高考新坐标届高考数学总复习四节平面向量概要.docx
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高考新坐标届高考数学总复习四节平面向量概要
高考新坐标届高考数学总复习四节平面向量概要
固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析览全局·网络构建备高考·策略指导第四章 平面向量与复数 平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量基本定理、平面向量的数量积及其应用(夹角、模、垂直)、复数的运算等是高考的热点需重点关注..平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的常见题型此类题可以是选择题、填空题也可以是中档的解答题.向量与不等式、函数、圆锥曲线渗透交汇是命题的热点但向量仅起到穿针引线的载体作用.透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础.()向量的几何运算侧重于“形”坐标运算侧重于“数”要善于将二者有机结合和转化.()平面向量的数量积是高考的重点要熟练掌握和运用..平面向量与其他知识的综合渗透是当今高考的一大热点充分体现了平面向量的载体作用.平面向量的复习应做到:
立足基础知识和基本技能强化应用注重相关知识的综合渗透..本章内容要注意数形结合思想的应用向量具有“形”与“数”的两个特点这就使得向量成了数形结合的桥梁.复数内容独立性较强一般会以选择题形式单独命题重点是代数运算属容易题因此切忌盲目拔高要求重视“化虚为实”的思想方法第一节 平面向量的基本概念及线性运算考纲传真.了解向量的实际背景. 理解平面向量的概念理解两个向量相等的含义. 理解向量的几何表示. 掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义. 掌握向量数乘的运算及其几何意义理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义.大小方向长度(或模)长度为个单位.向量的有关概念()向量:
既有又有的量叫做向量向量的大小叫做向量的.()零向量:
的向量其方向是任意的.()单位向量:
长度等于的向量.共线向量平行相等相等相反相同或相反相同()平行向量:
方向
的非零向量.平行向量又叫
.规定:
与任一向量
.()相等向量:
长度
且方向
的向量.()相反向量:
长度
且方向
的向量.三角形a+(b+c)三角形b+a平行四边形向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算
法则
法则()交换律:
a+b=
()结合律:
(a+b)+c=
.减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
法则a-b=a+(-b)|λ||a|相反相同(λμ)aλa+μaλa+λb数乘求实数λ与向量a的积的运算()|λa|=
()当λ时λa的方向与a的方向
当λ时λa的方向与a的方向
当λ=时λa= λ(μa)=
(λ+μ)a=
λ(a+b)=
b=λa共线向量定理
向量a(a≠)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ使得
..(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”错误的打“×”)()向量与有向线段是一样的因此可以用有向线段来表示向量.(
)()向量eqo(AB,sup(→))与eqo(CD,sup(→))是共线向量则ABCD四点在一条直线上.(
)()a∥b是a=λb(λ∈R)的充要条件.(
)()若O是△ABC的重心则eqo(OA,sup(→))+eqo(OB,sup(→))+eqo(OC,sup(→))=(
)解析 ()中“向量”和“有向线段”不同向量只有两个要素:
大小、方向而有向线段有三个要素:
起点、方向、长度.()不正确.()ABCD共线或AB∥CD()错.()当a≠b=时a∥bD⇒a=λb但a=λb⇒a∥b∴a∥b是a=λb(λ∈R)的必要不充分条件.()错误.()根据平行四边形法则()正确.答案 ()× ()× ()× ()√.(教材改编)设ab都是非零向量下列四个条件中使eqf(a,|a|)=eqf(b,|b|)成立的充分条件是(
)A.a=-b
B.a∥bC.a=b
D.a∥b且|a|=|b|解析 eqf(a,|a|)表示与a同向的单位向量eqf(b,|b|)表示与b同向的单位向量只要a与b同向就有eqf(a,|a|)=eqf(b,|b|)观察选择项易知C满足题意.答案 C.(·聊城二模)在△ABC中eqo(AB,sup(→))=ceqo(AC,sup(→))=b若点D满足eqo(BD,sup(→))=eqo(DC,sup(→))则eqo(AD,sup(→))=(
)Aeqf(,)b+eqf(,)c Beqf(,)c-eqf(,)bCeqf(,)b-eqf(,)c Deqf(,)b+eqf(,)c解析 如图eqo(AD,sup(→))=eqo(AB,sup(→))+eqo(BD,sup(→))=eqo(AB,sup(→))+eqf(,)eqo(BC,sup(→))=c+eqf(,)(b-c)=eqf(,)b+eqf(,)c答案 A.(·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点则eqo(OA,sup(→))+eqo(OB,sup(→))+eqo(OC,sup(→))+eqo(OD,sup(→))等于(
)Aeqo(OM,sup(→))
B.eqo(OM,sup(→))C.eqo(OM,sup(→))
D.eqo(OM,sup(→))解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点所以点M是AC和BD的中点由平行四边形法则知eqo(OA,sup(→))+eqo(OC,sup(→))=eqo(OM,sup(→))eqo(OB,sup(→))+eqo(OD,sup(→))=eqo(OM,sup(→))故eqo(OA,sup(→))+eqo(OC,sup(→))+eqo(OB,sup(→))+eqo(OD,sup(→))=eqo(OM,sup(→))答案 D.在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点Oeqo(AB,sup(→))+eqo(AD,sup(→))=λeqo(AO,sup(→))则λ=.解析
由向量加法的法则得eqo(AB,sup(→))+eqo(AD,sup(→))=eqo(AC,sup(→))又O是AC的中点∴AC=AO∴eqo(AC,sup(→))=eqo(AO,sup(→))∴eqo(AB,sup(→))+eqo(AD,sup(→))=eqo(AO,sup(→))又eqo(AB,sup(→))+eqo(AD,sup(→))=λeqo(AO,sup(→))∴λ=答案
考向 平面向量的有关概念【典例】 给出下列四个命题:
①若|a|=|b|则a=b或a=-b②若eqo(AB,sup(→))=eqo(DC,sup(→))则四边形ABCD为平行四边形③若a与b同向且|a|>|b|则a>b④λμ为实数若λa=μb则a与b共线.其中假命题的个数为(
)A.
