1990考研数四真题及解析.docx
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1990考研数四真题及解析
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
一、填空题(此题总分值15分,每题3分.)
(1)极限lim(Jn+3亦—Jn—亦)=
n_ic■
⑵设函数f(x)有连续得导函数,f(0)=0,f(0)二b,假设函数
x0,
x=0
f(x)asinx
F(x)»X
A,
在x=0处连续,那么常数A=
2
⑶曲线y=x与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为
捲+X2=_a「
x2+x3=a2,
(4)假设线性方程组有解,那么常数a1,a2,a3,a4应满足条件
X3+X4=_a3,
x4+咅=a4
⑸随机变量XLN-3,1,丫LN2,1,且X,Y相互独立,设随机变量
Z=X—2丫+7,那么ZL.
二、选择题(此题总分值15分,每题3分;每一小题都给出代号为A,B,C,D,的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的圆括号内,每一小题选对得3
分,不选或选错一律得0分.)
(1)设函数f(x)二xtanxesinx,那么f(x)是()
(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数
⑵设函数f(x)对任意x均满足等式f(1x^af(x),且有f(0)=b,其中a,b为非零常
(A)f(x)在x=1处不可导(B)
f(x)在x=1处可导,且f
(1)=a
f(x)在x=1处可导,且f
(1)=ab
(C)f(x)在x=1处可导,且f
(1)=b(D)
⑶向量组〉1,〉2,lll,〉s线性无关的充分条件是()
(A):
'1,:
2,川,:
s均不为零向量
(B):
',〉2,IH,〉s中任意两个向量的分量不成比例
S-1个向量线性表示
〔C〕冷,〉2,IH,〉s中任意一个向量均不能由其余
〔D〕冷,〉2,l||,〉s中有一局部向量线性无关
⑷设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,那么()
*nd*
(A)A=A(B)A=|A
*n*i
(C)A=A(D)A=A—
⑸随机变量X服从二项分布,且EX=2.4,DX,那么二项分布的参数n,
p的值为
(A)n
(B)
(C)n
(D)
n二
二、计算题
(1)
求极限
〔此题总分值20分,每题5分.〕
1xlimX厂x-
X2t2x2
01t2etdt.
求不定积分
4X
xcos
十X.
Sinx
设X2•z2=y
-,其中®为可微函数 求三 -7 计算二重积分xe*dxdy,其中D是曲线y=4x2和y=9x2在第一象限所围成的区 D 四、〔此题总分值9分〕 根据统计资料,销售收入 某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告 R〔万元〕与电台广告费用x1〔万元〕及报纸广告费用x2〔万元〕之间的关系有如下经验公式 R=1514x132x2-8x1x2-2x,2-10xf. 〔1〕在广告费用不限的情况下,求最优广告策略; 〔2〕假设提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略. 五、〔此题总分值6分〕 证明不等式1xlnX「1•X2八1•X2一: : X. 六、〔此题总分值4分〕 设A为1010矩阵 -0 10 III0 01 0 01 川0 0 A= + + I-b ¥F ■i 4 4 0 00 III0 1 亠10 0一 10 00 III0 计算行列式A_2、E,其中E为10阶单位矩阵, 九为常数 七、〔此题总分值5分〕 设方阵A满足条件ATA=E,其中A是A的转置矩阵,E为单位矩阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1. 八、〔此题总分值8分〕 线性方程组 乂+X2+X3+X4+X5=a, 3xi+2x2+X3+X4—3x5=0,X22X32X46X5二b,5x14x23x33x4「x5=2, 〔1〕a、b为何值时,方程组有解? 〔2〕方程组有解时,求出方程组的导出组的一个根底解系; 〔3〕方程组有解时,求出方程组的全部解. 九、〔此题总分值5分〕 从0,1,2川|,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求以下事件的概率: A={三个数字中不含0和5};宀={三个数字中含0但不含5}. 十、〔此题总分值6分〕 甲乙两个独立地各进行两次射击,假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为,以X和Y 分别表示甲和乙的命中次数,试求X和Y的联合概率分布. 