关于绝对值的几种题型及解题技巧精编版doc.docx
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关于绝对值的几种题型及解题技巧
所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。
即a0。
但是,绝对值里面的数
值可以是正数也可以是负数。
怎么理解呢?
绝对值符号就相当于一扇门,我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服,但是,出门的时候一定要穿上衣服。
所以,a0,而a则有两种可能:
ao和a0。
如:
a5,则a5和a5。
合并写成:
a
5。
于是我们得到这样一个性质:
a
a
0
a
a
0
0
a
a
0
时,开出来的时候一定要添加一个“负号”呢?
很多同学无法理解,为什么a0
a。
因为此时a
0,也就是说
a是一个负数,负数乘以符号就是正号了。
如
(2)2。
因此,当判断绝对值里面的数是一个负数的时候,一定要在这个式
子的前面添加一个负号。
例如:
ab0,则ab(ab)。
绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。
我就绝对值的几种题型进行详细讲解,希望能对你们有所帮助。
绝对值的性质:
(1)绝对值的非负性,可以用下式表示:
|a|≥0,这是绝对值非常重要的性质;
a(a>0)
(2)|a|=0(a=0)(代数意义)
-a(a<0)
(3)若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0;
(4)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|≥a,且|a|≥-a;
(5)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(几何意义)
a|a|
(6)|ab|=|a|·|b|;|b|=|b|(b≠0);
1
(7)|a|2=|a2|=a2;
(8)|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|
一:
比较大小
典型题型:
【1】已知a、b为有理数,且a
0,b
0,ab,则
(
)
A:
abb
a;
B:
bab
a;
C:
ab
ba;
D:
bb
aa
这类题型的关键是画出数轴,然后将点按照题目的条件进行标记。
因为是a0,b0,a
b
,
所以我们就在原点的左边标记。
a
b
0
a4,b3。
4
3,又因
如果你不知道谁在前面,你就自己找一个数字。
如:
为它们都是负数,所以a
4。
b
3
当我们把条件都标记好了,并假设了一个数值带入其中,我们就能准确地判断它们的大小了。
二:
判断点的位置或者原点的位置
经典题型
【1】不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C,如果
abbcac,那么,点B在()
A:
在A、C点的右边;B:
在A、C点的左边;
C:
在AC点之间;D:
上述三种均可能·
这个题目要求从已知条件入手,判断各自的大小关系。
首先将题目进行变形:
abbcacabbcac0
观察一下,三个式子最后的结果是“0”,而三个式子中刚好是2个a,2个b,2个c。
只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到ab0。
bc0,ac0
abbcacabbcac0
2
所以有:
a
b。
bc,a
c。
画出数轴:
c
b
a
由此可以得出
B点在AC之间。
但是原点呢?
ab
c。
A可以是正数也可以是负数。
因此原点可以在
a的左边也可以在右边。
这
样原点可以在
AB之间,也可以在
CB之间,还可以在
C的左边。
三:
已知点在数轴上的位置,简化或者计算。
典型题型
【1】实数a、b在数轴上的位置如图所示,那么,化简aba的结果是:
b
0
a
A:
2a-b;B:
b
;C:
-b;D:
-2a+b
从图中我们可以很准确地知道:
a
0
,b
0
,而且点b到原点的距离比点
a到原点
的距离还长,所以我们可以判断出
a
b
0
。
如果你不知道自己是否判断对了,就采用数
值法。
设a
2。
b
4。
ab
2
(
4)
2
4
6
0
ab
0直接开出来。
于是,原式
a
b
a=a
bab
【2】已知ac0b,且bc;化简bcbcacacab
虽然条件中没有给出各点所在的位置,但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关
系。
ac
0
b
b
2。
c
4,a
5
甚至你可以标记具体的数值帮助我们分析。
如
从数轴上可以看出,
b
c
0
。
b
c
0
。
a
c
0
,ac
0。
ab
0。
由绝对值
的性质可以得到b
c
b
c
a
c
a
c
a
b
(bc)(bc)(ac)(ac)(ab)
bcbcacacab
3b3a
【3】若1a3,则3a1a
这个题目给了a的取值范围,因此我们要对绝对值中的式子进行判断。
1a3,所以3a0,而1a0。
如果你怕自己判断错误,不妨设一个数
值,a2。
记住一定是在1和3之间取数值。
这样你就能知道自己是否判断正
3
确了。
3a1a(3a)(1a)3a1a2
如果没有给定区间,我们应该如何解答呢?
