高考数学一轮复习考点与题型总结选修45不等式选讲.docx
- 文档编号:29756282
- 上传时间:2023-07-26
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:30.93KB
高考数学一轮复习考点与题型总结选修45不等式选讲.docx
《高考数学一轮复习考点与题型总结选修45不等式选讲.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习考点与题型总结选修45不等式选讲.docx(26页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学一轮复习考点与题型总结选修45不等式选讲
选修4-5不等式选讲
第一节绝对值不等式
一、基础知识
1.绝对值三角不等式
定理1:
如果a,b是实数,则|a+b|w|a|+|b|,当且仅当ab>0时,等号成立.
定理2:
如果a,b,c是实数,那么|a-c|wp—b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)>0时,等号成立.J
|a|—|b|w|a-b|w|a|+|b|,当且仅当|a|>|b|且ab>0时,左边等号成立,当且仅当ab<0时,
右边等号成立•
2.绝对值不等式的解法
(1)|x|a型不等式的解法
不等式
a>0
a=0
a<0
|x| {x|-a ? ? |x|>a {x|x>a或x<-a} {x|x€R且xm0} R ⑵|ax+b|wc(c>0)和|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法: 1|ax+b|wc? —c 2|ax+b|>c? ax+b>c或ax+b<-c. |x-a|+|x-b|>c和|x-a|+|x-b| 1利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 2利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 3通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想 考点一绝对值不等式的解法 [典例](2016全国卷I)已知函数f(x)=|x+1|—|2x—3|. (1)画出y=f(x)的图象; ⑵求不等式|f(x)|>1的解集. x—4,x<—1, 3 3x—2,—1 [解] (1)由题意得f(x)=2 3 —x+4,x>2, 故y=f(x)的图象如图所示. (2)由f(x)的函数表达式及图象可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 1 当f(x)=—1时,可得x=3或x=5. 3 故f(x)>1的解集为{x|1 1、f(x)<—1的解集为xx<3或x>5. 1 所以|f(x)|>1的解集为xx<3或1 [题组训练] 1•解不等式|x+1|+|x—1|<2. 解: 当x<—1时, 原不等式可化为—x—1+1—xW2,解得x>—1,又因为x<—1,故无解;当一1Wx<1时, 原不等式可化为x+1+1—x=2<2,恒成立; 当x>1时, 原不等式可化为x+1+x—1W2, 解得x<1,又因为x>1,故无解; 综上,不等式|x+1|+|x—1|<2的解集为[—1,1]• 2.(2019沈阳质检)已知函数f(x)=x—a|+3x,其中a€R. (1)当a=1时,求不等式f(x)>3x+|2x+1|的解集;⑵若不等式f(x)<0的解集为{x|x<—1},求a的值.解: (1)当a=1时,f(x)=|x—1|+3x. 法一: 由f(x)>3x+|2x+1|,得|x—1|—|2x+1|>0, 当x>1时,x—1—(2x+1)>0,得x<—2,无解; 11当一xW1时,1—x—(2x+1)>0,得一壬xW0; x>a,x 即a或a xwaxw— 当a>0时,不等式的解集为xxw—I. 由一2=—1,得a=2. 当a=0时,不等式的解集为{xxw0},不合题意. a 当a<0时,不等式的解集为xxwa. 由a=—1,得a=—4. 4 综上,a=2或a=—4. 考点二绝对值不等式性质的应用 [典例](2019湖北五校联考)已知函数f(x)=|2x—1|,x€R. (1)解不等式f(x)<|x|+1; 11⑵若对x,y€R,有|x—y—1|w3,|2y+1|w石,求证: f(x)<1. [解] (1)•••f(x)<|x|+1,「.|2x—1|<|x|+1, 11 即x>2,或° 2x—1 11 得2三x<2或。 。 三或无解. 