十一、〔此题总分值7分〕 某地抽样调查结果说明,考生的外语成绩〔百分制〕近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. [附表] X 0 ①〔X〕 表中: .: 』(x)是标准正态分布函数 1990年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析 一、填空题(此题总分值15分,每题3分.) (1)【答案】2 【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子匕n3.'nn-「n. 二lim n—11 再分子分母同时除以,n,有 a4 因为n巒汀,其中a为常数,所以原式二禹九 ⑵【答案】ba. 【解析】由于F(x)在x=0处连续,故^F(0^limF(x). 良叫F(x)为 0〞型的极限未定式,又f(x)在点0处导数存在,所以 0 AJimf(X)asinx 7 limf(x)acos^ba. X—01 【相关知识点】函数y二f(x)在点X)连续: 设函数—f(x)在点X)的某一邻域内有定义, 如果limf(x)二f(x。 ),那么称函数f(x)在点x0连续. XJx0 1 ⑶【答案】4丄 2 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令x2 解得x--1和x=2,故所围成的平面图形如右图所示 22 」X2-x2dx 所求面积为 lx22x—lx32 23^2 ⑷【答案】aia2a3a4=0 【解析】由于方程组有解二r(A)=r(A),对A作初等行变换 第一行乘以丨「1加到第四行上 _ai 第二行加到第四行上,再第三行乘以 为使r(A)二r(A, a2 a2 _a3 a4 a1 _a3 I'a4 ■1 1 0 0-a1 1 10 0 _a1 0 1 1 0a2 T 11 0 a2 0 0 1 1_a3 1 1 _a3 卫 0 1 1a^i+a2+a4 11 0a1 +a2乜3七4_ 『数 a1,a2,a3,a4应满足条件 : 4 + a2+a +a4二 -1加到第四行上 有 【相关知识点】对非齐次线性方程组有解的判定定理如下: 设A是mn矩阵,线性方程组Ax二b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵A二Ab的秩,即是r(A)二r(A)(或者说,b可由A的列向量m’lllFn线表出, 亦等同于〉1,〉2,川几与〉1,〉2,lH」n,b是等价向量组). 又定理有: 设A是mn矩阵,线性方程组Ax二b,那么 (1)有唯一解 — r(A)二r(A)二n. (2) 有无穷多解 — r(A)=r(A) (3) 无解 r(A)1=r(A).=b不冃匕由A的列向量m1,、£2,IH,tn线表出 ⑸【答案】Z~N0,5. 【解析】由独立的正态变量X与Y的线性组合仍服从正态分布,因此Z~N(Aq2),且 」-EZ=EX-2Y7]=EX-2EY7=0, 二2二DZ=DX-2Y7=DX4DY=5. 因此Z~N0,5. 【相关知识点】假设随机变量X与Y均服从正态分布,那么X与Y的线性组合亦服从正态分布假设X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有 E(aXbYc)=aE(X)bE(Y)c, D(aXbYc)-a2D(X)b2D(Y), 其中a,b,c为常数. 、选择题(此题总分值15分,每题3分.) (1)【答案】(B) 【解析】由于 lim x^: sinx-- ee,而limtanx=■: ■,所以, sinx limxtanxe =■,故f(x)无界. 2 或考察f(x)在xn=2n(n 4 1,2,|H)的函数值,有〞m_f(xn)T」m_xne =■: : 可见 2x巧 f(x)是无界函数.应选(B). 以下证明其他结论均不正确. (11\Hsi』了JI)HsinE) 由「=e4式f—=eI4/知(A)不正确; 14丿4I4丿4 f兀)In} 由f—0,f-一0,而f0=0,知(D)不正确. 14丿I4丿 证明(C)不正确可用反证法 f冗1 设gx]=tanxesinx,于是gx的定义域为D=x|x=k: •,k=0,1,2||| 且gx的全部零点为Xn=n二,n=0,_1,_2,fx]=xgx以TT0为周期,那么 有 xTgxT二xgx,-x二D. 令x=0,有TgT]=0,即gTi=0・从而T=k二,其中k为某一正数.于是2k二也是 xgx的周期•代入即得,对-x•D有 x2k二gx2k…-x2k二gx=xgx. 这说明2k二gx三0在x: =D上成立,于是gx=0在x: =D上成立,导致了矛盾.故 fxi;=xgx不可能是周期函数. 【相关知识点】极限的四那么运算法那么: 假设limf(x)二A,limg(x)二B,那么有limf(x)g(x)二AB. xjx0x)xdx>xd ⑵【答案】(D) 【解析】通过变量代换t=x,1或按定义由关系式f(「x)=af(x)将f(x)在x=1的可 导性与f(x)在x=0的可导性联系起来 令t=x1,那么f(t)二af(t-1).由复合函数可导性及求导法那么,知f(t)在t=1可导,且 f(切厂af(t-1)(t-1)t厂af(0)=ab, 因此,应选(D). 