《高等数学》考研名校考研真题库同济大学.docx
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《高等数学》考研名校考研真题库同济大学
《高等数学》考研2021名校考研真题库同济大学
第一部分 考研真题精选
第1章 函数与极限
一、选择题
1若
,则f(x)第二类间断点的个数为( )。
[数二、数三2020研]
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C查看答案
【解析】由f(x)表达式知,间断点有x=0,±1,2。
因为
存在,故x=0为可去间断点;
因
,故x=1为第2类间断点;
因
,故x=-1为第2类间断点;
因
,故x=2为第2类间断点;
综上,共有3个第二类间断点,故应选C项。
2当x→0时,若x-tanx与xk是同阶无穷小,则k=( )。
[数一2019研]
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C查看答案
【解析】tanx在x=0处的泰勒展开式为:
tanx=x+(1/3)x3+o(x3),因此当x→0时有x-tanx~-(1/3)x3,即x-tanx与-(1/3)x3是x→0时的等价无穷小,进一步可得x-tanx与x3是同阶无穷小,所以k=3,故选C。
3已知方程x5-5x+k=0有3个不同的实根,则k的取值范围( )。
[数三2019研]
A.(-∞,-4)
B.(4,+∞)
C.{-4,4}
D.(-4,4)
【答案】D查看答案
【解析】方程x5-5x+k=0有3个不同实根等价于曲线y=x5-5x与直线y=-k有3个不同的交点,因此研究曲线y=x5-5x的曲线特点即可。
令f(x)=x5-5x,则f(x)在R上连续,且f′(x)=5x4-5,再令f′(x)=0,得x=±1,通过分析f′(x)在稳定点x=±1左右两侧的符号,可知当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增。
又由于
f(-1)=4,f
(1)=-4,结合上述函数f(x)的单调特性,可知当-4<k<4时,曲线y=x5-5x与直线y=-k有3个交点,故选D。
4设函数
若f(x)+g(x)在R上连续,则( )。
[数二2018研]
A.a=3,b=1
B.a=3,b=2
C.a=-3,b=1
D.a=-3,b=2
【答案】D查看答案
【解析】
由于f(x)+g(x)在R上连续,所以
因此1+a=-2⇒a=-3。
因此1-b=-1⇒b=2。
5若函数
在x=0处连续,则( )。
[数一2017研]
A.ab=1/2
B.ab=-1/2
C.ab=0
D.ab=2
【答案】A查看答案
【解析】由连续的定义知
即
又当x→0时,
代入得1/(2a)=b,即ab=1/2。
6设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图1-1所示,则( )。
[数三2016研]
图1-1
A.函数f(x)有2个极值点,曲线y=f(x)有2个拐点
B.函数f(x)有2个极值点,曲线y=f(x)有3个拐点
C.函数f(x)有3个极值点,曲线y=f(x)有1个拐点
D.函数f(x)有3个极值点,曲线y=f(x)有2个拐点
【答案】B查看答案
【解析】如图1-2所示,f′(x)在a,c,d三点取值为0,有可能为f(x)的极值点,a点:
当x<a时,f′(x)>0;当x>a时,f′(x)<0,所以a点为极大值点,c点:
当x<c时,f′(x)<0;当x>c时,f′(x)>0,所以c点为极小值点,d点:
当x<d时,f′(x)>0;当x>d时,f′(x)>0,所以d点不是极值点,所以,f(x)有2个极值点。
图1-2中,b,e,d有可能为f(x)的拐点,b点:
当x<b时,f′(x)递减,f″(x)<0;当b<x<e时,f′(x)递增,f″(x)>0,所以b点为拐点,e点:
当b<x<e时,f′(x)递增,f″(x)>0;当e<x<d时,f′(x)递减,f″(x)<0,所以e点为拐点,d点:
当e<x<d时,f′(x)递减,f″(x)<0;当x>d时,f′(x)递增,f″(x)>0,所以d点为拐点,所以,f(x)有3个拐点。
图1-2
二、填空题
1
______。
[数一2020研]
【答案】-1查看答案
【解析】
2
______。
[数二2019研]
【答案】4e2
【解析】运用重要极限和洛必达法则,计算得
3
______。
[数三2019研]
【答案】1/e查看答案
【解析】计算
因此
4
,则k=______。
[数一2018研]
【答案】-2查看答案
【解析】由于
故k=-2。
三、解答题
1求曲线y=x1+x/(1+x)x(x>0)的斜渐近线方程。
[数二2020研]
解:
因为
从而曲线的斜渐近线方程为y=x/e+1/(2e)。
2已知(1+1/n)n-e与b/na为n→∞时的等价无穷小,求a,b。
[数三2020研]
解:
由题意有
令1/n=t,则
从而a+1=2,-e/(2b)=1,解之得
。
3设
(Ⅰ)证明:
数列{an}单调递减,且an=(n-1)an-2/(n+2)(n=2,3,…);
(Ⅱ)求
。
[数一2019研]
证明:
(Ⅰ)对∀x∈[0,1],都有
因此
即an≥an+1,数列{an}单调递减,计算an可得
因此an=(n-1)an-2/(n+2)(n=2,3,…)。
(Ⅱ)由(Ⅰ)中结果{an}单调递减且an>0,因此有an/an-2≤an/an-1≤an/an=1,故可得
根据夹逼准则,有
4已知实数a、b满足
求a,b。
[数三2018研]
解:
计算如下
由题设知
故[(a+bt)et-1]|t=0=a-1=0,可得a=1。
将a=1代入
利用洛必达法则得
故b=1。
5设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小,求a,b,k的值。
[数一、数二、数三2015研]
解:
先分别计算f′(x),g′(x)的极限,则
假设1+a≠0,则
这与题目已知条件相矛盾,所以1+a=0,得a=-1。
又
同理可知,1+2b=0,计算得b=-1/2。
因为
且
,所以k=-1/3。
综上,a=-1,b=-1/2,k=-1/3。
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