专题15 从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版.docx
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专题15从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版
第一篇集合与不等式
专题1.05 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
【考试要求】
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系;
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集;
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
【知识梳理】
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根x1,x2(x1<x2)
有两相等实根x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
3.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a
a=b
a>b
(x-a)·(x-b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x-a)·(x-b)<0
{x|a ∅ {x|b 4.分式不等式与整式不等式 (1) >0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2) ≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【微点提醒】 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|0)的解集为(-a,a). 记忆口诀: 大于号取两边,小于号取中间. 2.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形. 3.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ 或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ 或 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( ) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( ) (3)不等式x2≤a的解集为[- , ].( ) (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.( ) 【教材衍化】 2.(必修5P103A2改编)已知集合A= ,B={x|x2-x-6<0},则A∩B=( ) A.(-2,3)B.(-2,2) C.(-2,2]D.[-2,2] 3.(必修5P80A2改编)y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________. 【真题体验】 4.(2018·烟台月考)不等式 ≥0的解集为( ) A.[-2,1]B.(-2,1] C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-∞,-2]∪(1,+∞) 5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1 A.1B.- C.4D.- 6.(2018·汉中调研)已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)≤0,则实数a的取值范围是______. 【考点聚焦】 考点一 一元二次不等式的解法 角度1 不含参数的不等式 【例1-1】求不等式-2x2+x+3<0的解集. 角度2 含参数的不等式 命题点1 通过判别式分类讨论 【例1-2】解关于x的不等式kx2-2x+k<0(k∈R). 命题点2 通过根的大小分类讨论 【例1-3】解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). 【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化: 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判: 计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式解集为R或∅). (3)求: 求出对应的一元二次方程的根. (4)写: 利用“大于零取两边,小于零取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论: (1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 【训练1】(2018·豫北豫南名校联考)不等式x2-3|x|+2>0的解集是________. 考点二 一元二次方程与一元二次不等式 【例2】已知不等式ax2-bx-1>0的解集是{x|- },则不等式x2-bx-a≥0的解集是________. 【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【训练2】(2019·天津和平区一模)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(1,3) C.(-1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 考点三 一元二次不等式恒成立问题 角度1 在实数R上恒成立 【例3-1】(2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,2)B.(-∞,2] C.(-2,2)D.(-2,2] 角度2 在给定区间上恒成立 【例3-2】(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是________. 角度3 给定参数范围的恒成立问题 【例3-3】已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( ) A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3) 【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 【训练3】(2019·安庆模拟)若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈ 恒成立,则a的最小值是( ) A.0B.-2C.- D.-3 考点四 一元二次不等式的应用 【例4】甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100 元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围; (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问: 甲厂应该选取何种生产速度? 并求最大利润. 【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. (2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型. (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果. 【训练4】已知产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,x∈(0,240).若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100台B.120台 C.150台D.180台 【反思与感悟】 1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形. 2.在解决不等式ax2+bx+c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时,当二次项系数含有字母时,需要对二次项系数a进行讨论,并研究当a=0时是否满足题意. 3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法: 一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简单. 【易错防范】 1.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别. 2.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.(2018·合肥调研)已知集合A={y|y=ex,x∈R},B={x∈R|x2-x-6≤0},则A∩B等于( ) A.(0,2)B.(0,3] C.[-2,3]D.[2,3] 2.不等式 ≥2的解集是( ) A. B. C. ∪(1,3]D. ∪(1,3] 3.不等式|x|(1-2x)>0的解集为( ) A.(-∞,0)∪ B. C. D. 4.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( ) A.(-1,0)B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.不能确定 5.(2019·淄博月考)已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>1的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-1,0) D.(0,1) 二、填空题 6.不等式2x2-x<4的解集为________. 7.已知不等式mx2+nx- <0的解集为{x|x<- 或x>2},则m-n=________. 8.(2019·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-2x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________. 三、解答题 9.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加 x成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围. 10.解下列不等式: (1)0 (2)12x2-ax>a2(a∈R). 【能力提升题组】(建议用时: 20分钟) 11.已知函数f(x)= 若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2)D.(-2,1) 12.(2019·保定一中调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足: 当x≥0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,- )B.(- ,0) C.(-∞,0)∪( ,+∞)D.(-∞,- )∪( ,+∞) 13.设a<0,若不等式-cos2x+(a-1)cosx+a2≥0对于任意的x∈R恒成立,则a的取值范围是________. 14.(2019·济南一中质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=ex.若对任意x∈[a,a+1],恒有f(x+a)≥f(2x)成立,求实数a的取值范围. 【新高考创新预测】 15.(试题创新)若实数a,b,c满足对任意实数x,y有3x+4y-5≤ax+by+c≤3x+4y+5,则( ) A.a+b-c的最小值为2 B.a-b+c的最小值为-4 C.a+b-c的最大值为4 D.a-b+c的最大值为6
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