广东省广州市白云区广大附中实验中学学年九年级上学期月考数学试题.docx
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广东省广州市白云区广大附中实验中学学年九年级上学期月考数学试题
广东省广州市白云区广大附中实验中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
评卷人
得分
一、单选题
1.下列有理数是正整数的是( )
A.3B.
C.0D.
2.如图,数轴上点
表示的数可能是()
A.1.5B.-2.6C.-1.6D.2.6
3.方程
的解为( )
A.x=2B.x=6C.x=﹣6D.x=﹣3
4.下列计算正确的是( )
A.33=9B.(a3)4=a12
C.(a﹣b)2=a2﹣b2D.a2•a3=a6
5.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a(x﹣h)2+k的形式为( )
A.y=(x﹣4)2+7B.y=(x+4)2+7C.y=(x﹣4)2﹣25D.y=(x+4)2﹣25
6.如图,在方格纸中,将
绕点
按顺时针方向旋转90°后得到
,则下列四个图形中正确的是()
A.
B.
C.
D.
7.下列命题中,假命题是( )
A.平面内,若a∥b,a⊥c,那么b⊥c
B.两直线平行,同位角相等
C.负数的平方根是负数
D.若
=
,则a=b
8.从1,2,﹣3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是( )
A.0B.
C.
D.1
9.如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形各边都相切,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是( )
A.4πB.3πC.2πD.π
10.如图,E为正方形ABCD边AB上一动点(不与A重合),AB=4,将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF,再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME.下列结论:
①连接AM,则AM∥FB;②连接FE,当F,E,M共线时,AE=4
﹣4;③连接EF,EC,FC,若△FEC是等腰三角形,则AE=4
﹣4,其中正确的个数有( )个.
A.3B.2C.1D.0
评卷人
得分
二、填空题
11.若
在实数范围内有意义,则实数
的取值范围是_______________.
12.分解因式:
25x2﹣16y2=_____.
13.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点D,连接BD,若AD=4,则DC的长为_____.
14.若关于x,y的方程组
有唯一解,则k的值是_____.
15.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,∠B=50°.现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为_____.
16.已知:
A(-3,0),B(0,3),C是平面内任意一点,AC=1,D是BC的中点,则DO的取值范围是_____________.
评卷人
得分
三、解答题
17.解方程组:
.
18.已知:
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC上一点,且DA=DB,∠B=15°.求∠CAD的度数.
19.已知(am)n=a6,(am)2÷an=a3
(1)求mn和2m﹣n的值;
(2)求4m2+n2的值.
20.某校学生会为了解环保知识的普及情况,从该校随机抽取部分学生,对他们进行了垃圾分类了解程度的调查,根调查收集的数据绘制了如下的扇形统计图,其中对垃圾分类非常了解的学生有30人.
(1)本次抽取的学生有人;
(2)请补全扇形统计图;
(3)请估计该校1600名学生中对垃圾分类不了解的人数.
21.暑期临近,本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动,去我省沿海城市旅游,报名的人数共有69人,其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人.
(1)旅游团中成人和儿童各有多少人?
(2)旅行社为了吸引游客,打算给游客准备一件T恤衫,成人T恤衫每购买10件赠送1件儿童T恤衫(不足10件不赠送),儿童T恤衫每件15元,旅行社购买服装的费用不超过1200元,请问每件成人T恤衫的价格最高是多少元?
22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)作AB的垂直平分线l,交AB于点D,连接CD,分别作∠ADC,∠BDC的平分线,交AC,BC于点E,F(尺规作图,不写作法,保作图痕迹);
(2)求证:
四边形CEDF是矩形.
23.如图,AB为⊙D的切线,BD是∠ABC的平分线,以点D为圆心,DA为半径的⊙D与AC相交于点E.
(1)求证:
BC是⊙D的切线;
(2)若AB=5,BC=13,求AC和AD的长.
24.如图1,在正方形ABCD和正方形AEFG中,边AE在边AB上,AB=2AE=4.将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α(0°≤α≤60°).
(1)如图2,当α>0°时,求证:
△DAG≌△BAE;
(2)在旋转的过程中,设BE的延长线交直线DG于点P.