【4】化简3x12x1
这个题型,首先要在数轴上找出它们的零值点,也就是绝对值里面的式子必须等
于“0”,由此得到:
3x
10,解得x
1
2x10,解得x
1
3。
2。
3x
1
正
负
2x
1
正
负1
0
3
1
画数轴,然后将零值点标出,并延长其线段,再将属于零值点的式子标记上去。
以零2
值点为分界线,数轴右边为正,左边为负。
这样数轴就被分割成了三个部分。
第一部分:
x
1
3
3x
1
0
2x
1
0
由图上箭头方向可知:
。
3x
1
2x
1
(3x
1)
(2x
1)
5x
1
1
第二部分:
x
2
3
由图上箭头方向可知:
3x
1
0。
2x
1
0
3x
1
2x
1
(3x
1)
(2x
1)
x
2
第三部分:
x
1
2
3x
1
0。
2x
1
0
由图上箭头方向可知:
3x
1
2x
1
(3x
1)
(2x
1)
5x
千万记住:
取零值点!
!
!
四:
最小值或者最大值
经典题型
设a,b是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?
其值是多少?
【1】
我们知道:
绝对值是大于零的数,正数加正数会越来越大,所以,它会有最小值,
而这个最小值是9+0=9.所以ab0。
即|a+b|+9有最小值为9;
如果是9-|a+b|呢?
因为绝对值出来的数都是非负数,9减去一个非负数只能越来越小,所以,它就会有最大值9-0=9。
4
【2】设a,b是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?
其值是多少?
这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数,这样所得出来的数值
会越来越小。
因此它会有一个最大值-8。
小结:
这类题目关键是加法还是减法。
正数+绝对值时有最小值;正数-绝对
值时有最大值;负数-正数时有最大值。
【3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解:
如图,在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼,现在设立一个邮筒,为使五
栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短,邮局应立于何处?
ABCDE
分析:
我们来分析以下A、E两个点,不论这个邮筒放在AE之间的哪一点,A
到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。
也就是说邮筒放在
哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。
那么我们就使其他的3个点到
邮筒的距离之和最短,再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不
变的,等于BD。
最后,只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。
那
么当然也就是把邮筒放在C点了。
这里就体现了一个“向中心靠拢的思
想”
找出零值点,3,5,2,-1,-7
|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|
这个式子有5项,以此排序-7,-1,2,3,5,故取中间项:
x=2|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|=232522212716
题后小结论:
求|x-a1|+|x-a2|++|x-an|的最小值:
当n为奇数时,把a1、a2、an从小到大排列,x等于最中间的数值时,
该式子的值最小。
当n为偶数时,把a1、a2、an从小到大排列,x取最中间两个数值之间的数(包括最中间的数)时,该式子的值最小。
5
五:
求值
经典题型
【1】已知x
3;y
4,且x
y,则x
y
解:
x
3所以:
x
3。
y
4,所以y
4
xy,所以y4
y4
解得:
x3y4
x3
这类题目注意条件。
xy。
只要y比x大就可以,这里y只能取4.而x可以取3和-3.因此就会有两个答案。
【2】已知abc
0,若m
2a
?
3b
?
4c
m1
a
b
c则
解:
因为abc0,故此存在四种可能:
同为正,同为负,二正一负,二负一正。
(1)同为正,则m124+1=25
(2)同为负,则m1-24+1=-23
m1
(3)二正一负,则-24+1=-23
m1
(4)二负一正,则24+1=25
综合:
m125或者m1-23
【3】已知abc
0,若m
2a
3b
4c
a
b
c则m1
这个题目将乘法改成加法,这时,我们需要讨论的情形就要多一些。
6
(1)同为正数。
2a
3b
4c
m
a
b
c=2+3+4=9所.以,m110
(2)同为负数。
m
2a
3b
4c
a
b
c=-2-3-4=-9所以,m1
8
(3)a为正,b、c为负数
m
2a
3b
4c
234
5。
所以,m1
4
a
b
c
(4)a为正,b为正、c为负数
m
2a
3b
4c
234
1,所以,m
1
2
a
b
c
(5)a为正,b为负、c为正数
m
2a
3b
4c
234
3,所以,m
1
4
a
b
c
(6)a为负,b为正、c为负数
m
2a
3b
4c
234
3所以,m
1
2
a
b
c
(7)a为负,b为正、c为正数
m
2a
3b
4c
2
3
4
5所以,m
1
6
a
b
c
(8)a为负,b为负、c为正数
m
2a
3b
4c
2
3
4
1所以,m
1
0
a
b
c
这类题目一定要分别讨论。
最好的办法就是逐一排除。
【4】已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于1,求x2(ab)xcd
解:
a、b互为相反数,所以:
a+b=0.
c、d互为倒数,所以:
cd=1
x的绝对值等于1,所以x21
x2(ab)xcd1010
7
六:
0+0型
0+0型有集中很典型的题型
若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0;
第一类:
绝对值+绝对值:
因为绝对值出来的数都是非负数,而两个非负数相加要等于0.唯有绝对值里面的数等于0.
