高考新课标 II 数学理真题试题及答案.docx
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高考新课标II数学理真题试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数学试题卷(理工类)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
,
,则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
2.设复数
在复平面内的对应点关于虚轴对称,
,则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
3.设向量
,
满足
,
,则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
4.钝角三角形
的面积是
,
,
,则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是
,连续两天为优良的概率是
.已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()
(A)
(B)
(C)
(D)
6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
7.执行右图程序框图,如果输入的
均为
,则输出的
()
(A)
(B)
(C)
(D)
8.设曲线
在点
处的切线方程为
,
则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
9.设
满足约束条件
则
的最大值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
10.设
为抛物线
的焦点,过
且倾斜角为
的直线交
于
,
两点,
为坐标原点,则
的面积为()
(A)
(B)
(C)
(D)
11.直三棱柱
中,
,
,
分别是
,
的中点,
,则
与
所成角的余弦值为()
(A)
(B)
(C)
(D)
12.设函数
.若存在
的极值点
满足
,则
的取值范围是()
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.
的展开式中,
的系数为
,则
________.(用数字填写答案)
14.函数
的最大值为_________.
15.已知偶函数
在
单调递减,
.若
,则
的取值范围是________.
16.设点
,若在圆
上存在点
,使得
,则
的取值范围是________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知数列
满足
,
.
(Ⅰ)证明
是等比数列,并求
的通项公式;
(Ⅱ)证明:
.
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥
中,底面
为矩形,
平面
,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:
//平面
;
(Ⅱ)设二面角
为
,
,
,求三棱锥
的体积.
19.(本小题满分12分)
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入
(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(Ⅰ)求
关于
的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
20.(本小题满分12分)
设
,
分别是椭圆C:
的左、右焦点,
是
上一点且
与
轴垂直,直线
与
的另一个交点为
.
(Ⅰ)若直线
的斜率为
,求
的离心率;
(Ⅱ)若直线
在
轴上的截距为
,且
,求
,
.
21.(本小题满分12分)
已知函数
.
(Ⅰ)讨论
的单调性;
(Ⅱ)设
,当
时,
,求
的最大值;
(Ⅲ)已知
,估计
的近似值(精确到
).
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,
是
外一点,
是切线,
为切点,割线
与
相交于点
,
,
,
为
的中点,
的延长线交
于点
.证明:
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求
的参数方程;
(Ⅱ)设点
在
上,
在
处的切线与直线
垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定
的坐标.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设函数
.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若
,求
的取值范围.
2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标卷Ⅱ卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1.D
解析:
把0,1,2代人
验证,只有1,2满足不等式,故选D.
考点:
考查集合与一元二次不等式的知识.简单题.
2.A
解析:
与
关于虚轴对称,
,∴
,故选A.
考点:
考查复数的基本知识.简单题.
3.A
解析:
,平方相减得
,故选A.
考点:
考查平面向量的数量积.中等题.
4.B
解析:
因为
,所以
,所以
或
.
当
时,经计算
为等腰直角三角形,不符合题意,舍去;
时,由余弦定理,得
,故选B.
考点:
考查正余弦定理的应用.中等题.
5.A
解析:
设第i天空气优良记为事件
,则
,
∴第1天空气优良,第2天空气也优良这个事件的概率为
,故选A.
考点:
考查条件概率.简单题.
6.C
解析:
毛胚的体积
,制成品的体积
,
∴切削掉的体积与毛胚体积之比为
,故选C.
考点:
考查三视图于空间几何体的体积.中等题.
7.D
解析:
第1次循环,
,
,
;
第2次循环,
,
,
.
退出循环,
,故选D.
考点:
考查算法的基本知识.简单题.
8.D
解析:
考察导数的几何意义,复合函数求导
,故选D.
考点:
考查导数的几何应用.中等题.
9.B
解析:
画出可行域,利用线性规划知识可得
的最大值为8,故选B.
考点:
考查二元一次不等式组的应用.中等题.