①如果存在某时刻使得BF=BC,请求出此时DP的长;
②若正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°,求旋转过程中点P运动的路线长.
25.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数
图象的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.
(1)当m=5时,求n的值.
(2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y
时,自变量x的取值范围.
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
根据有理数的分类可以得解.
【详解】
解:
A、3是正整数,正确;
B、
是正分数,不是正整数,错误;
C、0是整数,不是正数,错误;
D、
是负分数,不是正整数,错误;
故选A.
【点睛】
本题考查有理数的应用,熟练掌握整数与分数,正数与负数的意义是解题关键.
2.B
【解析】
【分析】
根据数轴得出M点表示的数的范围,再根据有理数的大小比较判断即可.
【详解】
解:
设点M表示的数是x,
由数轴可知:
M点表示的数大于-3,且小于-2,即-3<x<-2,
∴数轴上点
表示的数可能是-2.6.
故选B.
【点睛】
本题考查了学生的观察图形的能力和辨析能力,注意:
两个负数比较大小,其绝对值大的反而小,在数轴上左边的数比右边的数小.
3.B
【解析】
【分析】
方程两边同乘以x(x-2),将分式方程化为整式方程,解整式方程,最后验根.
【详解】
解:
方程两边同乘以x(x-2),得
3(x-2)=2x,
去括号,得3x-6=2x,
移项,得x=6,
检验:
当x=6时,x(x-2)=24≠0,
∴x=6是原方程的解,
故选:
B
【点睛】
本题考查了解分式方程,熟练掌握分式方程的方法以及最后要验根是解题的关键.
4.B
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方;幂的乘方法则:
底数不变,指数相乘;完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2;同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加分别进行计算即可.
【详解】
A、33=27,故原题计算错误;
B、(a3)4=a12,故原题计算正确;
C、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故原题计算错误;
D、a2•a3=a5,故原题计算错误;
故选B.
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法,关键是熟练掌握各计算法则.
5.C
【解析】
【分析】
直接利用配方法进而将原式变形得出答案.
【详解】
y=x2-8x-9
=x2-8x+16-25
=(x-4)2-25.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的三种形式,正确配方是解题关键.
6.B
【解析】
【分析】
根据绕点
按顺时针方向旋转90°逐项分析即可.
【详解】
A、
是由
关于过B点与OB垂直的直线对称得到,故A选项不符合题意;
B、
是由
绕点
按顺时针方向旋转90°后得到,故B选项符合题意;
C、
与
对应点发生了变化,故C选项不符合题意;
D、
是由
绕点
按逆时针方向旋转90°后得到,故D选项不符合题意.
故选:
B.
【点睛】
本题考查旋转变换.解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数.
7.C
【解析】
【分析】
依题意,A选项,利用平行具有传递性即可;B选项,结合平行线的性质即可;C选项,利用平方根的定义即可;D选项,立方根的性质及定义.
【详解】
A选项,平面内,若a∥b,a⊥c,那么b⊥c,利用平行具有传递性可知,A选项是真命题;
B选项,结合平行的性质,两直线平行,同位角相等,可知,B选项是真命题;
C选项,负数没有平方根,C选项是假命题;
D选项,由立方根的性质可知,
,则a=b,是真命题;
故选:
C.
【点睛】
本题考查平行线、平方根、立方根的定义及性质,重点在于理解和熟练定义中的核心点.
8.B
【解析】
【详解】
随机抽取两个数相乘,共有3种情况:
,其中积为正数的只有1×2,故概率为
.故选B
9.D
【解析】
【详解】
解:
∵AB⊥CD,CD⊥MN,
∴阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的
,
∵正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,
∴S阴影=
π×22=π.
