专题一独立性检验题型归纳.docx

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专题一独立性检验题型归纳

专题一、独立性检验

题型一、独立事件的判断

1、独立事件的定义：

对于两个事件A、B，如果有P（AB）=P（A）P（B）就称事件A与B互相独

立，简称A与B独立．

2、当事件A与B独立时，事件

与B、A与

、

与

也独立．

【例1】从一副52张扑克牌（不含大小王）中，任意抽一张出来，设事件A：

“抽到黑桃〞，

B:

“抽到皇后Q〞，试用P（AB）＝P（A）·P（B）验证事件A与B及

与

是否独立？

【变式1】设两个独立事件A和B都不发生的概率为

，A发生B不发生的概率与B发生A

不发生的概率相同，那么事件A发生的概率P（A）是（　　）

A、

　　　　　　B、

C、

D、

【变式2】掷一枚硬币，记事件A：

“出现正面〞，B：

“出现反面〞，那么有（　　）

A、A与B相互独立　　　B、P（AB）＝P（A）·P（B）

C、A与

不相互独立D、P（AB）＝

【变式3】坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A表示第一次摸到

白球，B表示第二次摸到白球，那么A与B是（　　）

A、互斥事件B、相互独立事件

C、对立事件D、不相互独立事件

【变式4】假设生男孩和生女孩是等可能的，设事件A为“一个家庭中既有男孩，又有女

孩〞，事件B为“一个家庭中最多有一个女孩〞．某一家庭有三个小孩，那么事

件A与B是否独立？

【变式5】〔1〕甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：

“甲击中目标〞，事件B：

“乙击中目标〞，那么事件A与事件B〔〕

A、相互独立但不互斥B、互斥但不相互独立

C、相互独立且互斥D、既不相互独立也不互斥

（2）掷一颗骰子一次，设事件A：

“出现偶数点〞，事件B：

“出现3点或6点〞，

那么事件A，B的关系是（）

A、互斥但不相互独立B、相互独立但不互斥

C、互斥且相互独立D、既不相互独立也不互斥

题型二、独立性检验

1、2×2列联表

判断两个事件A、B是否有关，我们可以把A发生、A不发生（

）、B发生、B不发生（

）的数据列成以下表格

B

合计

A

合计

这个表格称为2×2列联表．

注意:

（1）作独立性检验时，要求2×2列联表中的4个数据都要大于等于5。

（2）对于同一样本|

-

|越大，说明A与B之间的关系越强，反之越弱。

2、统计量K2（读作“卡方〞〕

用它的大小可以判断事件A，B是否有关。

3、独立性检验思想

（1）用H0表示事件A与B独立的决定式，即H0：

P（AB）＝P（A）P（B），称H0为统计假设。

（2）用K2与其临界值3.841与6.635的大小关系来决定是否拒绝统计假设H0，如表：

大小比拟

结论

K2≤3.841

事件A与B是无关的

K2>3.841

有95%的把握说事件A与B有关

K2>6.635

有99%的把握说事件A与B有关

【例2】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查

52名中学生，得到统计数据如表1至表4，那么与性别有关联的可能性最大的变量是〔 〕。

A、成绩B、视力C、智商D、阅读量

【变式1】假设两个分类变量X与Y,它们的取值分别为{x1,x2},{y1,y2},其2×2列联表如图

所示：

对于以下数据,对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为〔〕

Y1

Y2

总计

X1

a

b

a+b

X2

c

d

c+d

总计

a+c

b+d

a+b+c+d

A、a=5，b=4，c=3，d=2B、a=5，b=3，c=2，d=4

C、a=5，b=2，c=4，d=3D、a=2，b=3，c=5，d=4

【变式2】某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙门氏菌带菌情况，结果如下表，试

检验屠宰场与零售点猪肉带菌率有无差异.

带菌头数

不带菌头数

合计

屠宰场

8

32

40

零售点

14

18

32

合计

22

50

72

【变式3】为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100例该病病人随机地分成两组，

一组40人，服用A药；另一组60人，服用B药．结果发现：

服用A药的40人中

有30人治愈；服用B药的60人中有11人治愈．问A、B两药对该病的治愈率之间

是否有显著差异？

【变式4】有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优

秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀

非优秀

总计

甲班

10

b

乙班

c

30

总计

105

在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为

，那么以下说法正确的选项是〔　　〕

A、列联表中c的值为30，b的值为35

B、列联表中c的值为15，b的值为50

C、根据列联表中的数据，假设按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系〞

D、根据列联表中的数据，假设按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系〞

【变式5】在一次对性别与是否说谎的调查中，得到如下数据，根据表中数据得到如下结论

中正确的选项是〔　　〕

说谎

不说谎

合计

男

6

7

13

女

8

9

17

合计

14

16

30

A、在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关

B、在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关

C、在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关

D、在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关

【变式6】为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70

名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力〔〕

A、平均数B、方差C、回归分析D、独立性检验

【变式7】某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关〞作了一次调查,其中女生人数是男生

人数的

男生喜欢韩剧的人数占男生人数的

女生喜欢韩剧的人数占女生人

数的

.假设在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，

那么男生至少有多少人?