B.
C.
D.解析 ①不正确.|a|=|b|但ab的方向不确定故ab不一定相等②不正确.因为eqo(AB,sup(→))=eqo(DC,sup(→))ABCD可能在同一直线上所以ABCD不一定是四边形.③不正确.两向量不能比较大小.④不正确.当λ=μ=时a与b可以为任意向量满足λa=μb但a与b不一定共线.答案
D【规律方法】 .()易忽视零向量这一特殊向量误认为④是正确的()充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法..准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.()相等向量具有传递性非零向量平行也具有传递性.()共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关.()eqf(a,|a|)是a方向上的单位向量.【变式训练】 给出下列四个命题:
①两个向量相等则它们的起点相同终点相同②若a=bb=c则a=c③设a是单位向量若a∥a且|a|=则a=a④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b其中假命题的个数为(
)A.
B.
C.
D.解析 ①不正确.两个向量起点相同终点相同则两向量相等但两个向量相等不一定有相同的起点和终点.②正确.根据向量相等的定义判定.③不正确.a与a均是单位向量a=a或a=-a④不正确.a=b的充要条件是|a|=|b|且ab同向.答案 C【典例】 ()(·课标全国卷Ⅰ)设DEF分别为△ABC的三边BCCAAB的中点则eqo(EB,sup(→))+eqo(FC,sup(→))=(
)Aeqo(BC,sup(→))
Beqf(,)eqo(AD,sup(→))
Ceqo(AD,sup(→))
Deqf(,)eqo(BC,sup(→))()(·威海质检)已知D为三角形ABC边BC的中点点P满足eqo(PA,sup(→))+eqo(BP,sup(→))+eqo(CP,sup(→))=eqo(AP,sup(→))=λeqo(PD,sup(→))则实数λ的值为.考向 平面向量的线性运算(高频考点)命题视角 平面向量的加、减法及数乘运算是高考考查向量的热点主要以客观题的形式呈现.主要命题角度:
()用已知向量表示未知向量()求向量运算中参数的取值()根据向量的三角形法则或平行四边形法则进行合成与分解.思路点拨 ()DEF分别为△ABC三边的中点根据向量的三角形法则和中点公式可化简.()根据共线向量与平行四边形法则确定参数λ的值.解析
()如图eqo(EB,sup(→))+eqo(FC,sup(→))=eqo(EC,sup(→))+eqo(CB,sup(→))+eqo(FB,sup(→))+eqo(BC,sup(→))=eqo(EC,sup(→))+eqo(FB,sup(→))=eqf(,)(eqo(AC,sup(→))+eqo(AB,sup(→)))=eqf(,)·eqo(AD,sup(→))=eqo(AD,sup(→))()∵D是BC的中点则eqo(AB,sup(→))+eqo(AC,sup(→))=eqo(AD,sup(→))由eqo(PA,sup(→))+eqo(BP,sup(→))+eqo(CP,sup(→))=得eqo(BA,sup(→))=eqo(PC,sup(→))又eqo(AP,sup(→))=λeqo(PD,sup(→))∴点P是以ABAC为邻边的平行四边形的第四个顶点.因此eqo(AP,sup(→))=eqo(AB,sup(→))+eqo(AC,sup(→))=eqo(AD,sup(→))=-eqo(PD,sup(→))所以λ=-答案 ()C ()-通关锦囊 .第()题的关键是利用向量eqo(AB,sup(→))eqo(AC,sup(→))表示向量eqo(EB,sup(→))+eqo(FC,sup(→))第()题在于挖掘条件判定点P的位置(平行四边形的第四个顶点)..求解平面向量线性运算有关问题的总体原则是数形结合:
()根据图形的几何直观尽可能把向量转化到三角形或平行四边形中利用向量的运算法则进行合成分解()充分利用三角形的中位线、相似的有关比例性质把未知向量转化为已知向量最终达到目标.【变式训练】 (·江苏高考)设DE分别是△ABC的边ABBC上的点AD=eqf(,)ABBE=eqf(,)BC若eqo(DE,sup(→))=λeqo(AB,sup(→))+λeqo(AC,sup(→))(λλ为实数)则λ+λ的值为.解析 由题意eqo(DE,sup(→))=eqo(BE,sup(→))-eqo(BD,sup(→))=eqf(,)eqo(BC,sup(→))-eqf(,)eqo(BA,sup(→))=eqf(,)(eqo(AC,sup(→))-eqo(AB,sup(→)))+eqf(,)eqo(AB,sup(→))=-eqf(,)eqo(AB,sup(→))+eqf(,)eqo(AC,sup(→))于是λ=-eqf(,)λ=eqf(,)因此λ+λ=eqf(,)答案 eqf(,)考向 集合的基本运算(高频考点)【典例】 设两个非零向量a与b不共线.()若eqo(AB,sup(→))=a+beqo(BC,sup(→))=a+beqo(CD,sup(→))=(a-b)求证:
