解三角形知识点汇总和典型例题学生版.docx
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解三角形知识点汇总和典型例题学生版
呈贡进阶教育学科辅导教案讲义
授课对象
婷婷
授课教师
明江
授课时间
9月27日
授课题目
解三角形复习总结
课型
复习课
使用教具
人教版教材
教学目标
熟练掌握三角形八兀素之间的关系,会解三角形
教学重点和难点
灵活解斜三角形
4.TV、二t幼r士扌
«土厶rJLrr八/ZrXzlW-
参考教材
人教版必修5第一早
教学流程及授课详案
解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备:
1直角三角形中各元素间的关系:
在厶ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。
(1)三边之间的关系:
a2+b2=c2。
(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:
A+B=90°;
(3)边角之间的关系:
(锐角三角函数定义)
sinA=cosB=—
cosA=sinB=b,tanA=—
。
c
cb
2•斜三角形中各兀素间的关系:
在厶ABC中,ABC为其角,a、b、c分别表示A、BC的对边。
(1)三角形角和
:
A+B+C=n。
(2)正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
ab
c
sinAsinB
2R(R为外接圆半径)
sinC
(3)余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积
的两倍
a2=b2+c2—2bccosA;b2=c2+a2—2cacosBc2=a2+b2—
2abcosC°
3•三角形的面积公式:
111一亠
(1)S=—aha=—bhb=—chc(ha、hb、he分别表示a、b、c上的咼)
;
2
22
111
(2)S=一absinC=一bcsinA=—acsinB;
2
22
4•解三角形:
由三角形的六个元素(即三条边和三个角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形•广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及切圆半径、外接圆半径、面积等等•主要类型:
(1)两类正弦定理解三角形的问题:
第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角
第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角
(2)两类余弦定理解三角形的问题:
第1、已知三边求三角•
第2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角
5•三角形中的三角变换
三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
(1)
角的变换
(2)
(4)检验:
检验上述所否符合实际意义。
二、典例解析
题型1:
正、余弦定理
且bc,则b
6.(15年文科)ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m(a^3b)与n
平行•
(I)求A;
(II)若ax7,b2求ABC的面积.
7.(15年文科)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
3.15,bc2,cosA
(I)求a和sinC的值;
(H)求cos2A§的值.
题型2:
三角形面积
1、2013新课标2)ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2,B一,c一,则ABC
64
的面积为()
(A)232(B)1(C)Z32(D),31
2、在ABC中,sinAcosA2,AC2,AB3,求tanA的值和ABC的面积。
题型3:
三角形中的三角恒等变换问题
1.在厶ABC中,a、b、c分别是/AZB、/C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2—
bsinB
c2=ac—be,求ZA的大小及的值。
c
题型4:
正、余弦定理判断三角形形状
1.在△ABC中,若2eosBsinA=sinC,则厶ABC的形状一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
题型5:
三角形中求值问题
Bc
1、ABC的三个角为A、B、C,求当A为何值时,eosA2eos取得最大值,并求出这个最大值。
题型6:
正余弦定理的实际应用
例6.(2009卷文,理)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面,B,D为两岛上的两座灯塔
00
的塔顶。
测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点
和D点的仰角均为60°,AC=0.1km。
试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求
a
三、思维总结
1•解斜三角形的常规思维方法是:
(1)已知两角和一边(如A、BC),由A+B+C=n求C由正弦定理求a、b;
(2)已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B^C=n,求另一角;
(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C=n求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况;
(4)已知三边a、b、c,应余弦定理求AB,再由A+B^C=n,求角C。
2•三角学中的射影定理:
在△abc中,bacosCccosA,…
3•两角与其正弦值:
在厶abc中,ABsinAsinB,
4•解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
三、课后跟踪训练
1.(2010文数18.)若厶ABC的三个角满足
sinA:
sinB:
sinC5:
11:
13,则△ABC()
(A)—定是锐角三角形.(B)—定是直角三角形.
(C)一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
则A=()
4.(2010理数)11.已知a,b,c分别是△ABC的三个角A,B,C所对的边,若a=1,b=「3,A+C=2B,则sinC二.
AC
5(2009卷文)在锐角ABC中,BC1,B2A,则的值等于,AC的取值围
cosA
为
22
6.(2009全国卷I理)在ABC中,角a、b、c的对边长分别为a、b、c,已知ac2b,
且sinAcosC3cosAsinC,求b
8.(2009卷文)在ABC中,AB为锐角,角AB、C所对的边分别为a、b、c,且
sinA-J5sinBJ10
sinA—,sinB
510
(I)求AB的值;(ii)若abJ21,求a、b、c的值。
””
9.(2010文数17)(本小题满分12分)
在厶ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,
AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
10.(2010文数17)(本小题满分12分)在ABC中,a、b、c分别为角aB、C的对边,且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC
(i)求A的大小;
(n)若sinBsinC1,试判断abc的形状.
11.(2010理数)在厶ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,
且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.
(i)求A的大小;
(n)求sinBsinC的最大值.
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