故选D
10.A
【解析】
【分析】
①正确,如图1中,连接AM,延长DE交BF于J,想办法证明BF⊥DJ,AM⊥DJ即可;
②正确,如图2中,当F、E、M共线时,易证∠DEA=∠DEM=67.5°,在MD上取一点J,使得ME=MJ,连接EJ,设AE=EM=MJ=x,则EJ=JD=
x,构建方程即可解决问题;
③正确,如图3中,连接EC,CF,当EF=CE时,设AE=AF=m,利用勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解:
①如下图,连接AM,延长DE交BF于J,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠DAE=∠BAF=90°,
由题意可得AE=AF,
∴△BAF≌△DAE(SAS),
∴∠ABF=∠ADE,
∵∠ADE+∠AED=90°,∠AED=∠BEJ,
∴∠BEJ+∠EBJ=90°,
∴∠BJE=90°,
∴DJ⊥BF,
由翻折可知:
EA=EM,DM=DA,
∴DE垂直平分线段AM,
∴BF∥AM,故①正确;
②如下图,当F、E、M共线时,易证∠DEA=∠DEM=67.5°,
在MD上取一点J,使得ME=MJ,连接EJ,
则由题意可得∠M=90°,
∴∠MEJ=∠MJE=45°,
∴∠JED=∠JDE=22.5°,
∴EJ=JD,
设AE=EM=MJ=x,则EJ=JD=
x,
则有x+
x=4,
∴x=4
﹣4,
∴AE=4
﹣4,故②正确;
③如下图,连接CF,
当EF=CE时,设AE=AF=m,
则在△BCE中,有2m²=4²+(4-m)2,
∴m=4
﹣4或-4
﹣4(舍弃),
∴AE=4
﹣4,故③正确;
故选A.
【点睛】
本题考查旋转变换,翻折变换,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
11.
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解.
【详解】
解:
由题意得:
,
解得:
;
故答案为
.
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.
12.
##
【解析】
【分析】
利用平方差公式计算即可.
【详解】
解:
原式=
=
,
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了利用平方差公式分解因式,掌握平方差公式的特征是解题的关键.
13.2
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质定理可知BD=AD=4,∠ABD=∠A=30°,易知∠CBD=30°,根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可得DC=
BD=2.
【详解】
解:
由已知可得,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠ABC=60°,
∵DE垂直平分AB,点D在AB上,
∴BD=AD=4,∠ABD=∠A=30°,
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=30°,
∴DC=
BD=2,
故答案为2.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理,同时涉及到了直角三角形30°角这一性质,灵活利用这两个性质求线段长是解题的关键.
14.-1或3##3或-1
【解析】
【分析】
把①代入②,得到关于x的一元二次方程,根据判别式为0时方程有两个相等的实根,列出方程求出k即可.
【详解】
解:
把①代入②得,kx-1=x2+x,
整理得,x2+(1-k)x+1=0
使方程有唯一解,判别式为0,
(1-k)2-4=0,
解得k1=-1,k2=3.
故答案为:
-1或3
【点睛】
本题考查的是二元二次方程的解的判断,步骤是把方程组通过代入法化为一元二次方程,然后根据一元二次方程根的判别式进行判断.
15.80°
【解析】
【分析】
由翻折的性质得∠ADE=∠A1DE,由中位线的性质得DE//BC,由平行线的性质得∠ADE=∠B=50°,即可解决问题.
【详解】
解:
由题意得:
∠ADE=∠A1DE;
∵D、E分别是边AB、AC的中点,
∴DE//BC,
∴∠ADE=∠B=∠A1DE=50°,
∴∠A1DA=100°,
∴∠BDA1=180°−100°=80°.
故答案为:
80°.
【点睛】
本题主要考查了翻折变换及其应用问题;同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点.熟练掌握各性质是解题的关键.
16.
【解析】
【分析】
先确定
的运动轨迹为在以A为圆心,1为半径的
上,作
关于原点O的对称点
则
连接
并延长与圆交于
则此时
最长,当
与
重合,
最短,并求解
证明
为
的中位线,可得
从而可得答案.
【详解】
解:
如图,由AC=1,A(-3,0),
在以A为圆心,1为半径的
上,
作
关于原点O的对称点
则
连接
并延长与圆交于
则此时
最长,当
与
重合,
最短,
为等腰直角三角形,
为
的中点,
为
的中位线,
最大时为
最小时为
的范围为:
故答案为:
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质,勾股定理的应用,轴对称的性质,三角形的中位线的性质,圆的基本性质,掌握“求解圆外一点与圆的最长距离与最短距离”是解题的关键.
17.
【解析】
【分析】
利用代入消元法解二元一次方程组即可.