【相关知识点】复合函数求导法那么: 如果u=g(x)在点x可导,而y二f(x)在点u=g(x)可 导,那么复合函数y=flg(x)1在点x可导,且其导数为 d^=f(u)g(x)或鱼虫. dxdxdudx ⑶【答案】(C) 【解析】此题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念. (A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组.,: 工‘川,—线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组线性无关 例如: (1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)一(1,1)=(0,0),该向量组线性相关.但 (A)(B)(D)均成立. 根据“〉1,〉2,IH,〉s线性相关的充分必要条件是存在某: i(i=1,2,川,s)可以由 : j,Ih冷」,冷m,s线性表出.〞或由“仆2,川,〉s线性无关的充分必要条件是任意一个 : i(i=1,2,川,s)均不能由冷川卜」X线性表出.〞应选(C). (4)【答案】(A) 【解析】对伴随矩阵根本关系式A*A=AA=|AE,两端取行列式,有 *nn a|a=|ae=|ae=a, *n1 由A可逆,AHO,故A=A.应选(A). (5)【答案】B 【解析】方法1: 由于X服从二项分布,参数为n,p,因此EX二np,DX二叩q,即 np=2.4, 2 np1-p=1.44, 解此方程组得到n=6,p=0.4,故应选(B). 方法2: 排除法.由于X服从二项分布Bn,p,所以EX=np,DX=npq.易见四个选项 中的n,p都满足EX-2.4,但是只有时,才有DX-1.44•应选(B). 三、计算题(此题总分值20分,每题5分.) 2 (1)【解析】因为e"与积分变量t无关,所以可以将它拿到积分号的外面,有 /x… : 1t2etdf X2t2/exc+2 i[1tedt二lim o 此为二型未定式极限,且分子分母都可导,由洛必达法那么、积分上限的函数求导数、以及两 cd 函数乘积的求导公式,得 ..1X2eX1X2 lim22=lim2 x': ex2x2eXx「12x2 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式: 假设F(t)二ef(x)dx,-(t),1(t)均一阶可导,那么 (t) F(t)二■-(t)fW(t)f〔: (t)l. 两函数乘积的求导公式: If(x)g(x)J-f(x)g(x)f(x)g(x). (2)【解析】方法1: 由三角函数的二倍角公式 —cos— 22, 4x x xcos xcos 2dx- 12dx 3x3x8sincos一 8-3x sin一 22 2 sin: - 原式 x xcos 求解2dx时需要用到分部积分法 '.3x sin 2 x.cos—dx由2 .3xsin- 2 =2sin2xdsinX=-dsin*x,有 222 原式 .x sin二 22 -x dx 8sin2^ 2 .2xsin—2 1..^x xdsin 82 二~x-1cot-C,其中C为任意常数. 42 8sin2° 2 cos-dx 方法2: 分部积分,由2—— .3x sin 2 =cot|csc2|d^-2cot|dcot|^-dcot2|,有 1 原式=—| 8• x xcos- 2 .3x sin 2 dx= 1xxxcot—dcot—4__ 4xdcot2i -—xcot 82 2x1cot22dx xcot2X 82 -1icsc2--1 -8.- 2x 2 1x1x xcsc2cotC,其中C为任意常数. 8242 注: 分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计 算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式: 假定u=u(x)与v=v(x)均具有连续的导函数,那么 uvdx=uv-uvdx,或者udv=uv-vdu. ⑶【解析】方法1: 作辅助函数,将等式的右边移到等式的左边,令为Fx,y,z,即 22 Fx,y,z二xz .: zFyx,y,z -z : yFzx,y,z 2yz_y®- (x,y,z +- ,F/(x,y,z)=2zW '、» y '2 由复合函数可导性及求导法那么及隐函数求导法那么 有 Fy y 方法2: 将原式两边同时对y求偏导,将z看做x和y的函数,x看作常数,得 由上式解出— : z /、z — _-Cp* y f、z yp /、z —Z収 /、z : y 2yz-- 【相关知识点】 1. 复合函数求导法那么: 如果u=g(x)在点x可导,而目二f(x)在点 u二g(x)可导,那么复合函数y=f〔g(x)] fyz +y半‘ PI 「比1 —2z j丿 >y丿 y约y丿 在点x可导,且其导数为 誉f(u)g(x)或 dydydu dxdudx £z : x Fz ■: yFz 2•隐函数求导法那么: 设函数在点卩仇祕么)的某一邻域内具有连续偏导数,且卩区』。 ^)^。 Fz(x0,y0,z0p"Q,那么方程F(x,y,z)=0在点P(x0,y0,z^的某一邻域内恒能唯一确定一个 f(xo,y°),并有 连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0 (4)【解析】区域D是无界函数,设 Db二DrV0EyEbU{x,y0乞y巾厘-} 32 b_y2-Z )e_dy2xdx T 不难发现,当.