完整版二项式定理知识点和各种题型归纳带答案x.docx
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完整版二项式定理知识点和各种题型归纳带答案x
a)n是不同的。
0逐项减到n,是升幕排列。
各项的
Cnn・项的系
二项式定理
1.二项式定理:
(ab)nCn°anCn1anIbLCnranrbrLCnnbn(nN),
2.基本概念:
1二项式展开式:
右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。
2二项式系数:
展开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,,n).
3项数:
共(r1)项,是关于a与b的齐次多项式
4通项:
展开式中的第rl项Cnra11rbr叫做二项式展开式的通项。
用Tr1Cnran-br表示。
3.注意关键点:
①项数:
展开式中总共有(n1)项。
②顺序:
注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(ab)11与(b
③指数:
a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。
b的指数从次数和等于n.
④系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是
4.
常用的结论:
5.
性质:
③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和:
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
(a
x)nCn0
anx°
1
Cn
(x2
l)nCn°
a°xn
Cjaxn1
c
令X
1,则ao
ai
H2
a3L
令X
1,则ao
ai
H2
a3
L
①
②得,a°
a2
H4L
an
①
②得,ai
a3
a5L
Hn
2an2x2LCn11a0xnaoaix1
n2a2xn2LCnnanx°anx11L
an(al)n
an(al)n
~_房(奇数项的系数和
2
空(偶数项的系数和
a2X2
a?
x2
Lanxn
aix1
ao
⑤二项式系数的最大项:
如果二项式的幕指数n是偶数时,则中间一项的二项式系数
n
Cn2取得最大值。
如果二项式的幕指数n是奇数时,则中间两项的二项式系数
n1n1
Cn2,Cn2同时
取得最大值。
⑥系数的最大项:
求(abx)n展开式屮最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
,设第I*1项系数最大,应有
Ar1
Ar1
Ar
从而解岀r来。
A
r2
6.二项式定理的十一种考题的解法:
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
Cn1Cn26Cn362
LCnn
6n1
解:
(16)nCn°Cn1
Cn2
62
Cn3
63LCJ6"与已知的有一些差距,
练:
解:
Cn1Cn2
-(Cn°
6
Cn1
设Sn
3Sn
Sn
3Cn2
Cn1
CJ3
(1
6Cn3
9Cn3
3Cn2
Cn232
3)n1
题型二:
利用通项公式求
例:
在二项式
疗)11的展开式屮倒数第
62
Cn
262
1-(Cn
6
LCnn6n1)
6Cn262
1
-[(16)n
6
1]
Cj6n)
丄(7n1)
6
L3n1Cn11
9Cn3L3n1Cn11,则
Cj3Cn232
Cn
333LCnn3n1(13)n1
4n1
Xn的系数;
3项的系数为45,
求含有X3的项的系数?
解:
由条件知Cn11245,即Cn2
45,n2
n900,解得n
9(舍去)或n10,由
12
10r2
r
2
inr
r
Tr1C10r(X4)10r(X3)r
Ciorx43,由题意4
3
则含有x3的项是第7项T6
iCio6x3210x3,
系数为210
0
练:
求(X2J_j9展开式中x9
的系数?
2x
'TriC9r(x2)9r(-L)r
C9rX182r(-J-)rXr
C9r(l)r
x183r,
2x
2
2
故x9的系数为C93(丄)3
■34-0
2
2
题型三:
利用通项公式求常数项;
例:
3,解得r
令183r9,则r3
1°的展开式屮的常数项?
求二项式(2X_L)6的展开式中的常数项?
2x
T4(I)3C6320
例:
求二项式(V7仮卩展开式中的有理项?
只有第5项的二项式最大,则耳15,即n&所以展开式屮常数项为第七项等于2
C8()7
例:
解:
写出在(ab)7的展开式中,系数最大的项?
系数最小的项?
因为二项式的幕指数7是奇数,所以屮间两项(第4,5项)的二项式系数相等,且同时取得最大
值,从而有T4C73a4b3的系数最小,T5C74a3b4系数最大。
1
例:
若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(一2x)n的展开式屮系数最大的项?
2
解:
由C,Cn1Cn279,解出n12,假设项最大,QL2x)12(_)12(14x)12
22
展开式中系数最大的项为Til,有Til(-L)12C121O410X1016896x10
2
练:
在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少?
