拔高教育K12课标通用高考数学一轮复习第九章解析几何91直线的倾斜角与斜率直线的方程学案理.docx
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拔高教育K12课标通用高考数学一轮复习第九章解析几何91直线的倾斜角与斜率直线的方程学案理
§9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
考纲展示►
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
2.掌握确定直线位置的几何要素;掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关系.
考点1 直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
(1)定义:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l________之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴________时,规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:
直线l的倾斜角的取值范围是________.
答案:
(1)向上方向 平行或重合
(2)[0,π)
2.直线的斜率
(1)定义:
若直线的倾斜角α不是90°,则斜率k=________.
(2)计算公式:
若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则k=.
答案:
(1)tanα
斜率与倾斜角的两个易错点:
斜率与倾斜角的对应关系;倾斜角的范围.
(1)当a=3时,直线ax+(a-3)y-1=0的倾斜角为________.
答案:
90°
解析:
当a=3时,直线ax+(a-3)y-1=0可化为3x-1=0,其倾斜角为90°.
(2)直线xcosα+y+2=0的倾斜角的范围是________.
答案:
∪
解析:
设直线的倾斜角为θ.
依题意知,斜率k=-cosα.
∵cosα∈[-1,1],∴k∈[-1,1],
即tanθ∈[-1,1].
又θ∈[0,π),∴θ∈∪.
求斜率或倾斜角:
公式法.
已知直线l经过A(-cosθ,sin2θ),B(0,1)两个不同的点,则直线l的斜率为________,倾斜角的取值范围是________.
答案:
cosθ ∪
解析:
当cosθ=0时,
sin2θ=1-cos2θ=1,
此时A,B两点重合,∴cosθ≠0,
∴斜率k=cosθ∈[-1,0)∪(0,1],
因此倾斜角的取值范围是∪.
[典题1]
(1)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.[0,π)
B.
C.
D.∪
[答案] C
[解析] 当cosθ=0时,方程变为x+3=0,
其倾斜角α=;
当cosθ≠0时,由直线方程可得斜率
k=tanα=-.
∵cosθ∈[-1,1]且cosθ≠0,
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又α∈[0,π),
∴α∈∪.
综上知,倾斜角α的取值范围是,故选C.
(2)若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而α∈∪,则k的取值范围是________.
[答案] [-,0)∪
[解析] 当≤α<时,≤tanα<1,
∴≤k<1.
当≤α<π时,-≤tanα<0,
即-≤k<0.
∴k∈∪[-,0).
(3)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.
[答案] (-∞,-]∪[1,+∞)
[解析] 如图所示,
∵kAP==1,
kBP==-,
∴直线l斜率的取值范围为
(-∞,-]∪[1,+∞).
[题点发散1] 若将本例(3)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
解:
∵P(-1,0),A(2,1),B(0,),
∴kAP==,
kBP==.
如图可知,直线l斜率的取值范围为.
[题点发散2] 若将本例(3)的条件改为“经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点”,求直线l的倾斜角α的取值范围.
解:
解法一:
如图所示,
kPA==-1,kPB==1,
由图可得,直线l的倾斜角α的取值范围是∪.
解法二:
由题意知,直线l存在斜率.
设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y+1=kx,即kx-y-1=0.
∵A,B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上.
∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,
即2(k+1)(k-1)≤0.
∴-1≤k≤1.
∴直线l的倾斜角α的取值范围是∪.
[点石成金] 求倾斜角的取值范围的两个步骤及一个注意点
(1)两个步骤:
①求出斜率k=tanα的取值范围;
②利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.
(2)一个注意点:
求倾斜角时要注意斜率是否存在.
考点2 直线方程
直线方程的五种形式
答案:
y-y0=k(x-x0) y=kx+b = Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
(1)[教材习题改编]直线l的倾斜角为60°,且在x轴上的截距为-,则直线l的方程为________.
答案:
3x-y+1=0
解析:
由题意可知,直线l的斜率为,且该直线过,∴直线l的方程为y=,即3x-y+1=0.
(2)[教材习题改编]若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合),则应满足的条件是________.
答案:
A≠0且B≠0
解析:
直线Ax+By+C=0与x轴相交,即方程组有唯一解,所以A≠0.
