等腰三角形典型例题练习含答案.docx
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等腰三角形典型例题练习含答案
等腰三角形典型例题练习
等腰三角形典型例题练习
一•选择题(共2小题)
1如图,/C=90°AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()
2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:
1AE=BD
2CN=CM
3MN//AB
其中正确结论的个数是()
A.0B.1|C.2D.3
二.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于.
4.
5.在△ABC中,/ABC、/ACB的平分线相交于点0,过点0作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明
DE=BD+EC.
6.>已知:
如图,D是厶ABC的BC边上的中点,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?
并说明理由.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
(1)ZE等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?
为什么?
&如图,在△ABC中,/ACB=90°CD是AB边上的高,/A=30°求证:
AB=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边./B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证:
BD=2CE.
11.(2012?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
•/PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,
二S^abp=AB?
PE,Saacp=AC?
PF,Saabc=—AB?
CH.
222
又tabp+Saacp=Saabc,
•••_AB?
PE+丄AC?
PF=AB?
CH.
222
•/AB=AC,
•pe+pf=ch.
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若/A=30°△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则
AB边上的高CH=.点P到AB边的距离PE=.
12•数学课上,李老师出示了如下的题目:
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AEDB(填\”,
或=”).
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AEDB(填\”,N”或=”).理由如下:
如图2,过点E作
EF//BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD
的长(请你直接写出结果).仝〔国一
13.已知:
如图,AF平分/BAC,BC丄AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若/BAC=2/MPC,请你判断/F与/MCD的数量关系,并说明理由.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系?
试证明你的结论.
(2)求/BFD的度数.
15.如图,在△ABC中,AB=BC,/ABC=90°F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,
求证:
AE=CF.
16.已知:
如图,在△OAB中,/AOB=90°OA=OB,在△EOF中,/EOF=90°OE=OF,连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?
请说明理由.
17.(2006?
郴州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
(1)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?
并加以证明;
(2)若D在底边的延长线上,
(1)中的结论还成立吗?
若不成立,又存在怎样的关系?
请说明理由.
18.如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,贝UP点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系?
写出你的猜想并加以证明.
等腰三角形典型例题练习
参考答案与试题解析
一•选择题(共2小题)
1如图,/C=90°AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()
2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:
①AE=BD②CN=CM③MN//AB其中正确结论的个数是()
A.0B.1|C.2D.3
考点:
平行线分线段成比例;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
分析:
由厶ACD和厶BCE是等边三角形,根据SAS易证得△ACE◎△DCB,即可得①正确;由
△ACEDCB,可得/EAC=/NDC,又由/ACD=/MCN=60°利用ASA,可证得
△ACM◎△DCN,即可得②正确;又可证得△CMN是等边三角形,即可证得③正确.
解答:
解:
•••△ACD和厶BCE是等边三角形,•/ACD=/BCE=60°AC=DC,EC=BC,
•••/ACD+/DCE=/DCE+/ECB,即/ACE=/DCB,•△ACEDCB(SAS),
•AE=BD,故①正确;
•••/EAC=/NDC,•••/ACD=/BCE=60°DCE=60°ACD=/MCN=60°
•/AC=DCACM◎△DCN(ASA),•CM=CN,故②正确;
又/MCN=180°-ZMCA-/NCB=180。
-60°-60°=60°
•△CMN是等边三角形,•/NMC=/ACD=60°•MN//AB,故③正确.故选D.
二.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:
3.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
分析:
首先根据题意求得:
/DFE=/FED=/EDF=60°即可证得△DEF是正三角形,又由直角三角形中,
30°所对的直角边是斜边的一半,得到边的关系,即可求得DF:
AB=1:
,又由相似三角形的面
积比等于相似比的平方,即可求得结果.
解答:
解:
•••△ABC是正三角形,•••/B=/C=/A=60°
•/DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC,•/AFE=/CED=/BDF=90°
•••/BFD=/CDE=/AEF=30°DFE=/FED=/EDF=60°型丄
BF2
•△DEF是正三角形,•BD:
DF=1:
黃①,BD:
AB=1:
3②,△DEFABC,
①十②,冬忑,•DF:
AB=1:
DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:
3.
考点:
全等三角形的判定与性质;角平分线的定义.
过D作DM丄AB,于M,DN丄AC于N,根据角平分线性质求出DN=DM,根据四边形的内角和定
理和平角定义求出/AED=/CFD,根据全等三角形的判定
证明:
过D作DM丄AB,于M,DN丄AC于N,
•/AD平分/BAC,DM丄AB,DN丄AC,•DM=DN(角平分线性质),/DME=/DNF=90°•••/EAF+/EDF=180°MED+/AFD=360°-180°180°
•••/AFD+/NFD=180°MED=/NFD,
在厶EMD和△FND中
fZMED=ZDFN
*ZDME=ZDNF,•△EMD◎△FND,•••DE=DF.
ldm=dn
5.在△ABC中,/ABC、/ACB的平分线相交于点O,过点O作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明
DE=BD+EC.