故不等式f(x)<|x|+1的解集为{x|0 (2)证明: f(x)=|2x—1|=|2(x—y—1)+(2y+1)|w|2(x—y—1)|+|2y+1|=2|x—y—1|+|2y+ 115 1|w2x3+6=6" 故不等式f(x)v1得证. [解题技法]绝对值不等式性质的应用 利用不等式|a+b|w|a|+|b|(a,b€R)和|a—b|w|a—c|+|c—b|(a,b€R),通过确定适当的 a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式. [题组训练] 1.求函数f(x)=|x+2019|—|x—2018|的最大值. 解: 因为f(x)=|x+2019|—|x—2018|w|X+2019—x+2018|=4037, 所以函数f(x)=|x+2019|—|x-2018的最大值为4037. 115 2•若x€[—1,1],|y|w-,ZS9,求证: |x+2y—3z|w3. 11 证明: 因为x€[—1,1],|y|w6,|zS6, 115 所以|x+2y—3z|w凶+2|y|+3|z|w1+2^+3 693 5 所以|x+2y—3z|w5成立. 考点三绝对值不等式的综合应用 [典例](2018•肥质检)已知函数f(x)=|2x—1|. (1)解关于x的不等式f(x)—f(x+1)w1; ⑵若关于x的不等式f(x) [解] (1)f(x)—f(x+1)w1? |2x—1|—|2x+1|w1, 2x—1—2x—1w1 1—2x—2x—1w1 1—2x+2x+1w1, 1111 解得x>2或一4三x<1,即卩x>—4, 所以原不等式的解集为 1 4, +OO (2)由条件知,不等式|2x—1|+|2x+1| 则m>(|2x—1|+|2x+1|)min即可. 由于|2x—1|+|2x+1|=|1—2x|+|2x+1|>|1—2x+(2x+1)|=2,当且仅当(1—2x)(2x+ 11 1)>0,即x€—2,1时等号成立,故m>2.所以m的取值范围是(2,+o). [解题技法]两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化 1把存在性问题转化为求最值问题; 2不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题; 3不等式的解集为? 的对立面也是不等式的恒成立问题,此类问题都可转化为最值问题, 即f(X)Va恒成立? a>f(x)max,f(x)>a恒成立? avf(x)min. (2)求最值 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: 1利用绝对值的几何意义; 2利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|>|a±)|>||a|—|b||; 3利用零点分区间法. [题组训练] 1.(2018全国卷n)设函数f(x)=5-|x+a|—|x—2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>0的解集; ⑵若f(x)<1,求a的取值范围. 2x+4,x<—1,解: (1)当a=1时,f(x)=2,—Kx<2, —2x+6,x>2. 当x<—1时,由2x+4>0,解得一2 当—Kxw2时,显然满足题意, 当x>2时,由一2x+6>0,解得2 故f(x)>0的解集为{x|—2wx<3}. (2)f(x)<1等价于|x+a|+|x—2|>4. 而|x+a|+|x—2|》|a+2|,且当x=2时等号成立. 故f(x)w1等价于|a+2|>4. 由|a+2|》4可得aw—6或a》2. 所以a的取值范围是(一a,—6]U[2,+s). 2.(2018•东珠海二中期中)已知函数f(x)=|x+m|+|2x—1|(m€R),若关于x的不等式 3一 f(x)w|2x+1|的解集为A,且4,2? A,求实数m的取值范围. 解: •/3,2? A, 3 •••当x€4,2时,不等式f(x)w|2x+1|恒成立, 3 即|x+m|+|2x—1|w|2x+1在x€4,2上恒成立, •|x+m|+2x—1w2x+1, 3 即|x+m|w2在x€,2上恒成立, 4 •••—2wx+mw2, 3 ••—x—2wmw—x+2在x€4,2上恒成立, •-(—x—2)maxwmw(——x+2)min, 11 —[Wmw0,故实数 m的取值范围是 11 4, [课时跟踪检测] 1•求不等式|2x—1|+|2x+1|W6的解集 解: 原不等式可化为 1 x<一2, 1—2x—2x—K6 1—2x+2x+K6 1 x>2, 2x—1+2x+1<6. 解得—3 33 即原不等式的解集为x—2三xw3 2.已知函数f(x)=|x—4|+|x—a|(a€R)的最小值为a. (1)求实数a的值; (2)解不等式f(x)w5. 解: (1)f(x)=|x—4|+|x—a|>|a—4|=a, 从而解得a=2. —2x+6,xw2, (2)由 (1)知,f(x)=|x—4+|x—2|=2,2Vxw4, 2x—6,x>4. 