机械能守恒定律的建立.docx

机械能守恒定律的建立.docx

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机械能守恒定律的建立

机械能守恒定律的建立

在对钟摆的研究中，惠更斯注意到如此一个事实：

〝即使除去空气和其他阻力之后，运动中摆的重心在下降和上升之时，必定是描出了相等的弧。

〞他的那个见解正是对伽利略早年关于〝物体下落所能达到的速度使之跳回原先的高度而可不能更高〞这一原理在重心问题上的应用。

尽管他们这种见解都还只是表观的，但为建立机械能守恒定律奠定了基础。

1666年，刚成立不久的英国皇家学会在其例会上，曾提出要求物理学家研究一下当时尚属空白的碰撞现象。

到了1668年前后，惠更斯和其他两位科学家对碰撞现象作出了比较正确的说明。

惠更斯认为在这种碰撞（弹性碰撞）中除了动量守恒以外，还有另一个物理量，即当时称之为〝活力〞的mV2，也是守恒的。

莱布尼茨最早引进了〝活力〞概念，认为宇宙中〝活力守恒〞，并

替mV2之后，莱布尼茨的发觉才得到准确的表述：

所作的功等于动能的增加。

1738年，D·伯努利在他的«流体力学»中引入了〝势函数〞这一概念，提出了实际的下降和位势的升高的等同原理。

他把这一思想用于理想流体的运动，得出了闻名的伯努利方程。

这一系列发觉，差不多突破了〝活力守恒〞的局限，专门接近于后来所说的机械能守恒原理。

3．机械能守恒定律

（1）机械能守恒定律内容

在只有重力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但总的机械能保持不变。

那个结论叫机械能守恒定律。

（2）机械能守恒定律的表达式

对不同的物理过程能够应用不同的表达形式：

①E1=E2；即前后状态系统的机械能守恒。

②ΔEk=-ΔEp；即系统动能的增量等于系统势能的减少量。

③ΔEA=-ΔEB；即A物体增加的机械能等于B物体减少的机械能。

④机械能守恒定律中的V，h差不多上相对量，速度V必须相对同一惯性参考系，而h零点的选择对机械能守恒的运算不产生阻碍。

（3）机械能守恒的条件

①物体系统只受重力或弹力（此力现时期仅为弹簧的弹力）时系统机械能守恒。

②物体系统除受重力和弹力外还受其他力作用，但其他力一直对系统不做功，此系统机械能守恒。

③物体系统除受重力和弹力外还受其他力（此力包括内力）作用，但其他力做功的代数和为零，系统机械能守恒。

4．机械能守恒定律的应用

（1）由于组成机械能的势能是系统具有的，因而机械能守恒定律的研究对象是物体系统。

地球表面单个物体往往也应用机械能守恒定律，是因为地球和物体相作用过程中地球几乎不动，就不考虑地球动能和势能变化罢了。

（2）应用机械能守恒定律，只须考虑相互作用的物体系统的初、末状态的物理量，而不须中间过程的复杂变化的讨论，使处理的问题简单化。

（3）应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力能够是变力，亦能够是恒力。

但不能有耗散力，否那么机械能不守恒。

（4）应用机械能守恒定律的差不多步骤：

①明确物体系统的组成。

②分析物体系统运动过程中机械能是否守恒。

③假设满足机械能守恒条件，那么应列机械能守恒方程。

④假如物体运动由几个不同的物理过程组成，那么应分析每个过程机械能是否守恒，还要分析过程的联接点有无能量缺失，只有无能量缺失才能对整体列机械能守恒式，否那么只能对每段列相应的守恒关系。

【例1】　如图6-27所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中，然后将弹簧压缩至最短。

现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中系统的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

A．动量守恒，机械能守恒；

B．动量守恒，机械能不守恒；

C．动量不守恒，机械能守恒；

D．动量不守恒，机械能不守恒。

【分析思路】　物体系统的动量守恒的条件是系统合外力为零，与内力有无和大小无关；系统机械能守恒的条件是各力做功的代数和为零，其中包括内力做功，合外力能够不是零。

组成系统的物体包括子弹、M、弹簧，在子弹作用直至把弹簧压缩到最短的过程中，应分为两个作用过程：

子弹打击木块A，由于作用时刻较短，能够认为子弹与A作用时没有引起A的位移，即弹簧没有发生形变，合外力为零，A与木块系统的动量守恒，但内力摩擦力做功不为零，故A与木块作用时有能量缺失，机械能不再守恒。

