中考数学分类汇编圆的有关概念附解析.docx

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中考数学分类汇编圆的有关概念附解析

2018中考数学分类汇编--圆的有关概念（附解析）

2018中考数学试题分类汇编：

考点28圆的有关概念

一．选择题（共26小题）

1．（2018安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）

A．2cmB．4cmC．2cm或4cmD．2cm或4cm

【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．

【解答】解：

连接AC，AO，

∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，

∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，

当C点位置如图1所示时，

∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，

∴OM===3cm，

∴CM=OC+OM=5+3=8cm，

∴AC===4cm；

当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，

∵OC=5cm，

∴MC=5﹣3=2cm，

在Rt△AMC中，AC===2cm．

故选：

C．

2．（2018聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）

A．25°B．27.5°C．30°D．35°

【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．

【解答】解：

∵∠A=60°，∠ADC=85°，

∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，

∴∠AOC=2∠B=50°，

∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°

故选：

D．

3．（2018张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）

A．8cmB．5cmC．3cmD．2cm

【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．

【解答】解：

∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，

∴CE=CD=4cm．

在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，

∴OE==3cm，

∴AE=AO+OE=5+3=8cm．

故选：

A．

4．（2018菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）

A．64°B．58°C．32°D．26°

【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．

【解答】解：

如图，

由OC⊥AB，得

=，∠OEB=90°．

∴∠2=∠3．

∵∠2=2∠1=2×32°=64°．

∴∠3=64°，

在Rt△OBE中，∠OEB=90°，

∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，

故选：

D．

5．（2018白银）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）

A．15°B．30°C．45°D．60°

【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．

【解答】解：

连接DC，

∵C（，0），D（0，1），

∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，

∴∠DCO=30°，

∴∠OBD=30°，

故选：

B．

6．（2018襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）

A．4B．2C．D．2

【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．

【解答】解：

∵OA⊥BC，

∴CH=BH，=，

∴∠AOB=2∠CDA=60°，

∴BH=OBsin∠AOB=，

∴BC=2BH=2，

故选：

D．

7．（2018济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）

A．50°B．60°C．80°D．100°

【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．

【解答】解：

圆上取一点A，连接AB，AD，

∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，

∴∠BAD=50°，

∴∠BOD=100°，

故选：

D．

8．（2018通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°

【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．

【解答】解：

由图可知，OA=10，OD=5，

在Rt△OAD中，

∵OA=10，OD=5，AD=，

∴tan∠1=，∠1=60°，

同理可得∠2=60°，

∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，

∴圆周角的度数是60°或120°．

故选：

D．

9．（2018南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）

A．58°B．60°C．64°D．68°

【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．

【解答】解：

∵OA=OC，

∴∠C=∠OAC=32°，

∵BC是直径，

∴∠B=90°﹣32°=58°，

故选：

A．

10．（2018铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）

A．55°B．110°C．120°D．125°

【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

【解答】解：

根据圆周角定理，得

∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．

故选：

D．

11．（2018临安区）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）

A．B．C．D．

【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．

【解答】解：

设OA与BC相交于D点．

∵AB=OA=OB=6

∴△OAB是等边三角形．

又根据垂径定理可得，OA平分BC，

利用勾股定理可得BD==3

所以BC=6．

故选：

A．

12．（2018贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（）

A．24°B．28°C．33°D．48°

【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．

【解答】解：

∵∠A=66°，

∴∠COB=132°，

∵CO=BO，

∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°，

故选：

A．

13．（2018威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）

A．B．5C．D．5

【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．

【解答】解：

连接OC、OA，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵AB为弦，点C为的中点，

∴OC⊥AB，

在Rt△OAE中，AE=，

∴AB=，

故选：

D．

14．（2018盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）

A．35°B．45°C．55°D．65°

【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：

由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，

故选：

C．

15．（2018淮安）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）

A．70°B．80°C．110°D．140°

【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．

【解答】解：

作对的圆周角∠APC，如图，

∵∠P=∠AOC=×140°=70°

∵∠P+∠B=180°，

∴∠B=180°﹣70°=110°，

故选：

C．

16．（2018咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）

A．6B．8C．5D．5

【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．

【解答】解：

如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，

则∠AOB+∠BOE=180°，

又∵∠AOB+∠COD=180°，

∴∠BOE=∠COD，

∴BE=CD=6，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ABE=90°，

∴AB===8，

故选：

B．

17．（2018衢州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）

A．75°B．70°C．65°D．35°

【分析】直接根据圆周角定理求解．

【解答】解：

∵∠ACB=35°，

∴∠AOB=2∠ACB=70°．

故选：

B．

18．（2018柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）

A．84°B．60°C．36°D．24°

【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案．

【解答】解：

∵∠B与∠C所对的弧都是，

∴∠C=∠B=24°，

故选：

D．

19．（2018邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）

A．80°B．120°C．100°D．90°

【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．

【解答】解：

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，

由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，

故选：

B．

20．（2018苏州）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）

A．100°B．110°C．120°D．130°

【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．

【解答】解：

∵∠BOC=40°，

∴∠AOC=180°﹣40°=140°，

∴∠D=，

故选：

B．

21．（2018台湾）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？

（）

A．﹣2B．﹣2C．﹣8D．﹣7

【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．

【解答】解：

连接AC，

由题意得，BC=OB+OC=9，

∵直线L通过P点且与AB垂直，

∴直线L是线段AB的垂直平分线，

∴AC=BC=9，

在Rt△AOC中，AO==2，

∵a＜0，

∴a=﹣2，

故选：

A．

22．（2018衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）

A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm

【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：

连接OB，

∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，

在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，

即OE2+42=（OE+2）2

解得：

OE=3，

∴OB=3+2=5，

∴EC=5+3=8，

在Rt△EBC中，BC=，

∵OF⊥BC，

∴∠OFC=∠CEB=90°，