ABD三点共线()试确定实数k使ka+b和a+kb共线.解
()∵eqo(AB,sup(→))=a+beqo(BC,sup(→))=a+beqo(CD,sup(→))=(a-b).∴eqo(BD,sup(→))=eqo(BC,sup(→))+eqo(CD,sup(→))=a+b+(a-b)=a+b+a-b=(a+b)=eqo(AB,sup(→))∴eqo(AB,sup(→))eqo(BD,sup(→))共线又它们有公共点B∴ABD三点共线.()假设ka+b与a+kb共线则存在实数λ使ka+b=λ(a+kb)即(k-λ)a=(λk-)b又ab是两不共线的非零向量∴k-λ=λk-=消去λ得k-=∴k=±【规律方法】
.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ使b=λa其作用是既可以证明向量共线也可以由向量共线求参数要注意待定系数法和方程思想的运用..证明三点共线问题可用向量共线来解决但应注意当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线.【变式训练】 ()(·日照质检)若a+c与b都是非零向量则“a+b+c=”是“b∥(a+c)”的(
)A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件()设ab是两个不共线向量eqo(AB,sup(→))=a+mbeqo(BC,sup(→))=a+beqo(CD,sup(→))=a-b若ABD三点共线则实数m=.解析 ()若a+b+c=则b=-(a+c)∴b∥(a+c)若b∥(a+c)则b=λ(a+c)当λ≠-时a+b+c≠因此“a+b+c=”是“b∥(a+c)”的充分不必要条件.()∵eqo(BD,sup(→))=eqo(BC,sup(→))+eqo(CD,sup(→))=(a+b)+(a-b)=a-b又ABD三点共线.∴存在常数λ使eqo(AB,sup(→))=λeqo(BD,sup(→))则a+mb=λ(a-b)即(-λ)a+(m+λ)b=又a与b不共线.∴-λ=且m+λ=解之得m=-答案 ()A ()-掌握条规律 一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.掌握个结论 若P为线段AB的中点O为平面内任一点则eqo(OP,sup(→))=eqf(,)(eqo(OA,sup(→))+eqo(OB,sup(→))). eqo(OA,sup(→))=λeqo(OB,sup(→))+μeqo(OC,sup(→))(λμ为实数)若点ABC共线则λ+μ= 若ABC是平面内不共线的三点则eqo(PA,sup(→))+eqo(PB,sup(→))+eqo(PC,sup(→))=⇔P为△ABC的重心.做到个防范 向量共线的充要条件中要注意“a≠”否则λ可能不存在也可能有无数个. 进行向量减法运算时一定将向量平移至同一起点. 证明三点共线问题可用向量共线来解决但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线.易错辨析之忽视向量共线的条件错求参数取值(·合肥模拟)已知向量ab不共线且c=λa+bd=a+(λ-)b若c与d共线反向则实数λ的值为(
)A.
B.-eqf(,)C.或-eqf(,)
D.-或-eqf(,)错解由于c与d共线则存在k∈R使c=kd于是λa+b=ka+(λ-)b整理得(λ-k)a=(λk-k-)b又ab不共线∴eqblc{(avsalco(λ-k=,λk-k-=))消去k得λ-λ-=解之得λ=或λ=-eqf(,)选C答案 C【智慧心语】 错因分析:
()忽视向量c与d反向从而漏掉k的范围限制.()忘记λ与k的关系忽视k对λ的制约作用导致增解.防范措施:
()认真审题挖掘题目的隐含限制条件避免产生增解.()做出答案后要注意检验养成检验反思的习惯.正解 由于c与d共线反向则存在实数k使c=kd(k)于是λa+b=ka+(λ-)b整理得λa+b=ka+(λk-k)b由于ab不共线所以有eqblc{(avsalco(λ=k,λk-k=))得λ-λ-=解得λ=或λ=-eqf(,)又因为k则λ=k∴λ=-eqf(,)λ=(舍去).答案 B【类题通关】 (·青岛质检)已知向量ab不共线c=ka+b(k∈R)d=a-b如果c∥d那么(
)A.k=且c与d同向
B.k=且c与d反向C.k=-且c与d同向D.k=-且c与d反向解析 ∵c∥d∴c=λd即ka+b=λ(a-b)=λa-λb又ab不共线.∴eqblc{(avsalco(k=λ,-λ=))∴k=λ=-答案 D
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- 高考 坐标 数学 复习 平面 向量 概要