完整版北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析.docx
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完整版北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析
第5课时平面向量的坐标表示及其运算
、课程学习目标
1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中磁的特殊意义•
2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示
3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算
4.
理解用坐标表示平面向量共线的条件
左知识记忆与理解二
I靠学区■不看不讲
WJfi‘IRgieF■’TV]
知识徉系梳理
iisva
足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为U.能否建立适当的坐
标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?
能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示
这个速度呢?
问题1:
平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正
交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底ei、e2时的情况.
问题2:
平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,a为
坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点0为起点作;^=a,由平面向量基本定理可知,
一对实数x,y,使得碘僅,因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标,
记作.
问题3:
平面向量在坐标表示下的线性运算
(1)向量和的坐标运算:
若a=(xi,yi),b=(X2,y2),则a+b=.
即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
(2)向量差的坐标运算:
若a=(xi,yi),b=(X2,y2),则a-b=.
即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
(3)实数与向量的积的坐标运算:
设入€R,a=(x,y),贝U入a=.
即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积
⑷漏的坐标表示:
若A(xi,yi),B(X2,y",则凤菸.一-丽=.
即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标
:
量知行jlin
若a=(3,4),则a可以用
).
Ba=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j
a=(1,2),b=(-2,m),且a//b,则2a+3b=().
B(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)
入二
第二层级\
导学凰讦辺栉J
AftAA
童点港点探究
()««-
.思维探究与创新
平面向量的正交分解
在直角坐标系xOy中,向量a,b的位置如图所示,已知|a|=4,|b|=3,且/AOx=45°,/OAB=05°,分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.
平面向量的坐标运算
已知点A(-1,2),巳2,8)及.=爾,卜,-:
!
=*.疣,求点C、D和广门的坐标.
"三
平行向量的坐标运算
已知四边形ABCD勺顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若AB//CD求x的
值.
才AkA他力JMMt
思维拓展应用
直用一
在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.
(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位;
(2)用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位;
(3)用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.
已知A、BC的坐标分别为A(2,-4)、耳0,6)、C(-8,10),求向量一+2存-:
黍的坐标.
应用三
用与9&展
国孝区・不嵐不许
已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向
世祀「It僅救虚幌
、基础智能检测
1.设向量,.=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().
A(5,12)B.(12,5)C(2,1)D.(1,2)
2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量乔?
同方向的单位向量为().
A(f,峙)B.(£,-吉C(-謠)D.(看)
3.已知边长为单位长度的正方形ABCP若A与坐标原点重合,边ABAD分别落在x轴、y轴正
方向上,则向量2._+3_._+評的坐标为.
4.已知平行四边形ABC啲三个顶点ABC的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D的坐标.
料样・鼻祀5槻*$丄杞
全新视角拓嚴
(2013年•陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m2),若a//b,则实数m等于().
A-‘历B血C.-桎或洛D.0
考题变式(我来改编):
学滋社卞,'1歩•表朱1细>illl.t:
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・学习体验分事
答案
第5课时平面向量的坐标表示及其运算
知识体系梳理
问题1:
相互垂直垂直
问题2:
有且仅有xi+yj(x,y)a=(x,y)
问题3:
(1)(X1+X2,yi+y2)
(2)(X1-X2,yi-y2)(3)(入x,入y)(4)(X1-X2,yi-y2)
问题4:
a=Xb(入X2,入y2)入X2Xy2Xiy2-X2yi=0零=成比例
T-a"Wm
基础学习交流
1.Aa=(3,4)=3i+4j.
2.C由a=(i,2),b=(-2,m),且a//b,得ixm=2X(-2)?
m=4,从而b=(-2,-4),那么2a+3b=2X(i,2)+3X(-2,-4)=(-4,-8).
3.2•.•入a+b=(入+2,2入+3)与c=(-4,-7)共线,A(入+2)X(-7)-(2入+3)X(-4)=0,解得
入二2.
4.
解:
⑴a+b=(-i,2)+(3,-5)=(-i+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-i,2)-(3,-5)=(-i-3,2+5)=(-4,7),2a+3b=2(-i,2)+3(3,-5)=(-2+9,4-i5)=(7,-ii).