子弹打入木块A中并留在A中一起压缩弹簧的过程中，墙给系统作用力，故动量不守恒，但此过程只有弹簧的弹力做功，满足机械能守恒的条件，此过程机械能守恒。

【解题方法】　依照动量守恒和机械能守恒的条件，明确组成系统物体，对作用的不同过程进行受力分析，并分析其中力的做功情形。

【解题】　子弹打击木块A，子弹和A组成系统，由于作用时刻短，弹簧还未发生形变，合外力为零，系统动量守恒。

子弹对A的摩擦力对A做的功（A的位移专门小），小于子弹克服摩擦力做功，机械能减少，机械能不守恒。

在压缩过程中，系统受墙的冲量，动量不守恒但机械能守恒，因系统没有摩擦力做功。

假设从开始作用直到将弹簧压至最短作为一个过程，组成系统的木块M、子弹和弹簧既受外力做用又有除弹力以外的力做功，因此系统的动量和机械能均不守恒守，答案选D。

【例2】　如图6-28所示，小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点正下方有一个固定的钉B，OB=d，开始时小球A与O在同一水平面无初速开释，绳长为L，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范畴。

【分析思路】　物体做圆周运动时，一样受到一个拉力和重力作用，而拉力又是指向圆心的，此拉力始终对物体不做功。

因此一样圆周运动往往和机械能守恒结合在一起进行解题。

小球A由静止开释后作圆周运动，到达最低点遇到B钉后，球的速度不发生变化（能量不能突变），运动半径将减小，小球A将以新的半径做圆周运动。

假设B点位置越低，由机械能守恒到达最高点速度越大，越易完成圆周运动（绳使物体做圆周运动在最高点的最小速度为V，满足

运动为d值的最小值。

整个过程均满足机械能守恒。

【解题方法】　小球A的整个运动过程中只有重力做功，均满足机械能守恒定律，只要对整个过程的初、末状态列机械能守恒方程即可，不必涉及中间环节。

当小球A刚好到达D时，仍做圆周运动，绳的拉力为零，只有重力提供向心力。

【解题】　球A由初始位置到D过程中，只有重力做功，因此满足机械能守恒。

设刚好能完成圆周运动的OB长度为d1，那么：

∴r=0.4L

由d1=L-r=L-0.4L=0.6L

因此d的取值范畴为：

0.6L≤d＜L

【例3】　如图6-29所示，长为2L的轻杆上端及其正中央固定两个质量均为m的小球，杆竖直立在光滑的水平面上，杆原先静止，现让其自由倒下。

设杆在倒下过程中着地端始终不离开地面，那么A着地时的速度为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

