數的個數來分:
質數、合數、1
質數:
有且只有兩個因數,1和它本身。
最小的質數是2
合數:
至少有三個因數,1、它本身、別的因數,最小的合數是4
1:
只有1個因數。
“1”既不是質數,也不是合數。
每個合數都可以由幾個質數相乘得到。
在自然數中,既是偶數又是質數的只有2。
20以內即是奇數又是合數的如9、15等)
100以內的質數:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
第三單元長方體和正方體
(1)我們周圍許多物體的形狀都是長方體或正方體(正方體也叫立方體)。
(2)棱長是1cm的正方體,體積是1cm3(大約是一個手指尖的體積)
棱長是1dm的正方體,體積是1dm3(大約是粉筆盒的體積)
棱長是1m的正方體,體積是1m3,也叫1方,1方=1m3
相交於一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方形的長、寬、高。
(3)長方體或正方體6個面的總面積,叫做它的表面積。
(4)物體所占空間的大小叫做物體的體積。
(5)長方體和正方體的面、棱和頂點的數目都一樣,只是正方體的棱長都相等,正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體,它是一種特殊的長方體。
(6)單位進率
單位名稱
相鄰兩個單位間的進率
長度
米、分米、釐米
10
面積
平方米、平方分米、平方釐米
100
體積
立方米、立方分米、立方釐米(升、毫升)
1000
(7)箱子、油桶、倉庫等所能夠容納物體的體積,通常叫做它們的容積。
(7)長方體和正方體特徵及公式:
(一般用C字母代表長,用S代表面積,用V代表體積)
名稱
長方體
正方體(特殊的長方形)
圖形
特徵
面
有6個面,每個面是長方形(或有兩個相對的面是正方形),相對的面面積相等。
有6個面,6個面都是正方形,6個面的面積相等。
棱
有12條棱,相對的4條棱的長度相等。
有12條棱,12條棱的長度都相等,叫做棱長。
頂點
有8個頂點。
有8個頂點。
計算公式
棱長總和
長方體棱長總和=(長+寬+高)×4
反之高=棱長總和÷4-長-寬
正方體棱長總和=棱長×12
反之棱長=棱長總和÷12
表面積
長方體表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2
上或下前或後左或右
正方體表面積=棱長×棱長×6
S=6a2
體積
長方體體積=長×寬×高
V=a×b×c
正方體的體積=棱長×棱長×棱長
V=a×a×a=a3
長方體和正方體統一的體積公式:
體積=底面積×高V=sh
單位進率
1立方米(m3)=1000立方分米(dm3)=1000升(L)
1立方分米(dm3)=1000立方釐米(cm3)=1000毫升(lm)
相鄰的兩個體積單位間的進率是1000。
÷進率
×進率
9、a3讀作“a的立方”表示3個a相乘,(即a·a·a)
例如0.13=0.1×0.1×0.1=0.001
【體積單位換算】 高級單位低級單位低級單位高級單位
10、長方體的長、寬、高同時擴大a倍,表面積擴大a的平方倍,體積擴大a的立方倍。
正方體的棱長擴大a,表面積擴大a的平方倍,體積擴大a的立方倍。
如、一個長方體長寬高都擴大3倍,表面積擴大9倍,體積擴大27倍。
11、兩個小正方體拼成一個長方體,表面積減少2個面(棱長×棱長×2),體積不變。
一個大長方體切成兩個小正方體,表面積增加2個面(棱長×棱長×2),體積不變。
12、不規則物體的體積:
體積=總體積-水的體積或體積=長×寬×上升的高
知道上升的高用第2個公式,反之用第1個。
第四單元分數的意義和性質
(1)產生:
在進行測量時、分物或計算時,往往不能正好得到整數的結果,這時常用分數來表示。
(2)意義:
把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份都可以用數叫做分數。
單位“1”可以是一個物體、一些物體或一個圖形。
(3)把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的數叫做分數單位。
都寫作
(n≠0)
(4)分數表示兩個含義:
具體的數(帶單位):
總數÷份數
兩個數之間的關係(通常不帶任何單位):
即一個數是(或占)另一個數的幾分之幾?
前一個數÷後一個數,再寫成分數
例如:
把6米長的繩子平均分成7段,每段是這根繩子的(
),每段長(
)米。
把10克糖溶解在100克水中,糖占糖水的幾分之幾?