10.D
解析1:
抛物线C的焦点的坐标为
,所以直线AB的方程为
,
从而
,∴弦长
.
又∵O点到直线
的距离
,∴
,故选D.
解析2:
由已知得焦点坐标为
,因此直线AB方程为
,与抛物线方程联立化简得
,因此
,于是
,故选D.
考点:
综合考查抛物线的知识,弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力.困难题.
11.C
解析1:
分别以
为
轴,建立直角坐标系.不妨设
,
则
,
,
,
,所以
,
.
,故选C.
解析2:
如图所示,取
的中点
,连结
、
.
∵
,
分别是
,
的中点,
∴四边形
为平行四边形,∴
,
∴所求角的余弦值等于
的余弦值.
不妨令
,
则
,
,
∴
,故选C.
考点:
考查空间夹角问题.中等题.
12.C
解析1:
.
令
,
,即f(x)的极值点
.
∵存在f(x)的极值点
,满足
,∴
.
∴存在
,使得
,即
,
∴
,故选C.
解析2:
∵
,令
得
,
∴
,又∵
,∴
,
即
,∴
,故
或
,
∴
,即
,故
或
,故选C.
考点:
考查导数与极值,三角函数,不等式的知识.困难题.
二、填空题
13.
解析:
,
∴
展开式中
的系数为
.
考点:
考查二项展开式的通项公式.简单题.
14.1解析:
,
因此
的最大值为1.
考点:
本题考查和差角公式.中等题.
15.
解析:
偶函数在对称区间上单调性相反,数形结合易得
.
考点:
本题考查函数的单调性与奇偶性.简单题.
16.
解析:
过点M作圆O的切线,切点为N.设
,则
,
,
即
,
,
考点:
三角不等式,两点间距离公式.困难题.
三、解答题
17.解析:
(Ⅰ)由
得
.
又
,所以
是首项为
,公比为3的等比数列.
,因此
的通项公式为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
.
因为当
时,
,所以
.
于是
所以
.
考点:
考查等比数列的通项公式,求和公式,放缩法证明不等式.中等题.
18.解析:
(Ⅰ)连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
因为
平面AEC,
平面AEC,所以
∥平面AEC.
(Ⅱ)因为
,ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,
的方向为
轴的正方向,
为单位长,建立空间直角坐标系
,
则
,
,
.
设
(
),则
,
.
设
为平面ACE的法向量,
则
即
可取
.
又
为平面DAE的法向量,
由题设
,即
,解得
.
因为E为PD的中点,所以三棱锥
的高为
,
三棱锥
的体积
.
考点:
考查空间线面关系,椎体的体积计算和向量法解决立体几何问题的技能.中等题.
19.解析:
(Ⅰ)由所给数据计算得
,
,
,
,
,
,
所求回归方程为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,
平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号
代入(Ⅰ)中的回归方程,得
,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
考点:
考查线性回归方程,线性相关的概念的应用.中等题.
20.解析:
(Ⅰ)根据
及题设知
,
.
将
代入
,解得
,
(舍去).故C的离心率为
.
(Ⅱ)由题意,原点O为
的中点,
∥
轴,
所以直线
与
轴的交点
是线段
的中点,故
,即
.①
由
得
.
设
,由题意知
,则
即
代入C的方程,得
.②
将①及
代入②得
.
解得
,
.故
,
.
考点:
考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系.难题.
21.解析:
(Ⅰ)
,等号仅当
时成立,所以
在R上单调递增.
(Ⅱ)
,
.
①当
时,
,等号仅当
时成立,所以
在
单调递增.
而
,所以对任意
,
.
②当
时,若
满足
,即
时,
.
而
,因此当
时,
.
综上,
的最大值为2.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
.
当
时,
,
;
当
时,
,
,
.
所以
的近似值为0.693.
考点:
本题考查利用导数研究函数性质的能力,考查分类讨论的能力及误差估计的思想,思路背景为常规思路,构建函数
的图像即可,难度压轴题
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