放缩法技巧全总结doc.docx
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放缩法技巧全总结doc
..
2011高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:
通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩
例1.
(1)
n
2
的值;
(2)
求证:
n
1
5.
求
k1
4k2
1
k
1k2
3
解析:
(1)
因为
2
2
1
1
所以n
2
1
1
2n
4n2
1
(2n
1)(2n
1)
2n
1
2n
1
k
14k2
1
2n1
2n1
(2)
因为1
1
4
1
1
所以
1
1
2
1
1
1
1
5
2
n
1
2
2
14n
2
2n
12n
1
k1k
2
35
2n12n1
33
2
1
n
n
4
奇巧积累:
(1)
1
4
4
2
1
1
(2)
1
2
1
1
n2
4n2
4n2
2n
1
Cn1
1Cn2
(n
1)n(n
1)
n(n
1)
n(n1)
1
2n1
(3)
Tr1
r
1
n!
1
1
1
1
1
(r
2)
Cn
r!
(n
r)!
nr
r!
r(r
1)
r1
r
nr
(4)
(1
1)n
1
1
1
1
1
1
5
n
2
3
2
n(n
1)
2
(5)
1
1
1
(6)
1
n
2
n
2n(2n
1)2n12n
n2
(7)
2(
n
1
n)
1
2(
n
n1)
(8)
2
1
1
1
1
n
2n12n32n
(2n1)2n1(2n3)2n
(9)
1
1
1
1
1
1
1
1
k(n
1
k)
n
1
k
k
n
1
1
k)
k
1
n
n
1
k
n(n
(10)
n
1
1
(11)
1
2
2
2
(n1)!
n!
(n1)!
2(2n1
2n1)
n
2n
1
2n
1
1
1
n
n
2
2
(11)
2n
2n
2n
2n
1
1
1
(n
2)
(2n
1)2
(2n
1)(2n
1)
(2n
1)(2n
2)
(2n
1)(2n1
1)
2n1
12n
1
(12)
1
1
1
1
1
1
n3
n
n2
n(n
1)(n
1)
n(n
1)
n(n
1)
n
1
n
1
1
1
n
1
n
1
1
1
n
1
n
1
2
n
n
1
n
1
(13)
(14)
2n1
22n
(31)2n
33(2n
1)2n
2n1
2n
1
2n
3
2n
13
k
2
1
1
(15)
1
n
n1(n2)
k!
(k
1)!
(k2)!
(k
1)!
(k
2)!
n(n
1)
(15)
i2
1
j2
1
i2
j2
i
j
1
i
j
(ij)(i2
1
j21)
i2
1
j2
1
..下载可编辑..
..
例2.
(1)
求证:
1
1
1
1
7
1
(n
2)
32
52
(2n1)2
6
2(2n1)
(2)
求证:
1
1
1
1
1
1
(3)
求证:
1
13
135
135
6
(2n
1)
2n11
4
16
36
4n2
2
4n
2
24
24
6
24
2n
(4)
求证:
2(n
11)
1
1
1
2(
2n
1
1)
1
3
n
2
解析:
(1)
因为
1
1
1
1
1
所以
n
1
1
1
1
11
1
1
(
)
1
(
)
(2n1)2(2n1)(2n
i1(2i
1)2
2
3
2n
1)
2
2n1
2n
1
2n1
23
1
(2)
1
1
1
1
1
(1
1
1
)
1
(1
1
1
)
4
16
36
2
4
2
2
4
n
4n
2
n
(3)
先运用分式放缩法证明出
13
5
(2n
1)
1
再结合
2
4
6
2n
2n
1
1
进行裂项,最后就可以得到答
n2
n
n2
案
(4)首先
再证
1
2
所以容易经过裂项得到
1
1
1
2(n1
n)
n
2(n11)1
3
n
n
n1
2
而由均值不等式知道这是显然成立的,
1
2(
2n
1
2n
1)
2
2
2
n
1
2n
1
1
1
2n
n
n
2
2
所以1
1
1
1
2(
2n
1
1)
2
3
n
例3.求证:
6n
1
1
1
1
5
(n1)(2n1)
49
n2
3
解析:
一方面:
因为1
1
4
1
1
所以n
1
1
2
1
1
11
1
25
2
1
2
2
k1k
2
35
2n12n1
33
n
n2
4n
1
2n
1
2n1
4
另一方面:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
4
9
n2
2
33
4
n(n1)
n1
n
1
当n
3时,
n
(n
6n
1)
当n
1时,
(n
6n
1
11
1,
n
1
1)(2n
1)(2n
1)
4
9
n2
当n
2时,
6n
1
1
1
1,
(n
1)(2n
1)
4
9
n2
所以综上有
6n
1
1
1
1
5
(n1)(2n
1)
4
9
n2
3
例4.(2008年全国一卷)设函数f(x)
xxlnx.数列a
满足0
a1.an1f(an).
n
1
设b
(a1,1),整数k≥a1b.证明:
ak1
b.
a1lnb
解析:
由数学归纳法可以证明
an
是递增数列,
故若存在正整数mk,使am
b,
则ak1akb,
..下载可编辑..