10÷(10+100)=
(5)分數與除法
區別:
分數可以看成兩個數相除,除法只是一個算式。
被除數相當於分子,除數相當於分母,商相當於分數值。
被除數÷除數=
a÷b=
(b不為0)
(6)分數的分類
真分數:
分子比分母小的分數。
真分數<1
假分數:
分子比分母大或分子和分母相等的分數。
假分數≥1
帶分數:
整數帶著一個真分數。
假分數和帶分數的互換:
①把假分數化成整數或帶分數,要用分子除以分母,能整除就是整數,不能整除的,商是帶分數的整數部分,餘數就是分數部分的分子,分母不變。
②帶分數化成假分數,用整數部分乘以分母,再加上分子,作為新分子,分母不變。
(7)分數的基本性質:
分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外),分數的大小不變。
(8)最大公因數:
幾個數公有的因數,叫做它們的公因數。
其中,最大的那個公因數,叫做它們的最大公因數。
最大公因數的求法:
例如8和12
①列舉法:
②分解質因數:
8的因數:
1、8、2、4、8=2×2×2
12的因數:
1、12、2、6、3、4、12=2×2×3公有的質因數相乘2×2=4
③短除法:
公有獨有
4812最大公因數是除數:
4
23
(9)一個分數的分子和分母只有公因數1,像這樣的分數叫做最簡分數。
最簡分數的分子和分母是互質關係。
(10)把一個分數化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數,叫做約分。
公因數只有1的兩個數,叫做互質數。
兩數互質的特殊情況:
1和任何自然數互質;相鄰兩個自然數互質;兩個質數一定互質;2和所有奇數互質;質數與比它小的合數互質;
(11)把一個分數化成最簡分數,分子和分母同時除以分子和分母的最大公因數。
(12)最小公倍數:
幾個數公有的倍數,叫做它們的公倍數。
其中,最小的那個公倍數,叫做它們的最小公倍數。
求法:
例如8和12
①列舉法:
②分解質因數:
8的倍數:
8、16、24、32…8=2×2×2
12的倍數:
12、24、36…12=2×2×3公有的質因數×獨有的:
2×2×2×3=24
③短除法:
公有獨有
4812最大公因數是除數×商:
4×2×3=24
23
(13)分數比較大小:
分母相同的兩個分數分子越大,分數就越大。
分子相同的兩個分數分母越小,反而分數越大。
(14)像這樣,把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分。
(15)小數表示的就是十分之幾、百分之幾、千分之幾-------的數,所以可以直接寫成分母是10、100、1000,----的分數,在化簡。
分母是2、4、5、8、25、125的數很好化成是分母是10、100、1000、-----的分數。
2×5=104×25=100125×8=1000
(16)分母不是10、100、1000、----或者不能化成分母是10、100、1000---的分數,那麼用分數的分子除以分母,除不盡時,要根據需要按“四捨五入”法保留幾位。
(17)當兩個數是倍數關係時,這兩個數的最大公因數是較小數,最小公倍數是較大數。
(18)當兩個數是互質關係時,這兩個數的最大公因數是1,最小公倍數是他們的乘積。
(19)常見的分數與小數的互換:
=0.5
=0.25
=0.75
=0.2
=0.4
=0.6
=0.8
=0.125
=0.375
=0.625
=0.875
=0.05
=0.04。
第五單元分數的加減法
(1)同分母分數加減法:
同分母分數相加、減,分母不不變,只把分子相加、減。
(2)異分母分數加減法:
先通分,然後按同分母分數加減法進行計算。
(3)分數加減混合運算順序:
在沒有括弧的算式裏,只有加、減法,從左到右進行計算。
在有括弧的算式裏,先算括弧裏面的,再算括弧外面的。
(4)交換兩個分數的位置,和不變,這叫做分數加法交換律。
(5)三個分數相加,先算前兩個分數,再加上第三個分數;或者先算後兩個分數,再加上第一個分數,這叫做分數的結合律。
(6)一個數連續減去幾個數,就等於減去這幾個數的和。
第六單元統計
(1)在一組數據中出現次數最多的數,叫做這組數據的眾數。
眾數能夠反映一組數據的集中情況。
(2)當一組數據相差不是很大時,可以用平均數來表示;
(3)如果有偏大偏小數據出現,而中間的數比較集中,可以用中位數來表示;
統計量
相同點
優點
缺點
求法
個數
平均數
都是數據的代表,從不同側面反映了數據的集中程度
反映平均水準
易受極端
值的影響
公式:
平均數=總數÷總份數
唯一
中位數
反映一般水準
不能全面反映數據
先排序,找最中間的數或中間兩數之和的平均數。
唯一
眾數
反映出現最多的數據
有多個眾數時沒多大意義
出現次數最多
不唯一
(4)如果有一個數據出現的次數超過一半或一半以上的時候,用眾數來表示這組數據的總體情況比較好。
(5)平均數、中位數、眾數比較
(6)複式折線統計圖
折線統計圖直觀、有效地表示數據,並對數據進行簡單分析和預測。
特點:
很容易地看出數量的增減變化的情況。
單式折線統計圖與複式折線統計圖有什麼不同:
複式折線統計圖可以比較容易地比較出兩組數據的變化趨勢。
在製作複式折線統計圖時,要注意畫出圖例,先描點,再連線,最後標數據。
(7)打電話:
(方法:
逐個法,分組法,
⑥
時間
⑤
④
③
②
①
通知人數
1——3——7——15——31——63……
第七單元數學廣角
物品的個數
至少稱幾次保證找出次品
2~3
1
4~9
2
10~27
3
28~81
4
82~243
5
方法:
儘量平均分成3份,使份數之間最多相差1.(例如:
8(3,3,2))
如10個物品,其中有一個是次品,次品重一點。
平衡2(1,1)共3次
平衡,4(1,1,2)
不平衡共2次
10(3,3,4)
不平衡3(1,1,1)共2次
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