【分析思路】　杆立在光滑水平面上，受到扰动后将倒下，在倒下过程中，因O点位置不变能够看做是杆的下端用光滑铰链将其固定在水平面。

即地面给杆有力的作用，但该力并不对它们做功。

在杆向下倾倒的过程中，系统只有重力做功，满足机械能守恒的条件。

但作为组成系统的A球、B球它们各自的机械能并不守恒，这一点也是学生易显现的错误。

在杆倒下的过程中A、B两球通过杆产生相互作用，同时相互作用力分别对A、B球做功，明显两者做功的代数和为零。

由于A、B球由同一杆相连，因而满足圆周运动的同轴问题，具有共同的角速度。

【解题方法】　相互作用的A、B两球，尽管存在着内力做功问题，但做功代数和为零，系统机械能守恒。

结合圆周运动中角速度相同时，线速度与半径成正比解题。

【解题】　将A、B球视为系统。

此系统在运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，那么有：

系统在运动过程中，受地面竖直向上的弹力，重力亦在竖直方向上，因此落地时其速度只可能竖直向下，没有水平重量。

它们绕共同轴O点转动，其角速度相同，有：

【例4】　长度L的平均链条放在光滑的水平桌面上，且使其长度

链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？

力作用下，整个链条一起运动。

运动过程中，下垂部分变大，而桌面上的部分变小，即作用于链条加速的力变大，属于变力问题。

在链条下移过程中的作用力是复杂的，但整个过程却只有重力对它做功，因此满足机械能守恒。

尽管下移过程中，两部分的质量在变，重力做功却是确定的，等于重力势能的减少。

因而应用机械守恒就较容易解决这种变力、变质量问题，其他方法那么无能为力。

【解题方法】　由于链条在不同位置的重力势能不同，因此应明确相应部分的重力势能，或找出整个过程的势能变化，列机械能守恒求解。

【解题】　设链条所在的水平桌面为零势能面，那么由机械能守恒定律有：

【例5】　如图6-31（a）所示，用长为L的细绳悬挂一质量为m的小球，再把小球拉到A点，使悬线与水平方向成30°角。

然后松手，问小球运动到悬点正下方B点时悬线中的张力多大？

【分析思路】　小球自A点到B点应分为两个时期。

小球从A开释后，由于绳松驰，因此球作自由落体，直到将绳拉直，即关于开释位置的对称点C处。

如图6-31（b）所示。

以后进入圆弧轨道，小球进入圆形轨道时只有切线方向速度，而自由落体的小球A在C点的速度是向下的，故径向重量由于绳的作用而变为零。

因此该连接点处有能量缺失。

在以后运动中只有重力做功，机械能守恒。

在最低点小球仍为圆周运动的一部分，绳的拉力和重力的合力提供了小球作圆周运动的向心力。

【解题方法】　球自A到C由自由落体（或机械能守恒）求到达C点的竖直向下的速度，由运动的分解求出切向重量；再由机械能守恒定律及圆周运动求绳子中张力的大小。

【解题】　球从A到C下落位移为L，速度为VC，由自由落体知：

由机械能守恒定律求出运动到B点时的速度VB。

在B点对球受力分析，由牛顿第二定律得

【例6】　在光滑水平轨道上有A、B两滑块，B滑块的质量为mB，上面装有不计质量的轻弹簧，A滑块质量为mA，它以速度VA撞击B，如图6-32。

（1）假如B上所装的弹簧被压缩到最短时形变不再复原，求这时A、B的速度；

（2）假设B上所装弹簧压缩后能复原原长，求弹簧复原原长时A、B的速度；（3）讨论上述每种情形满足什么条件时，B对A冲量最小和最大；（4）讨论上述每种情形满足什么条件时，B对A做的功最多和最少？

【分析思路】　在A、B碰撞弹簧压缩时期，A受到的弹力与运动方向相反，随着弹簧的压缩弹力越来越大，加速度的值也越来越大，由于它和速度方向相反，因此A的速度减小率越来越大，A的速度越来越小。