同理,直线Ax+By+C=0与y轴相交时,有B≠0.
直线方程的易错点:
方程形式的变形及转化.
(1)给出下列直线方程:
①x-3y=6;②2x-3y=0;③ax+by=c,其中一定能化为截距式方程的是________.
答案:
①
解析:
(1)x-3y=6化为截距式方程为
+=1;
2x-3y=0不能化为截距式方程;
当a,b,c中有1个或2个为0时,ax+by=c不能化为截距式方程.
(2)过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________.
答案:
4x+3y=0或x+y+1=0
解析:
①若直线过原点,则k=-,
所以y=-x,即4x+3y=0.
②若直线不过原点,
设直线方程为+=1,即x+y=a,
则a=3+(-4)=-1,
所以直线方程为x+y+1=0.
综上,所求直线方程为4x+3y=0或x+y+1=0.
[典题2] 根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.
[解]
(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
设倾斜角为α,则sinα=(0≤α<π),
从而cosα=±,则k=tanα=±.
故所求直线的方程为y=±(x+4),
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)由题设知,横、纵截距不为0,
设直线方程为+=1,
又直线过点(-3,4),从而+=1,
解得a=-4或a=9.
故所求直线的方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
(3)当斜率不存在时,所求直线的方程为x-5=0,满足题意.
当斜率存在时,设其斜率为k,
则所求直线的方程为y-10=k(x-5),
即kx-y+10-5k=0,
由点到直线的距离公式,得=5,
解得k=.
故所求直线的方程为3x-4y+25=0.
综上知,所求直线的方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
[点石成金] 根据各种形式的方程,采用待定系数的方法求出其中的系数,在求直线方程时,凡涉及斜率的要考虑其存在与否,凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.
求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;
(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解:
(1)设直线l在x,y轴上的截距均为a,
若a=0,即l过点(0,0)和(4,1),
∴l的方程为y=x,即x-4y=0.
若a≠0,则设l的方程为+=1,
∵l过点(4,1),∴+=1,
∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.
(2)由已知,设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.
∵tanα=3,∴tan2α==-.
又直线经过点A(-1,-3),
∴所求直线的方程为y+3=-(x+1),
即3x+4y+15=0.
(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1.
又直线过点(3,4),由点斜式,得y-4=±(x-3).
故所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
考点3 直线方程的综合应用
[考情聚焦] 直线方程的综合应用是常考内容之一,它与函数、导数、不等式、圆相结合,命题多为客观题.
主要有以下几个命题角度:
角度一
与基本不等式相结合的最值问题
[典题3] 若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )
A.2B.3C.4D.5
[答案] C
[解析] 将(1,1)代入直线+=1,得+=1,a>0,b>0,故a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时等号成立,故a+b的最小值为4.
角度二
与导数的几何意义相结合的问题
[典题4] 设P为曲线C:
y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为( )
A.B.[-1,0]
C.[0,1]D.
[答案] A
[解析] 由题意知,y′=2x+2,
设P(x0,y0),则在点P处的切线的斜率k=2x0+2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,
故-1≤x0≤-.
角度三
与圆相结合求直线方程问题
[典题5] 在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:
x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线,垂足为H,过点H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程是________.
[答案] x+y--1=0
[解析] 直线OA的方程为y=x,代入半圆方程,得A(1,1),
所以H(1,0),直线HB的方程为y=x-1,
代入半圆方程,得B.
所以直线AB的方程为
=,
即x+y--1=0.
[点石成金] 处理直线方程综合应用的两大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.
(2)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
已知直线l:
kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:
直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明:
直线l的方程可变形为k(x+2)+(1-y)=0,
令解得
∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)解:
由直线l的方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,
要使直线l不经过第四象限,
则必须有解得k>0;
当k=0时,直线为y=1,符合题意.故k≥0,
即k的取值范围是[0,+∞).
(3)解:
由l的方程,得A,B(0,1+2k).
依题意得解得k>0.
∵S=·|OA|·|OB|
=··|1+2k|
=·=
≥×(2×2+4)=4,
等号成立的条件是k>0且4k=,即k=,
∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
[方
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