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离散数学课本定义和定理
..
第1章集合
1.1集合的基本概念
1.集合、元(元素)、有限集、无限集、空集
2.表示集合的方法:
列举法、描述法
3.定义1.1.1(子集):
给定集合A和B,如果集合A的任何一个元都是集合B中的元,则
称集合A包含于B或B包含A,记为或,并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足,但B中有元不属于A,则称集合A真包含于B,记为,
并且称A为B的一个真子集。
4.定义1.1.2(幂集):
给定集合A,以A的所有子集为元构成的一个集合,这个集合称为
A的幂集,记为或
1.2集合的运算
定义1.2.1
(并集):
设A和B是两个集合,则包含A和B的所有元,但不包含其他元的集
合,称为A和B的并集,记为
.
定义1.2.2(交集):
A和B是两个集合,包含A和B的所有公共元,但不包含其他元的集合,
称为A和B的交集,记为
.
定义1.2.3
(不相交):
A和B是两个集合,如果它们满足
,则称集合A和B是不
相交的。
定义1.2.4
(差集):
A和B是两个集合,属于A而不属于B的所有元构成集合,称为
A和B
的差集,记为.
定义1.2.5
(补集):
若A是空间E的集合,则E中所有不属于
A的元构成的集合称为
A的
补集,记为.
定义1.2.6(对称差):
A和B是两个集合,则定义A和B的对称差为
1.3包含排斥原理
定理1.3.1设为有限集,其元素个数分别为,则
定理1.3.2设为有限集,其元素个数分别为,则
定理1.3.3设为有限集,则
重要例题P11例1.3.1
...
..
第2章
二元关系
2.1
关系
定义2.1.1
(序偶):
若和是两个元,将它们按前后顺序排列,记为
,则
成为一个序偶。
※对于序偶
和
,当且仅当
并且
时,才称
和
相等,记为
定义2.1.2
(有序元组):
若
是个元,将它们按前后顺序排列,记为
,则成为一个有序元组
(简称元组)。
定义2.1.3
(直接积):
和
是两个集合,则所有序偶
的集合,称为和的直接积(或笛卡尔积),记为
.
定义2.1.4
(直接积):
设
是个集合,
,则所有
元组
的集合,称为
的笛卡尔积(或直接积),记为
.
定义2.1.5
(二元关系)
若和是两个集合,则
的任何子集都定义了一个二元关系,称为
上的二元
关系。
如果
,则称为
上的二元关系。
定义2.1.5
(恒等关系):
设是上的二元关系,
,则称
是上的恒等关系。
定义2.1.7
(定义域、值域):
若是一个二元关系,则称
为的定义域。
为的值域。
定义2.1.8
(自反):
设
是集合上
的关系,若对于任何
,都有
即
则称
..
关系是自反的。
定义2.1.9
(反自反):
设
是集合上
的关系,若对于任何
,都满足
即
对
任何
都不成立,则称关系
是反自反的。
定义2.1.10(对称):
设
是集合上
的关系,若对于任何
,只要
就有
那
么称关系
是对称的。
定义2.1.11(反对称):
设
是集合上
的关系,若对于任何
,只要
并且
时,
就有
,那么称关系
是对称的。
定义
2.1.11(传递)设
是集合上
的关系,若对于任何
,只要
并且
时,
就有
,则称关系
是传递的。
定理2.1.1
设是集合上
的关系,若是反自反的和传递的,则
是反对称的。
2.2
关系矩阵和关系图
定义
无定理无
2.3
关系的运算
定义2.3.1
(连接):
设
为
上的关系,
为
上的关系,则定义关系
...
..
称为关系和的连接或复合,有时也记为.
定义2.3.2(逆关系):
设为上的关系,则定义的逆关系为为上的关系:
.