同理，B受到弹力与运动方向相同，随着弹簧的压缩，弹力越来越大，加速度的值也越来越大，由于它和运速度方向相同，因此B的速度的增加率越来越大，B的速度越来越大。

其物理过程如图6-33所示。

因弹簧被压缩后不能复原，最终将达到A、B具有共同的速度。

在弹簧能复原原长时，压缩过程同上述分析过程。

在复原时期，A受弹力的方向仍与运动方向相反，依照上述同样的分析方法可知A的速度仍在连续减小，而B的速度仍在增加，到弹簧复原原长时，弹力为零。

现在A的速度为它的最小速度，而B的速度为它的最大速度。

其物理过程如图6-34所示。

【解题方法】　

（1）在A、B把弹簧压缩到最短时弹簧不能复原形变，这时A、B的相对速度为零，A、B有一个共同速度V共。

那个速度确实是A的最小速度，也是B的最大速度。

把A、B（包括弹簧）作为一个系统，由于该系统水平方向不受任何外力，因此系统水平分动量守恒，从而可求出A和B的共同速度。

（2）弹簧能复原原长，说明弹簧的弹性势能又完全转化为滑块A和B的动能，这时不但水平方向动量守恒，而且机械能也守恒。

设系统分离时滑块A和B的速度分别为VA＇和VB＇，方向都沿x正方向。

由两个守恒定律可求出VA＇和VB＇的值。

（3）在讨论B对A的冲量时，只能应用动量定理讨论，在研究B对A做功时也就只能应用动能定理进行讨论了。

【解题】　

（1）设A滑块原先的速度VA的方向为正方向。

由水平方向动量守恒知

mAVA=（mA+mB）V共

（2）由于系统水平方向动量守恒和系统的动能守恒，那么有：

上述二式联立求解得：

由②式能够看出，mA和mB相对大小不同，滑块A可连续向前运动（当mA＞mB时），能够静止（当mA=mB时），也能够反弹（当mA＜mB使VA＇＜0时），但VA＇的大小总是小于VA。

由③式可见，VB＇总是向前运动的。

（3）由动量定理，A受到的冲量

式中的负号表示A受到的冲量与正方向相反，即沿x负方向。

冲量大小为mA（VA-VA＇）。

其中mAVA是恒定的，因此冲量IA的大小由VA＇的大小所决定，而VA＇的大小在两种不同情形下由不同条件决定。

第一种情形：

由①式得

可见当mA>>mB时，VA＇≈VA为最大，这时IAmin=0；当mB>>mA时，VA＇≈0为最小，这时IAmax=-mVA。

第二种情形：

由②式得：

当mA>>mB时，VA＇≈-VA，这时IAmin=0；当mA>>mB时，VA＇≈VA，这时IAmax=-2mAVA。

由此可见，不论哪一种情形，只要满足关系mA>>mB时，A受到的冲量总是最小为零。

不论哪种情形，只要满足mB>>mA时，A受到的冲量为最大，但第二种情形比第一种情形大。

（4）由动能定理知，B对A做的功等于A的动能增量，即WA=

式中负号说明B对A一样情形下做负功，这是因为A把一部分能量传给B，因此VA＇一定小于VA。

而功的大小由VA＇的大小决定。

VA＇的大小与碰撞的特点及质量相对大小有关。

由⑤式可见，在VA＇=VA时，WAmin=0。

不论哪种情形，只要满足mA>>mB，这时VA=VA＇，WAmin=0。

只有在第二种情形下满足mB>>mA时才会显现VA＇=-VA，同样可使

【例7】　一根长为2l的细绳，上端与小圆环相连，环套在光滑的水平细杆上，绳的下端挂一小球，环与球质量差不多上m。

开始时，使绳与竖直方向成夹角θ0，如图6-35所示。

环与球都静止。

然后开释小球，当绳子与竖直方向成θ角时，球沿水平方向的速度大小为多大？

【分析思路】　球由静止开释后，由于球环质量均为m，因此两者之间存在着力的作用。

在球下落过程中，环受到细绳的拉力，在水平方向上作加速运动。

因在刚开释球和球到最低点时，绳的拉力在水平方向的重量均为零，故水平分力应存在极大值。

环在水平方向的运动是变加速的，但速度一直在增大。

球在下落过程中受重力及拉力的合力作用，速度越来越大，水平方向的分速度也越来越大，直到达到环的正下方。

由于环、球都在运动，故球的运动不再是圆形。

其物理关系图可由图6-36所示。

【解题方法】　由于杆是光滑的，杆的支持力对环又不做功，因此系统（环和球）在水平方向上满足动量守恒，整个过程满足机械能守恒。

【解题】　取向左的方向为正方向。

把球、绳、环作为一个系统。

由于系统在水平方向不受一切外力，因此系统水平方向动量守恒。

开始时系统总动量为零。

在绳与竖直方向成θ角时，设环和球的水平分速度分别为V1x和V2x，那么这时它们的水平动量满足：

①式说明绳子中点O的水平分速度为VOx=0，因而系统在运动过程中绳子的中点始终在同一条竖直线上。

如图6-36。

由图上的几何关系知，在时刻t里，绳子中间O下降为l（cosθ-cosθ0），而球下降2l（cosθ-cosθ0）。

因此球m相对绳子中点O的水平分速度仍为V2x，但竖直分速度为

由机械能守恒得：

由①②③式联立可得：