BC
考点:
等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
分析:
根据OB和0C分别平分/ABC和/ACB,和DE//BC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,
求证出DB=DO,OE=EC.然后即可得出答案.
解答:
解:
•••在△ABC中,0B和0C分别平分/ABC和/ACB,
•••/DBO=/OBC,ZECO=/OCB,
•••DE//BC,•/DOB=/OBC=/DBO,/EOC=/OCB=/ECO,
•DB=DO,OE=EC,:
DE=DO+OE,•DE=BD+EC.
6.>已知:
如图,D是厶ABC的BC边上的中点,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?
并说明理由.
考点:
等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.
分析:
用(HL)证明△EBDFCD,从而得出/EBD=/FCD,即可证明△ABC是等腰三角形.
解答:
△ABC是等腰三角形.
证明:
连接AD,:
DE丄AB,DF丄AC,•/BED=/CFD=90°且DE=DF,
•/D是厶ABC的BC边上的中点,•BD=DC,
•Rt△EBD也Rt△FCD(HL),EBD=/FCD,•△ABC是等腰三角形.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
(1)zE等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?
为什么?
考点:
等边三角形的性质;等腰三角形的判定.
分析:
(1)由题意可推出/ACB=60°ZE=ZCDE,然后根据三角形外角的性质可知:
/ACB=/E+/CDE,
即可推出/E的度数;
(2)根据等边三角形的性质可知,BD不但为AC边上的高,也是ZABC的角平分线,即得:
ZDBC=30°然后再结合
(1)中求得的结论,即可推出△DBE是等腰三角形.
解答:
:
解:
(1):
公ABC是等边三角形,•••/ACB=60°
•••CD=CE,•/E=ZCDE,•••/ACB=ZE+ZCDE,•〕「■--i-,
(2)•••△ABC是等边三角形,BD丄AC,「.ZABC=60°•ZDBC一2乙粧(>3(?
2
vZE=30°z.ZDBC=ZE,•△DBE是等腰三角形.
&如图,在△ABC中,/ACB=90°CD是AB边上的高,/A=30°求证:
AB=4BD.
考点:
含30度角的直角三角形.
分析:
由厶ABC中,ZACB=90°ZA=30可以推出AB=2BC,同理可得BC=2BD,则结论即可证明.
解答:
解:
vZACB=90°ZA=30°•AB=2BC,ZB=60°
又vCD丄AB,•••/DCB=30°•BC=2BD.•AB=2BC=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
DF=EF.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
分析:
过D点作DG//AE交BC于G点,由平行线的性质得Z1=Z2,Z4=Z3,再根据等腰三角形的性质可得ZB=Z2,则ZB=Z1,于是有DB=DG,根据全等三角形的判定易得△DFG◎△EFC,即可得到结论.
解答:
证明:
过D点作DG//AE交BC于G点,如图,
•Z1=Z2,Z4=Z3,
vAB=AC,•••/B=Z2,•••/B=Z1,•DB=DG,而BD=CE,•DG=CE,
在^DFG和厶EFC中
rZ4=Z3
ZDFG二Z^FC,二△DFG◎△EFC,.・.DF=EF.
ldg=ce
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边./B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证:
BD=2CE.
延长CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全也△BEC,所以FE=EC,即CF=2CE,再通过证明△ADBFAC可得FC=BD,所以BD=2CE.
证明:
如图,分别延长CE,BA交于一点F.
•/BE丄EC,:
/FEB=/CEB=90°•/BE平分/ABC,二/FBE=/CBE,
又•••BE=BE,•••△BFE◎△BCE(ASA).FE=CE.:
CF=2CE.
•/AB=AC,/BAC=90°/ABD+/ADB=90°/ADB=/EDC,•/ABD+/EDC=90°
又•••/DEC=90°/EDC+/ECD=90°,FCA=/DBC=/ABD.
•△ADB◎△AFC.•FC=DB,•BD=2EC.
11.(2012?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
•••PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,•S^ABP=AB?
PE,S^acp==AC?
PF,S^ABC=,AB?
CH.
疋•匕疋
又tabp+Saacp=Saabc,•=AB?
pE+AC?
pF==AB?
CH.
•/AB=AC,•PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若/A=30°△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则
AB边上的高CH=7.点P到AB边的距离PE=4或10.
考点:
等腰三角形的性质;三角形的面积.
分析:
(1)连接AP•先根据三角形的面积么式分别表示出S^abP,S^acp,S^abc,再由
Saabp=Saacp+Saabc即可得出pE=pF+pH;
(2)先根据直角三角形的性质得出AC=2CH,再由△ABC的面积为49,求出CH=7,由于CH>PF,则可分两种情况进行讨论:
①P为底边BC上一点,运用结论PE+PF=CH;②P为BC延长线上的点时,运用结论pe=pf+ch.