解:
假设T「1项最大,QTr1Cior2rxr
Ar1
Ar
Ci0r2rCiorJ2r!
2(11
解得
r)r
化简得到6.3k7.3,又
Ar1
Ar2
Cior2rCior21,r1
2(10r)
Q0r
10,
r7,展开式中系数最大的项为
TsCio727x7
15360x7・
题型七:
含有三项变两项;
例:
求当(x23x2)'的展开式屮x的一次项的系数?
解法①:
(x23x2)5[(x22)3x]5,TriC5r(x22)5r(3x)r,当且仅当r1时,的
展开式中才有x的一次项,此时T「|T2C5\x22)43x,所以x得一次项为243x
它的系数为C51C44243240o
解法②:
(x23x2)5(xl)5(x2)5(C5°x5C5FC55)(C50x5C51x42C5525)
故展开式屮含x的项为C54xC5525C54x24240x,故展开式中x的系数为240.
题型八:
两个二项式相乘;
例:
求(12x)3(1x)4展开式中X?
的系数.
解:
Q(12x)3的展开式的通项是C3m(1X)°的展开式的通项是
(2x)mC3m2mxm
c4n(
0且
令mn2,则mn
2,m1
n
x)nC4nlnx",其中m0,l,2,3,n且
l,m2且n0,因此(12x)3(1
0,1,234,
x)4
的展开式中X?
的系数等于
C302°
C42(I)2C3121C41(I)1C3222
C4°
(1)°6.
练:
求(1yx)6(i
_L)10展开式中的常数项.
4X
解:
mn
(137x)6(l卡)】。
展开式的通项为C6mx^Cio11x4C6mCion
V
4X
4m3n
其中当且仅当即m
m0,1,2,,6,n0,1,2,,10,4m3n,n
0,或m
0,n
3,或m6,
4,n&
时得展开式中的常数项为C6°Cio0C63Cio4C66Cio84246.
练:
2丄n*
已知(1xx)(xX3)的展开式中没有常数项,nN且2n&则n
解:
(Xi)n展开式的通项为CnrXnrX3rCjX“牡,通项分别与前面的三项相乘可得
X
CnrXn4r,CnrXn4r\cnrXn4r展开式中不含常数项,2118
n4i•且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7Mn2,6,n5.
题型九:
奇数项的系数和与偶数项的系数和;
2)2006的二项展开式中,含X的奇次幕的项之和
例:
在(x
S,当x君时,S
解:
设(x^2)2006=aoaix1a2x2a3x3La2006x2006
x^2)2006=aoaix1a2x2a3x3La2006x2006
①②得2(aiXU3X3“5x5L32005X200?
)(X
(X向2006展开式的奇次幕项之和为S(x)-[(X
2
2006
(x
2006
C)2006(x
当X
2006
[(
2
3008
2
题型十:
赋值法;
『-
例:
设二项式(3WX1)"的展开式的各项系数的和为
X
ps272,则n等于多少?
解:
若(33X1)n
X
aoajxa2x2
anxn
有Paoai
Cn°Cn
4n,又ps272
即4n2n
272(2n17)(2n16)
0解得
2n16或2"
17(舍去),n4.
练:
若
1
7;
的展开式中各项系数之和为
64,则展开式的常数项为多少?
的展开式屮各项系数Z和为
2n64,所以n6,则展开式的常数
项为C63(3^)3(4=)3540.
a
例:
若(1
2x)
2009
ao
1aix
2
a2X
3a3x
aX2009
L2009(XR),则
ai
a22009
22009白、J值为
2
22
解:
令X
—,可得ao
时2
0,冊叶
ao
2
22
2
22009
222
22009
0可得
ai
H2
a
2009
在令
X
ao
1,因而
1・
2
22
22009
练:
若(X
2)5
a5x>
a4x4
a3X3
a2x2
aix1ao,则ai
a2a3
a4
a5
1得
解:
令X
0得ao32
令x
ao
ai
a2a3a4a5
1,
ai
H2
H3H4
a5
31.
题型十一:
整除性;
9Cn°i8n
1)18n
例:
证明:
32n2
8n9(nN"
J能被64整除
ilE:
32n2
8n9
9n18n9
(8l)n18n9
Cn
°i8n1
Co118nC
JiFCJi8】Cnnl18n9
Cn°18n1Co118n
CJW8(n
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