【详解】
解:
,
把①代入②,得
,
解得
.
把
代入①,得
.
∴原方程组的解是
.
【点睛】
本题考查解二元一次方程组,熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键.
18.60°
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质得出∠B=∠1=15°,由外角的定义得∠ADC=30°,在Rt△ABC中由三角形内角和可求得∠CAD的度数.
【详解】
解:
∵DA=DB,∠B=15°,
∴∠B=∠1=15°,
∴∠ADC=30°,
∴在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴∠CAD=90°-30°=60°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,外角的定义以及三角形的内角和定理,熟练各性质是解题的关键.
19.
(1)mn=6、2m﹣n=3;
(2)33.
【解析】
【分析】
(1)由已知等式利用幂的运算法则得出amn=a6、a2m-n=a3,据此可得答案;
(2)将mn、2m-n的值代入4m2+n2=(2m-n)2+4mn计算可得.
【详解】
(1)∵(am)n=a6,(am)2÷an=a3,
∴amn=a6、a2m﹣n=a3,
则mn=6、2m﹣n=3;
(2)当mn=6、2m﹣n=3时,
4m2+n2=(2m﹣n)2+4mn=32+4×6=9+24=33.
【点睛】
本题主要考查幂的运算,解题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的除法的运算法则.
20.
(1)300;
(2)补全图形见解析;(3)480人.
【解析】
【分析】
(1)根据非常不了解的人数除以非常不了解的人数所占的百分比,可得的答案;
(2)根据有理数的减法,可得答案,然后补全图形;
(3)根据样本估计总体,可得答案.
【详解】
解:
(1)30÷10%=300,故答案为300;
(2)了解很少的人数所占的百分比1﹣30%﹣10%﹣20%=40%,故答案为40%,
如图:
(3)1600×30%=480人,
该校1600名学生中对垃圾分类不了解的人数480人.
21.
(1)旅游团中成人有45人,儿童有24人;
(2)每件成人T恤衫的价格最高是20元.
【解析】
【分析】
(1)设旅游团中儿童有x人,则成人有(2x﹣3)人,根据等量关系“儿童人数+成人人数=报名的人数69人”,列出方程,解方程即可求解;
(2)根据
(1)的结果,计算出赠送的儿童T恤衫的件数,设每件成人T恤衫的价格是m元,根据不等关系“旅行社购买大人T恤衫的费用+旅行社购买儿童T恤衫的费用≤1200元”,列出不等式求解即可.
【详解】
解:
(1)设旅游团中儿童有x人,则成人有(2x﹣3)人,
根据题意得x+(2x﹣3)=69,
解得:
x=24,
则2x﹣3=2×24﹣3=45.
答:
旅游团中成人有45人,儿童有24人;
(2)∵45÷10=4.5,
∴可赠送4件儿童T恤衫,
设每件成人T恤衫的价格是m元,
根据题意可得45x+15(24﹣4)≤1200,
解得:
x≤20.
答:
每件成人T恤衫的价格最高是20元.
考点:
一元一次方程的应用;一元一次不等式的应用.
22.
(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用垂直平分线和角平分线的尺规作图法,进行作图即可.
(2)利用直角三角形斜边中线性质,以及角平分线的性质直接证明
与
都是
,最后加上
,即可证明结论.
【详解】
(1)答案如下图所示:
分别以A、B两点为圆心,以大于
长为半径画弧,连接弧的交点的直线即为垂直平分线l,其与AB的交点为D,以点D为圆心,适当长为半径画弧,分别交DA于点M,交CD于点N,交BD于点T,然后分别以点M,N为圆心,大于
为半径画弧,连接两弧交点与D点的连线交AC于点E,同理分别以点T,N为圆心,大于
为半径画弧,连接两弧交点与D点的连线交BC于点F.
(2)证明:
点是AB与其垂直平分线l的交点,
点是AB的中点,
是Rt△ABC上的斜边的中线,
,
DE、DF分别是
ADC,∠BDC的角平分线,
,
,
,
,
,
,
,
在四边形CEDF中,
,
四边形CEDF是矩形.