(2)3a-b+c=3(i,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(3+2+0,-9-4+5)=(5,-8).重点难点探究
探究一:
【解析】设a=(ai,a2),b=(bi,b2),
■/ZAOx=5°,Aai=|a|cos45°=4X=2J*
a2=|a|sin45°=4X字=2界,
aa=(2搭,2叔)=y,
AA点的坐标为(2嵌,2雨).
将b的起点平移至原点,令b的终点为B',
由题意可知ZB'Ox=i20°,
所以bi=|b|cosi20°=3X(-.)=-],b2=|b|sini20°=3X手
••b=(-,).
又•/b=^=.--%:
•••一=b+.=(2J?
-,2.+).
故a=(2-,2),b=(--,^^),A点的坐标为(2讹£,2皿-),B点的坐标为(2--.,2.+•).
【小结】(i)相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要把始点不在原点的向量移到原点.
(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标
减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标
(3)
x轴正方向的夹角为e,由三角函数的e是向量a的方向与X轴正方向的夹
若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与
定义可知,x=|a|cose,y=|a|sine.要注意公式中的
角.
C(xi,yi),D(X2,y2),由题意得
探究二:
【解析】设点
乳=(Xi+i,yi-2),皿;=(3,6),曲;=(-i-x2,2-y2),•.•朋=;抄:
兀=冷丽,
-3,-6)=(i,2),
f-L-xa=1,
)"J—IlJ—学
一乙
/.(Xi+i,yi-2)=(3,6)=(i,2),(-i-x2,2-y2)=-;贝U有-和解得「和.
A点CD的坐标分别为(0,4)和(-2,0),,=(-2,-4).
【小结】求点的坐标时,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可.
探究三:
【解析】TAB//CDA:
-//亠,
-2■
又:
,=(x,x+3)^_=(2x,x+1),
2
•••x(x+1)-2x(x+3)=0,
解得x=-2或x=0或x=3.
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确,错误一:
没有注意四边形ABC□顶点的顺序,需满足,亠,…反向才行•错误二:
没有注意向量的平行与线段平行的不同,一//一一时,AB与CD可能平行也可能重
合.
=-.(10,-4)=-_(a-3b).
k=-.,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.
(法二)由题意知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数入,
使ka+b=X(a-3b),由(k-3,2k+2)=X(10,-4),
•••当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-.(a-3b).
VO,向相反.
•k=-.,此时ka+b与a-3b平行,并且反向
基础智能检测
1.D设点B的坐标为(x,y),
..=(x,y)_.=(3,7),」=..-丽[=(x-3,y-7)=(-2,-5),•_解得叮二
2.A:
_=(3,-4),所以|一|=5,这样同方向的单位向量是=(,-),选A.
3.
(3,4)如图,建立直角坐标系,
有A(0,0),B(1,0),Q1,1),Q0,1),
即一=(1,0),諮=(0,1),
..=(1,1),则有2」+3--+..
=(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).
4.解:
设顶点D的坐标为(x,y).
亠=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y),
由乔=…,得(1,2)=(3-x,4-y).
.i一…:
.-
…1戈二4-V,…5=亍・
•顶点D的坐标为(2,2).
全新视角拓展
C因为a=(1,n)i,b=(m2),且a//b,所以1^2=m-n?
m=±^,所以选C.
思维导图构建
xi+yj(x,y)(X1±X2,y1±y2)(入X1,Xy1)(x2-x1,y2-y1)X1y2=X2y1
(1)如图,因为/POP'=45°,|裕|=2,所以a=^=-F+^=^i+;.^j,所以a=(羽,屜).
(2)因为/QOQ'=O°,同|=3,
所以b=^=吋+..一
玉血
=-i+一j,
所以b=(二,竽).
(3)因为/ROR'=30°,|巫|=4,
所以c=^?
=..七屜=2阀i-2j,
所以C=(2•.画,-2).
应用二:
A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),
得,=(-2,10),…=(-8,4),..=(-10,14),
•••忌+2站-蘇
=(-2,10)+2(-8,4)-(-10,14)
=(-2,10)+(-16,8)-(-5,7)
=(-18,18)-(-5,7)
=(-13,11).
应用三:
(法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
■/(ka+b)//(a-3b),
•(k-3)X(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b=(-討-3,-+2)=(-,-)
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