解答:
解:
(1)如图②,pe=pf+ch.证明如下:
:
PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB…S“Bp*B?
pE,5气沖,$△"?
曲,•/Saabp=Saacp+S△abc,二丄AB?
PE」AC?
PF+丄AB?
CH,又tAB=AC,aPE=PF+CH;
222
(2)•••在△ACH中,/A=30°aAC=2CH.
tSaabC气AB?
CH,AB=AC,a*X2CH?
CH=49,aCH=7.
分两种情况:
1P为底边BC上一点,如图①.
•/PE+PF=CH,APE=CH-PF=7-3=4;
2P为BC延长线上的点时,如图②.
•PE=PF+CH,APE=3+7=10.故答案为7;4或10.
A4
圍①图②
12•数学课上,李老师出示了如下的题目:
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
(2)过E作EF//BC交AC于F,
•••等边三角形ABC,•/ABC=/ACB=/A=60°AB=AC=BC,
•••/AEF=/ABC=60°/AFE=/ACB=60°即/AEF=/AFE=/A=60°,
•△AEF是等边三角形,•AE=EF=AF,
•••/ABC=/ACB=/AFE=60°DBE=/EFC=120°/D+/BED=/FCE+/ECD=60°°
•/DE=EC,•/D=/ECD,•/BED=/ECF,
在厶DEB和厶ECF中
fZDEB=ZECF
*ZDBE=ZEFC,^^debECF,•••BD=EF=AE,即AE=BD,故答案为:
=.
lde=ce
(3)解:
CD=1或3,
理由是:
分为两种情况:
①如图1
过A作AM丄BC于M,过E作EN丄BC于N,贝UAM//EM,
•/△ABC是等边三角形,•••AB=BC=AC=1,
•/AM丄BC,•BM=CM=—BC=—,vDE=CE,EN丄BC,•CD=2CN,22
2
•/AM//EN,•••△AMBs\ENB,••上=,
BEBW2-1BN
b~~c~~b
圏2
②如图2,作AM丄BC于M,过E作EN丄BC于N,贝UAM//EM,
•/△ABC是等边三角形,•AB=BC=AC=1,
•/AM丄BC,•BM=CM=_BC=_,vDE=CE,EN丄BC,•CD=2CN,
AEMN
•/AM//EN,•“=',•••=,•MN=1,•CN=1-=,•CD=2CN=1
13.已知:
如图,AF平分/BAC,BC丄AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点
M.若/BAC=2/MPC,请你判断/F与/MCD的数量关系,并说明理由.
理由是:
vAF平分/BAC,BC丄AF,•/CAE=/BAE,/AEC=/AEB=90°在厶ACE和厶ABE中
IrjZAEC=ZAEB
•J觥二腿,:
.△ACE◎△ABE(ASA)「.AB=AC,
lzcae=zbae
•••/CAE=/CDE•••AM是BC的垂直平分线,二CM=BM,CE=BECMA=/BMA,
•/AE=ED,CE丄AD,•AC=CD,•/CAD=/CDA,
•••/BAC=2/MPC,又I/BAC=2/CAD,
•••/MPC=/CAD,•/MPC=/CDA,•/MPF=/CDM,
•/MPF=/CDM(等角的补角相等),
J/DCM+/CMD+/CDM=180°/F+/MPF+/PMF=180°
又•••/PMF=/BMA=/CMD,•/MCD=/F.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系?
试证明你的结论.
(2)求/BFD的度数.
考点:
:
等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.
分析:
(1)根据等边三角形的性质可知/BAC=/C=60°AB=CA,结合AE=CD,可证明△ABE◎△CAD,从而证得结论;
(2)根据/BFD=/ABE+/BAD,/ABE=/CAD,可知/BFD=/CAD+/BAD=/BAC=60°
解答:
(1)证明:
•••△ABC为等边三角形,•/BAC=/C=60°AB=CA.在厶ABE和厶CAD中,
Fab=ac
-ZBAE=ZC•••△ABE◎△CAD•AD=BE.
kAE=CD
(2)解:
J/BFD=/ABE+/BAD,
又•••△ABECAD,•/ABE=/CAD.•/BFD=/CAD+/BAD=/BAC=60°
15.如图,在△ABC中,AB=BC,/ABC=90°F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,
求证:
AE=CF.
考点:
全等三角形的判定与性质.
分析:
根据已知利用SAS即可判定△ABE◎△CBF,根据全等三角形的对应边相等即可得到
AE=CF.
解答:
证明:
J/ABC=90°•/ABE=/CBF=90°
又JAB=BC,BE=BF,•△ABECBF(SAS).•AE=CF.
16.已知:
如图,在△OAB中,/AOB=90°OA=OB,在△EOF中,/EOF=90°OE=OF,连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?
请说明理由.
5
E
〉
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角
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