∵∠C=∠C，

∴△OFC∽△BEC，

∴，

即，

解得：

OF=，

故选：

D．

23．（2018青岛）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）

A．70°B．55°C．35.5°D．35°

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．

【解答】解：

连接OB，

∵点B是的中点，

∴∠AOB=∠AOC=70°，

由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，

故选：

D．

24．（2018广州）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）

A．40°B．50°C．70°D．80°

【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．

【解答】解：

∵∠ABC=20°，

∴∠AOC=40°，

∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC=40°，

∴∠AOB=80°，

故选：

D．

25．（2018遂宁）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）

A．5B．6C．7D．8

【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：

∵半径OC垂直于弦AB，

∴AD=DB=AB=，

在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，

解得，OA=4

∴OD=OC﹣CD=3，

∵AO=OE，AD=DB，

∴BE=2OD=6，

故选：

B．

26．（2018钦州三模）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）

A．70°B．35°C．45°D．60°

【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．

【解答】解：

∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，

∴弧AC=弧AB（垂径定理），

∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；

又∠AOB=70°，

∴∠ADC=35°．

故选：

B．

二．填空题（共13小题）

27．（2018孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．

【分析】分两种情况进行讨论：

①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．

【解答】解：

①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，

∵AB=16cm，CD=12cm，

∴AE=8cm，CF=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴EO=6cm，OF=8cm，

∴EF=OF﹣OE=2cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，

∵AB=16cm，CD=12cm，

∴AF=8cm，CE=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴OF=6cm，OE=8cm，

∴EF=OF+OE=14cm．

∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．

故答案为：

2或14．

28．（2018曲靖）如图：

四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=n°．

【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．

【解答】解：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠DCB=180°，

又∵∠DCE+∠DCB=180°

∴∠DCE=∠A=n°

故答案为：

n

29．（2018南通模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为2．

【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．

【解答】解：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC==4，

∵OD⊥BC，

∴BD=CD，

而OB=OA，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD=AC=×4=2．

故答案为2．

30．（2018北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．

【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．

【解答】解：

∵=，∠CAD=30°，

∴∠CAD=∠CAB=30°，

∴∠DBC=∠DAC=30°，

∵∠ACD=50°，

∴∠ABD=50°，

∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．

故答案为：

70°．

31．（2018杭州）如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=30°．

【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可．

【解答】解：

∵点C是半径OA的中点，

∴OC=OD，

∵DE⊥AB，

∴∠CDO=30°，

∴∠DOA=60°，

∴∠DFA=30°，

故答案为：

30°

32．（2018吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=29度．

【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可；

【解答】解：

连接OC．

∵=，

∴∠AOB=∠BOC=58°，

∴∠BDC=∠BOC=29°，

故答案为29．

33．（2018烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．

【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．

【解答】解：

连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：

在CB的垂直平分线上找到一点D，

CD═DB=DA=，

所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，

即D的坐标为（﹣1，﹣2），

故答案为：

（﹣1，﹣2），

34．（2018无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=15°．

【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．

【解答】解：

∵OA=OB，OA=AB，

∴OA=OB=AB，

即△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∵OC⊥OB，

∴∠COB=90°，

∴∠COA=90°﹣60°=30°，

∴∠ABC=15°，

故答案为：

15°

35．（2018广东）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．

【分析】直接利用圆周角定理求解．

【解答】解：

弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．

故答案为50°．

36．（2018黑龙江）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为5．

【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．

【解答】解：

连接OC，

∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴CE=DE=CD=×6=3，

设⊙O的半径为xcm，

则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，

在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，

∴x2=32+（x﹣1）2，

解得：

x=5，

∴⊙O的半径为5，

故答案为：

5．

37．（2018绍兴）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B走了15步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：

≈1.732，π取3.142）

【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则OC=10，AC=10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．

【解答】解：

作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，

∵OA=OB，

∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，

在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，

∴AB=2AC=20≈69（步）；

而的长=≈84（步），

的长与AB的长多15步．

所以这些市民其实仅仅少B走了15步．

故答案为15．

38．（2018随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=60度．

【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．

【解答】解：

如图，连接OA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=20°，

∴∠OAB=60°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB=60°，

故答案为：

60．

39．（2018金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．

（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm．

（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为10﹣10cm．

【分析】

（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；

（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；

【解答】解：

（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．

∵D1A=D1B1=30

∴D1是的圆心，

∵AD1⊥B1C1，

∴B1H=C1H=30×sin60°=15，

∴B1C1=30

∴弓臂两端B1，C1的距离为30

（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．

设半圆的半径为r，则πr=，

∴r=20，

∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，

在Rt△GB2D2中，GD2==10

∴D1D2=10﹣10．

故答案为30，10﹣10，

三．解答题（共1小题）

40．（2018宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．

（1）求证：

四边形ABFC是菱形；

（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．

【分析】

（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；

【解答】

（1）证明：

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE，

∵AE=EF，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AC=AB，

∴四边形ABFC是菱形．

（2）设CD=x．连接BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，

∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，

解得x=1或﹣8（舍弃）

∴AC=8，BD==，

∴S菱形ABFC=8．

∴S半圆=π42=8π．