【点睛】
本题主要是考查了尺规作图、直角三角形斜边中线性质以及矩形的判定,熟练利用直角三角形斜边中线性质,找到三角形全等的判定条件,并且选择合适的矩形判定条件,是解决本题的关键.
23.
(1)见解析;
(2)AC=12,AD=
【解析】
【分析】
(1)过点D作DF⊥BC于点F,由AB为⊙D的切线可得∠BAD=90°,根据角平分线的性质可得AD=DF,进而即可证明BC是⊙D的切线;
(2)直接根据勾股定理求得
的长,根据
(1)的结论和切线长定理求得
,进而求得
的长,设
,则
,在
中,由勾股定理列出方程,解方程求解即可.
【详解】
(1)证明:
过点D作DF⊥BC于点F,
∵AB为⊙D的切线
∵∠BAD=90°
又∵BD平分∠ABC,
∴AD=DF.
∵AD是⊙D的半径,DF⊥BC,
DF是⊙D的半径,
∴BC是⊙D的切线;
(2)如图,
AB=5,BC=13,∠BAD=90°
是⊙D的切线;
,
,
设
,则
,
中,
解得
AC=12,AD=
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定,切线长定理,勾股定理,掌握切线的性质与判定是解题的关键.
24.
(1)见解析;
(2)①
;②
.
【解析】
【分析】
(1)由正方形的性质得出AD=AB,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°,由∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠DAG+∠EAD=∠EAG,推出∠BAE=∠DAG,由SAS即可证得△DAG≌△BAE;
(2)①由AB=2AE=4,得出AE=2,由勾股定理得AF=
AE=2
,易证△ABF是等腰三角形,由AE=EF,则直线BE是AF的垂直平分线,设BE的延长线交AF于点O,交AD于点H,则OE=OA=
,由勾股定理得OB=
,由cos∠ABO=
,cos∠ABH=
,求得BH=
,由勾股定理得AH=
=
,则DH=AD-AH=4-
,由∠DHP=∠BHA,∠BAH=∠DPH=90°,证得△BAH∽△DPH,得出
,即可求得DP;
②由△DAG≌△BAE,得出∠ABE=∠ADG,由∠BPD=∠BAD=90°,则点P的运动轨迹为以BD为直径的
,由正方形的性质得出BD=
AB=4
,由正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°,得出∠BAE=60°,由AB=2AE,得出∠BEA=90°,∠ABE=30°,B、E、F三点共线,同理D、F、G三点共线,则P与F重合,得出∠ABP=30°,则
所对的圆心角为60°,由弧长公式即可得出结果.
【详解】
(1)证明:
连接DG,如图2,
在正方形ABCD和正方形AEFG中,AD=AB,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°,
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠DAG+∠EAD=∠EAG,
∴∠BAE=∠DAG,
在△DAG和△BAE中,
,
∴△DAG≌△BAE(SAS);
(2)解:
①∵AB=2AE=4,
∴AE=2,
由勾股定理得,AF=
AE=2
,
∵BF=BC=4,
∴AB=BF=4,
∴△ABF是等腰三角形,
∵AE=EF,
∴直线BE是AF的垂直平分线,
设BE的延长线交AF于点O,交AD于点H,
如图3所示:
则OE=OA=
,
∴OB=
,
∵cos∠ABO=
,cos∠ABH=
,
∴
,
∴BH=
,
AH=
=
,
∴DH=AD-AH=4-
,
∵∠DHP=∠BHA,∠BAH=∠DPH=90°,
∴△BAH∽△DPH,
∴
,即:
,
∴DP=
;
②∵△DAG≌△BAE,
∴∠ABE=∠ADG,
∵∠BPD=∠BAD=90°,
∴点P的运动轨迹为以BD为直径的
,
BD=
AB=4
,
∵正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°,
∴∠BAE=60°,
∵AB=2AE,
∴∠BEA=90°,∠ABE=30°,
∴B、E、F三点共线,
同理D、F、G三点共线,
∴P与F重合,
∴∠ABP=30°,
∴
所对的圆心角为60°,
∴旋转过程中点P运动的路线长为:
.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的
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- 广东省 广州市 白云 广大 附中 实验 中学 学年 九年级 上学 月考 数学试题
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