..
若am
b(mk),则由0
a1amb1知amlnam
a1lnama1lnb0,
k
ak1akaklnaka1
amlnam
m1
因为k
amlnam
k(a1lnb),于是ak1a1
k|a1lnb|a1(ba1)
b
m1
例5.已知n,mN,x
1,S
1m
2m
3m
nm,求证:
nm1
(m1)S
(n1)m1
1.
m
n
解析:
首先可以证明:
(1
x)n
1
nx
nm1
nm1
(n
1)m
(n
1)m1(n
2)m1
1m10
n
(k1)m1]
所以要证
1
[km1
k1
nm1
(m
1)Sn
(n
1)m1
1只要证:
n
n
n
[km1
(k1)m1]
(m1)
km
(n1)m1
1(n1)m1
nm1
nm1(n1)m1
2m11m1
[(k1)m1km1]
k1
k1
k
1
故只要证n
[km1
(k
1)m1]
(m
1)
n
km
n
[(k
1)m1
km
1],
k
1
k
1
k
1
即等价于km1
(k
1)m1
(m1)km
(k
1)m1
km,
即等价于1
m
1
(1
1)m1,1
m1
(1
1)m1
而正是成立的,所以原命题成立.
k
k
k
k
例6.已知a4n
2n,
2n
求证:
T1T2
T3
Tn
3.
n
Tn
a1a2
an
2
解析:
T
41
42
43
4n
(21
22
2n)
4(1
4n)
2(1
2n)
4(4n
1)
2(1
2n)
n
1
4
1
2
3
所以
2n
2n
2n
32n
3
2n
Tn
4(4n
1)2(12n)
4n1
4
4n1
2
4n1
32n12
22(2n)2
32n
1
22n1
2n1
3
3
3
3
3
3
2n
3
1
1
2(22n
1)(2n1)
22n
1
2n1
1
从而TTT
T
n
3
1
111
1
1
3
1
2
3
2
337
2n
12n1
1
2
例7.
已知x
1,
n(n2k
1,k
Z),求证:
1
1
1
1
xn
2k,k
Z)
2(n11)(nN*)
n1(n
4x2x3
4x4x5
4
x2nx2n1
证明:
1
1
1
1
1
2,
4x2nx2n1
4(2n1)(2n1)
44n2
1
44n2
2n2n
因为
2n
n
n1,所以
1
2
2
n
1
n)
2(
4x2nx2n1
2n
n
n1
所以
1
1
1
2(
n
1
1)(nN*)
4x2x3
4x4x5
4x2nx2n1
二、函数放缩
例8.求证:
ln2
ln3
ln4
ln3n
3n
5n
6(nN*).
2
3
4
3n
6
解析:
先构造函数有lnxx1
lnx
1
从而
ln2
ln3
ln4
ln3n
3n
1
1
1
)
1
n
1(
n
x
x
2
3
4
2
3
3
3
..下载可编辑..
..
cause
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3n
2
3
4
5
67
8
9
2n
2n1
3n
5
3
3
99
3n1
3n1
5n
6
6
9
1827
23n1
3n
6
所以ln2
ln3
ln4
ln3n
3
n
5n
3
n5n
6
2
3
4
3n
1
6
6
例9.求证:
(1)
ln2
ln3
lnn
2n2
n1
2,
3
n
2(n
(n2)
2
1)
解析:
构造函数
lnx,得到lnn
lnn2
再进行裂项lnn2
1
1
求和后可以得到答案
f(x)
n
n2
n2
1
2
1
1)
x
n
n(n
函数构造形式:
lnx
x
1,lnn
n
1
(2)
例10.求证:
1
1
1
1
ln(n
1)
1
1
1
2
3
n
2
n
解析:
提示:
ln(n
1)
lnn
1
n
n
1
2
lnn
1
ln
n
1
ln2
n
1
n
n
函数构造形式:
lnx
x,lnx
1
1
y
x
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,
取函数
f(x)
1
x
D
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