题型三、独立性检验思想的综合应用

【例3】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调

查结果如下表所示：

喜欢甜品

不喜欢甜品

合计

南方学生

60

20

80

北方学生

10

10

20

合计

70

30

100

（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯

方面有差异〞；

（Ⅱ）在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学

生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率。

附：

P（x2>k）

0.100

0.050

0.010

k

2.706

3.841

6.635

分析：

〔Ⅰ〕根据表中数据，利用公式，即可得出结论；

〔Ⅱ〕利用古典概型概率公式，即可求解．

【变式1】某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学

生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运

动时间的样本数据（单位：

小时）．

（1）应收集多少位女生的样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图,其中样本

数据的分组区间为：

[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学

生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关〞． 

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.010

0.005

K0

2.706

3.841

6.635

7.879

【变式2】微信是现代生活进行信息交流的重要工具,距据统计,某公司200名职工中90%的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人,其余每天使用微信在一小时以上,假设将职工年龄分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段,使用微信的人中75%是青年人,假设规定：

每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,经常使用微信的职工中23是青年人。

（Ⅰ）假设要调查该公司使用微信的职工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表。

2×2列联表。

青年人

中年人

合计

经常使用微信

不经常使用微信

合计

（Ⅱ）由列联表中所得数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关〞?

（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信〞中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A“选出的2人均是青年人〞的概率。

附：

 P（K2⩾k）

 0.010

 0.001

 k

 6.635

 10.828

【变式3】某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸（单位：

mm）的值落在[29.94,30.06）的零件为优质品。

从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：

甲厂的零件内径尺寸：

分组

[29.86,29.90）

[29.90,29.94）

[29.94,29.98）

[29.98,30.02）

[30.02,30.06）

[30.06,30.10）

[30.10,30.14）

频数

15

30

125

198

77

35

20

乙厂的零件内径尺寸：

分组

[29.86,29.90）

[29.90,29.94）

[29.94,29.98）

[29.98,30.02）

[30.02,30.06）

[30.06,30.10）

[30.10,30.14）

频数

40

70

79

162

59

55

35

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关〞；

甲厂

乙厂

合计

优质品

非优质品

合计

附：

 P（K2⩾k0）

 0.100

 0.050

 0.010

 0.025

 0.001

 k

 2.706

 3.841

 5.024

 6.635

 10.828

（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分两层）从乙厂中抽取5件零件，求从这5件零件中任意取出2件，至少有1件非优质品的概率。

达标训练

1、事件A、B相互独立，以下四个式子①P（AB）＝P（A）·P（B）　②P（

B）＝P（

）·P（B）

③P（A

）＝P（A）·P（

）　④P（

）＝P（

）·P（

）其中正确的有（　　）个

A、1　　B、2　　C、3　　D、4

2、某甲上大学前把号码抄给同学乙．后来同学乙给他打时，发现号码的最后一个

数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复，

那么拨号不超过2次而拨对甲的号码的概率是（　　）

A、

B、

C、

D、

3、在2×2列联表中，四个变量的取值n11，n12，n21，n22应是（　　）

A、任意实数B、正整数C、不小于5的整数D、非负整数

4、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，以下说法正确的选项是（　　）

A、假设χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中

必有99人患有肺病

B、从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，

那么他有99%的可能患有肺病

C、假设从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使

得推断出现错误

D、以上三种说法都不正确

5、对于分类变量A与B的统计量χ2，以下说法正确的选项是（　　）

A、χ2越大，说明“A与B有关系〞的可信度越小

B、χ2越大，说明“A与B无关〞的程度越大

C、χ2越小，说明“A与B有关系〞的可信度越小

D、χ2接近于0，说明“A与B无关〞的程度越小

6、在使用独立性检验时，以下说法正确的个数为______．

①对事件A与B的检验无关时，两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，那么χ2就越大；③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据；④假设判定两事件A与B有关，那么A发生B一定发生．

7、为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：

无效

有效

合计

男性患者

15

35

50

女性患者

6

44

50

合计

21

79

100

计算χ2≈_____，从而得出结论：

服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为___．

8、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关〞

的结论，并有99%以上的把握认为这个结论是成立的，以下说法中正确的选项是（　　）

A、100个吸烟者中至少有99个患有肺癌

B、1个人吸烟，那么这个人一定患有肺癌

C、在100个吸烟者中一定有患肺癌的人

D、在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有

9、假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：

y1

y2

合计

x1

a

b

a＋b

x2

c

d

c＋d

合计

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

以下数据中，对于同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为（　　）

A、a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B、a＝5，b＝3，c＝4，d＝2

C、a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D、a＝2，b＝3，c＝5，d＝4

10、有2×2列联表如下：

B

合计

A

a

21

73

2

25

27

合计

b

46

n

由上表可计算χ2≈________.（精确到0.0001）

11、在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不

是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶．请用独立性检验方法判断秃顶与患

心脏病是否有关系？

12、在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女

性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中

21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．

（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；

（2）判断性别与休闲方式是否有关系．