=■.: 时有Db>D,从而 _y2」2L 11xedxdylim11xedxdylim Dyb-f0 1b112 lim(-yy)e*dy 2^-049 5rby+2 =—-hm0yedyt=y 72b」•: : 0 _b2 5』25 工lim(1-e)= 144b"144 四、(此题总分值9分) 【解析】 (1)利润为销售收入减去本钱,所以利润函数为 22 ■■: =1514x「32x2-8为冷—2x1-10x2-(x1x2) 22 =1513x131x2-8x-ix2-2x-i-10x2. 由多元函数极值点的必要条件,有 ◎ ——=V为一8x2+13=0, ^x 1: x<|=0.75,x2=1.25. 12 -—二~8x1-20x231=0, : x2 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用万元,报纸广告费用万元可获最大利润. (2)假设广告费用为万元,那么应当求利润函数(与 (1)中解析式相同) 22 ■: =1513x131x2-8x^2-2x1-10x2, 在X1,X2=时的条件最大值.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为 L(x1,x2,■)=1513x131冷「8x^2「2x: 「10x;(x「x2-1.5), 二-4咅-8x213=0, 2L : x2 二―8^-20x231=0, : L x2-=0 二%=0,x2=1.5. 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费万元全部用于报纸广告,可使利润最大. 因跨考敎肓 护匸二JKUAKAOEDUCATION 【相关知识点】拉格朗日乘子法 要找函数z=f(x,y)在附加条件“x,y)=0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 L(x,y)=f(x,y)W『(x,y), 其中,为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来: 'fx(x,y)+Mx(x,y)=0, .: (x,y)=0. 由这方程组解出x,y及,,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件: : (x,y)=0下的可能极值点•五、(此题总分值6分) 令其为f(x),另一边剩下0, 【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边再在给定区间内讨论f(x)的单调性即可证明原不等式 令fx=1xlnx1一x? -、1一X2,那么 1 令f"(x)=0得驻点x=0,由f"(x)=>0可知,x=0为极小值点,亦即最小值点 +x2 fx最小值为f0]=0.于是fx一0[-心〞x亠「],即 1xlnx,1x2_一1x2x「;©];. 六、(此题总分值4分) 【解析】因为此题行列式中零元素较多,所以考虑将行列式按某一行或者某一列展开,到达降 阶的目的. 将行列式按第 一列展开 有 一& 1 0 III 0 0 0 —人 1 III 0 0 A-^E = + + ■1 4 ■ ■ + + fat 0 0 0 III 1 1010 0 0 III 0 一丸 1 0 III 0 1 0 III 0 0 0 一九 1 III 0 一九 1 III 0 0 • a ■ ■ 1010_F ■ ■ ■ ): 4 ■1 4 4 1- F +10(-1) + + i q ■i + + 0 0 0 川 1 0 0 川 1 0 0 0 0 III -X 0 0 III 一丸 1 10 10 -1010. =(—九 9 j10 【相关知识点】行列式的性质: 将行列式对任一行按下式展开 其值相等,即 n D=為人1+耳2八2+"|+ainAn=送aijAjU二1,2,I",n), j^ 其中Aj=(-1)「jMjj,Mjj是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排列成的n-1阶 行列式,它称为aij的余子式,Aj称为aij的代数余子式 七、(此题总分值5分) 【解析】设■是A特征值,X=(x,,x2,川,xn)T是属于■的实特征向量,那么 AX=XX=0. (1) 两边取转置有XTAT二,XT. (2) TT2T 将 (1)、 (2)两式相乘得XAAX二■XX. 题设条件ATA=E,故XTX=•2XTX.即是•2-1XTX=0. 因为XTX=x: +11汁x;>0,从而丸2—1=0,即是入|=1.命题得证• 事实上,作为正交矩阵A,其特征值,可以是复数,那么此题结论可拓广为特征值•的模长为1. 证明过程略• 八、(此题总分值8分) 【解析】此题中,方程组有解二r(A)=r(A).(相关定理见第一题(4)) 对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以-3、-5分别加到
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