定理2.3.1
设和都是
上的二元关系,则下列各式成立
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
定理2.3.2设为上的关系,为上的关系,则
2.4闭包运算
定义2.4.1
(自反闭包):
设是集合
上的二元关系,如果
是包含
的最小自反关系,则
称是关系
的自反闭包,记为
.
定义2.4.2(对称闭包):
设
是集合
上的二元关系,如果
是包含
的最小对称关系,则
称是关系
的对称闭包,记为
.
定义2.4.3(传递闭包):
设
是集合
上的二元关系,如果
是包含
的最小传递关系,则
称是关系
的传递闭包,记为
或.
定理2.4.1
设是集合上的二元关系,则
(1)
是自反的,当且仅当
.
(2)
是对称的,当且仅当
.
(3)
是传递的,当且仅当
.
定理2.4.2
设是集合
上的二元关系,则
.
“
恒等关系”
定理2.4.3
设是集合
上的二元关系,则
.
“
逆关系”
定理2.4.4
设是集合
上的二元关系,则
.
“幂集”
定理2.4.5
设是一个
元集,是上的二元关系,则存在一个正整数
,使得
.
2.5等价关系和相容关系
定义2.5.1(覆盖、划分):
是一个集合,,如果,则称
...
..
是的一个覆盖。
如果
,并且
,则称是
的一个划分,
中的元称为
的划分块。
定义2.5.2
(等价关系):
设是上的一个关系,如果
具有自反性、对称性和传递性三个
性质,则称
是一个等价关系。
设
是等价关系,若
成立,则称
等价于.
定义2.5.3(等价类):
设是上的一个等价关系,则对任何
,令
,
称
为关于
的等价类,简称为
的等价类,
也可以简记为.
定义2.5.4
(同余):
对于整数
和正整数
有关系式:
如果
,则称
对于模
同余的,记作
定义2.5.5
(商集):
设是上的一个等价关系,由
引出的等价类组成的集合
称
为集合上由关系产生的商集,记为
.
“等价类的集合”
定理2.5.1
若是
上的一个等价关系,则由
可以产生唯一的一个对
的划分。
“商集”
定义2.5.6
(相容关系):
设是上的一个关系,如果
是自反的和对称的,则称
是一个相
容关系。
相容关系可以记为.
所有的等价关系都是相容关系,但相容关系却不一定是等价关系。
定义2.5.7
(最大相容块):
设
是一个集合,
是定义在
上的相容关系。
如果
中
的任何两个元都有关系
,而
的每一个元都不能和
中所有元具有关系
,则称是的
一个最大相容块。
2.6
偏序关系
定义2.6.1
(偏序关系):
是定义在集合
上的一个关系,如果它具有自反性、反对称性和
传递性,则称
是上的一个偏序关系,简称为一个偏序,记为
.更一般地讲,若
是一个
集合,在上定义了一个偏序
,则我们用符号
来表示它,并称
是一个偏序集。
定义2.6.2
(全序/链):
是一个偏序集,对任何
,如果
或
这两者中至
少有一个必须成立,则称
是一个全序集或链,而称
是上的一个全序或线性序。
定义2.6.3
(盖住):
是一个偏序集,
,若
,并且不存在
使
并
且
,则称
盖住.“紧挨着”
定义2.6.4
(最小元、最大元):
是一个偏序集,如果
中存在有元
,对任何
都
满足
,则称是
的最小元。
如果
中存在有元
,对任何
都满足
,则称
是
的最大元。
定义2.6.5(极小元、极大元):
是一个偏序集,如果
而中不存在元
,使
则称是
的极小元。
如果
而中不存在元
使
则称是
的极大元。
定义2.6.6
(上界、下界、上确界、下确界
):
是一个偏序集,
如果对
于所有的
都有
则称是的一个上界。
如果对于所有的
都有
则称是
的一个下界。
如果
是的一个上界,对于
的任一上界
都有
则称是的最小上界
(上确界).
如果是的一个上界,对于
的任一上界
都有
则称是的最大下界
(下确界).