【1】已知x4
y
2
0,求x
y=
x
y
解:
x
4
y
2
0,所以有:
x-4=0.解得:
x=4;y+2=0解得:
y=-2
x
y
2
4
3
则:
x
y
2
4
【2】若x
y
3与x
y
1999互为相反数,求x
y=
x
y
解:
互为相反数的两个数之和等于
0.
因此有:
x
y
3+x
y
1999=0
解得:
x-y=-3;x+y=1999
x
y
1999
6661
x
y
3
3
若|x-a|+(x-b)2
则
x-a=0
且
;
=0,
x-b=0
第二类:
绝对值+平方
因为绝对值出来的数都是非负数,而平方数也是一个非负数,两个非负数相加等
于0,则各自为0.
(
4)n
2
=0,求y
x
的值
【2】若|x+3|+(y-1)
解:
x+3=0,所以:
x=-3;
y-1=0。
所以:
y=1
(
4)n
(
4)n
(1)n
y
x
1
3
讨论:
(
4)n
(
4)n
(1)n
1
y
x
1
3
当n为偶数时:
8
(
4)n
(
4)n
(1)n
1
当n为奇数时,y
x
1
3
第三类:
平方+平方
2
2
若(x-a)+(x-b)
=0,则x-a=0且x-b=0;
【3】已知(x
2)
2
(y4)2
0,求xy
(xy)
解:
x-2=0。
所以x=2;y+4=0,所以:
y=-4
xy(xy)2
(
4)
(24)
82
6
七:
分数求和
【1】已知ab2与b1互为相反数,求代数式
1
1
1
1
ab
(a1)(b1)
(a2)(b2)
(a
1999)(b1999)
解:
ab
2+b
1=0解得:
ab=2,b=1.a=2
1
1
1
1
ab
(a
1)(b
1)(a
2)(b2)
(a
1999)(b1999)
1
1
1
1
=2
2
3
3
4
2000
2001
1
1
1
1
1
1
1
=2
2
3
3
4
2000
2001
1
1
2000
=2001=2001
【2】化简
1
1
1
1
1
1
2004
2003
2003
2002
1003
1002
1
1
1
1
1
1
2004
2003
2003
2002
1003
1002
9
1
1
1
1
1
1
2003
2004
2002
2003
1002
1003
1
1
1
1
1
1
1
1
2003
2004
2002
2003
2001
2002
1002
1003
1
1
3007
=2004
1003
2004
1003
分式求和常用解法就是裂项。
裂项、裂项,就是将一个因式分裂成两个部分,它的原理是根据异分母相加
11
减,必须通分来分裂的。
如:
23因为分母不同,所以要通分。
分子分母同时
扩大相同的倍数,其值是不变的。
一般来说,最简单的通分方法就是分母互相扩大倍数。
“2”要扩大“3”倍,而“3”要扩大“2”倍。
这样一来该题就可以变成:
1
1
3
2
3
2
1
2
3=
2
3
23=2323。
例题分析
1
1
1
1
【1】2
3
3
4
4
5
99100
(1-1)(1-1)(1-1)
1-1
=
2
3
3
4
4
5
99
100
11
=2100。
由此,我们得到一个结论:
如果因式分母之间的差为“1”的时候,裂项成两个分式之间相减,其分子也是“1”.最后得到第一项减去最后一项。
通项公式:
1
1
1
1
1
n
(n
1)
n
n
1
其和为:
n1
nn。
也就是“首项—末项”。
1
1
1
1
1
【2】2
5
5
8
8
11
11
14
299
302
1
1
1
1
1
1
解:
原式=(2
55
8
8
1111
14
299
302)×3×3
(
3
5
3
8
3
11
3
299
3
)
1
=2
5
8
11
14
302
3
10
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
5
5
8
8
11
299
)
3
=
302
(1
1
)
1
=2
302
3
m
1
1
从而我们得出一个通项公式:
n(n
m)n
nm。
11
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