定义2.6.5
(良序集):
设
是一个偏序集,对于偏序
,如果
的每个非空子集都具有
最小元,则称
是一个良序集,而称
是上的一个良序。
...
..
每个良序集都是全序集。
第3章函数和运算
3.1函数
定义3.1.1(映射、象):
关系定义在上,如果对于每一个,都有唯一的一个,
........
使,则称是从到的一个函数(或映射),记为.称为函数的变元,称
为变元在下的值(或象),记为.
注意:
(1)定义域,而不是.
(2)每一个,有唯一的,使.多值函数不符合定义
(3)值域.
定义3.1.2
(受限、扩展):
若是从
到的一个函数,
,则
也是一个函数,
它定义于
到,我们称它是
在上的受限。
如果是函数
的一个受限,则称
是的一个扩
展。
★定义3.1.3(映上、映、一对一、一一对应
):
若
,则的值域
时,称函
数是映上的(或满射)。
如果的值域
时,则称函数
是映的。
如果
,
则有
则称是一对一的(单射)(即
时,有
).
如果映上的,又是一对一的,则称
是一一对应的(或双射)。
定义3.1.4
(复合运算):
若
,则定义和的复合运算
为:
即
.
注:
逆函数
若要存在需要满足以下条件:
(1)函数
是映上的
(2)函数必须是一对一的
定义3.1.5
(恒等函数)函数
称为恒等函数。
定理3.1.1
,则
的充分必要条件是
,并且
3.2运算
定义3.2.1
(二目运算):
若是一个集合,
是从
到的一个映射(函数),则称为
一个二目运算。
一般地,若
是从
到的一个映射(
是正整数),则称是一个目运算。
运算的封闭:
运算的结果总是集合
中的一个元,因此这个定义保证了运算的施行,这
种情况又称为集合
对于该种运算是封闭的。
定义3.2.2
(可交换):
若
是一个运算,对于任何
,都有
,
则称运算
是可交换的(或者说,
服从交换律).
定义3.2.3(可结合):
若
是一个运算,对于任何
都有
,则称运算
是可结合的(或者说,
服从结合律).
定义3.2.4(可分配):
若
是一个运算,
是一个运算,对于任何
,
都有
,则称运算
对于运算
是可分配的(或者说,
对于服从
分配律)
...
..
定义3.2.5
(左单位元、右单位元
):
设
是上的一个运算,如果
中存在有一个元
,对
于任何
,有
,则称
是运算
的左单位元;如果
中存在有一个元
,对于任
何
,有
,则称
是运算
的右单位元。
定理3.2.1
若是
上的一个运算,
和
分别是它的左、右单位元,则
,并且是
唯一的(因此,称
为运算
的单位元).
定义3.2.6(左零元、右零元
):
设
是上的一个运算,如果
中存在有一个元
,对于任
何
,有
,则称
是运算
的左零元;如果中存在有一个元
,对于任何
,
有
,则称
是运算
的右零元.
定义3.2.7
(等幂):
若是上的一个运算,
,对于运算
,有
,则称元
对
于运算
是等幂的。
定义3.2.8(左逆元、右逆元):
若
是上的一个运算,它具有单位元
,对于任何一个
如果存在有元
,使
,则称
是的左逆元;如果存在有元
,使
,
则称
是的右逆元;
定理3.2.3
若是上的一个运算,它具有单位元
,并且是可结合的,则当元
可逆时,
...
它的左、右逆元相等,并且唯一的(此时称之为
的逆元,并且记为
).
定义3.2.9
(可消去):
若是上的一个运算,对于任何
,如果元满足:
则
;或
则
,则称元对于运算
是可消去的。
第4章无限集合
4.1基数
★定义4.1.1(等势):
若和
是两个集合,如果在
和之间可以建立一个一一对应
....
关系,则称集合
和等势,并记为
。
定理4.1.1
令
是由若干个集合为元所组成的集合,则
上定义的等势关系是一个等价关
系。
定义4.1.2
(有限集、无限集):
若是一个集合,它和某个自然数集
等势,
则称是一有限集,不是有限集的集合称为无限集。
定理4.1.2
有限集的任何子集都是有限集
定理4.1.3
有限集不与其任何真子集等势
定理4.1.4
自然数集
是无限集
4.2可列集
定义4.2.1(可列集):
若是一个集合,它和所有自然数的集合等势,则称是一个可列
...
..
集。
可列集的基数用符号
表示。
定理4.2.1
若是一个集合,
可列的充分必要条件是可以将它的元排列为
的
序列形式。
定理4.2.2
任何无限集必包含有可列子集。
定理4.2.3
可列集的子集是有限集或可列集(记为:
)
定理4.2.4
若是可列集,是有限集,并且
,则
是可列集(记为:
).
定理4.2.5
若和都是可列集,并且
,则
是可列集(记为:
)
推论4.2.1
设
都是可列集,则
是可列集(记为:
)
定理4.2.6
设
都是可列集,并且
,则
是可
列集(记为:
)
推论4.2.1
设
都是可列集,则
是可列集.
定理4.2.7
所有有理数的集合是可列集。
4.3不可列集
定理4.3.1
区间
中所有实数构成的集合是不可列的。
定义4.3.1
(连续基数):
开区间
中所有数组成集合的基数记为
,具有基数
的集合称
为连续统,
称为连续基数。
推论:
集合
的基数也是.
定理4.3.2
所有实数的集合是不可列的,它的基数是
.
定理4.3.3
对于任何数
,若
,则区间
以及
都具有连
续基数
定理4.3.4
一个无限集
和一个可列集作并集时,并集的基数等于集
的基数。
推论4.3.2
一个无限集
和一个有限集的并集,其基数等于集
的基数。
4.4基数的比较
定义4.4.1
(
)设集合
的基数是
.如果与的真子集等势,而
和不等势,则
称的基数小于
的基数,记为
.
定理4.4.1
:
是两个集合,若
与的某一子集等势,
与的某一子集等势,则
.
定理4.4.2:
是任意两个集合,
的基数为
的基数为
,则下列三个关系
:
中必有一个且只有个成立。
定理4.4.3
:
若是有限集
的基数,则
.
定理4.4.4
:
若
是无限集合,则
定理4.4.5:
若是可列个互不相交的集合,它们的基数都是,则的基
...
..
数是(记为:
)
定理4.4.6
:
可列集的幂集,其基数是
(记为:
)
定理4.4.7
:
若是一个集合,
是的幂集,则
.
此定理说明:
不存在最大的基数。
补充:
第5章形式语言
5.1文法和语言
定义5.1.1(产生式):
一个产生式或重写规则是一个有序对
,通常写成
其中,
是一个符号,而
是一个符号的非空有限串,
是这个产生式的左部,而
是产生式的右部.
产生式将简称为规则。
定义5.1.2(非终极符号、字母表、终极符号、开始符号):
一个文法
是一个四元组
.
其中,
是元语言的语法类或变元的集合,它生成语言的串,这些语法类或变元成为
非终
极符号,
是符号的非空有穷集合,称为字母表,
的符号称为终极符号.
是
之一,是
词汇表的一个识别元素,称为
开始符号.
是产生式的集合。
定义5.1.3
(直接产生、直接推导,直接规约
):
设是一个文法,如果
,
而中有规则
,就称串
直接产生串
,或称是直接推导出来的,或
直接规约到,
记为.
定义5.1.4(产生、规约到、推导):
设是一个文法,如果存在产生式序列
使得
,而
就说
产生(规约到
或是的推导),记为
.
定义5.1.5
(句型):
令是一个文法,如果串
可从开始符号推导出来,即如果
,则
称为一个句型。
补充:
若
,则
其中
是空串,
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