1 故当xw2时,由一2x+6W5,得2wxw2; 当2 11 2 > X X 当x>4时,由2x—6w5,得4 若aw0,则当x€(0,1)时,|ax-1|>1; 、2若a>0,则|ax-1|<1的解集为x0 2 所以1,故0 a 综上,a的取值范围为(0,2]. 4.设函数f(x)=|3x-1|+ax+3. (1)若a=1,解不等式f(x)w4; ⑵若f(x)有最小值,求实数a的取值范围. 解: (1)当a=1时,f(x)=|3x—1|+x+3W4,即|3x-1|w1-x, ”e1 x-1w3x-1w1—x,解得0wxw, 1 所以f(x)w4的解集为0,1. 3+ax+2, x>11, ⑵因为f(x)= 1 a—3x+4,x<3, a+3》0, 所以f(x)有最小值的充要条件为解得—3waw3, a-3w0, 即实数a的取值范围是[-3,3]. 5.(2019贵阳适应性考试)已知函数f(x)=|x-2|-x+1|. (1)解不等式f(x)>-x; ⑵若关于x的不等式f(x)wa2-2a的解集为R,求实数a的取值范围. 解: (1)原不等式等价于f(x)+x>0,不等式f(x)+x>0可化为|x-2|+x>|x+1|,当x<-1时,一(x-2)+x>-(x+1),解得x>-3,即—3 当一1wxw2时,一(x-2)+x>x+1,解得x<1,即一1wx<1; 当x>2时,x—2+x>x+1,解得x>3,即x>3, 综上所述,不等式f(x)+x>0的解集为{x|-3 2|-x+1|w|x-2-x-1|=3,当且仅当x€(—a,—1]时等号成立, a2—2a》3,即a2—2a—3》0,解得aw—1或a》3. •••实数a的取值范围为(一a,-1]U[3,+a). 6.已知函数f(x)=|x—a|+|x+1|. (1)若a=2,求不等式f(x)>x+2的解集; —2x+1,xv—1, 解: (1)当a=2时,f(x)=3,—1wxv2, 2x—1,x>2, ⑵如果关于x的不等式f(x)v2的解集不是空集,求实数a的取值范围. 不等式f(x)>x+2等价于 xv—1, —2x+1>x+2 —1 3>x+2 x>2, 2x—1>x+2 解得xv1或x>3, 故原不等式的解集为{x|xv1或x>3}. (2)•/f(x)=|x—a|+|x+1|>|(x—a)—(x+1)|=|a+1|,当(x—a)(x+1)<0时取等号. •••若关于x的不等式f(x)v2的解集不是空集,只需|a+1|v2, 解得一3vav1,即实数a的取值范围是(一3,1). 7.已知函数f(x)=|2x—a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)w6的解集; (2)设函数g(x)=|2x—1|.当x€R时,f(x)+g(x)>3,求a的取值范围.解: (1)当a=2时,f(x)=|2x—2|+2. 解不等式|2x—2|+2W6,得一1wx<3. 因此f(x)w6的解集为{x|—1wx<3}. (2)当x€R时,f(x)+g(x)=|2x—a|+a+|1—2x|>3, 1 I min=2— 2, a1x—+_—x x2十2 1i3——i 所以2—2》于,解得a》2. 所以a的取值范围是[2,+R). &(2018福州质检)设函数f(x)=|x—1|,x€R. (1)求不等式f(x)w3—f(x—1)的解集; 3 (2)已知关于x的不等式f(x)wf(x+1)—|x—a|的解集为M,若1,? ? M,求实数a的取值范围. 解: (1)因为f(x)w3—f(x—1), x<1,1wxw2, 所以|x—1|w3—|x—2|? |x—1|+|x—2|w3? 或 3—2xw31w3 x>2, 2x—3w3, 解得OWx<1或1wXW2或2 所以OWxw3, 故不等式f(x)w3—f(x—1)的解集为[0,3]. 3 ⑵因为1,2? M, 3 所以当x€1,2时,f(x)wf(x+1)—|x—a恒成立, 而f(x)wf(x+1)—|x—a? |x—1|—|x|+|x—a|w0? x—a|w凶—|x—1|, 3 因为x€1,2,所以|x—a|w1,即卩x—1wawx+1, 3 由题意,知x—1wawx+1对于任意的x€1,2恒成立, 11 所以2waw2,故实数a的取值范围为扌,2. 第二节不等式的证明 、基础知识 1.基本不等式 ⑴定理1: 如果a,b€R,那么a2+b2>2ab,当且仅当a=b时,等号成立. a—pb ⑵定理2: 如果a,b>0,那么—厂>^/ab,当且仅当a=b时,等号成立,即两个正数 的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. a——b——c3 ⑶定理3: 如果a,b,c€R+,那么3>abc,当且仅当a=b=c时,等号成立. 2.比较法 ⑴作差法的依据是: a—b>0? a>b. A ⑵作商法: 若B>0,欲证A>B,只需证1. 3.综合法与分析法 ⑴综合法: 一般地,从已知条件出发,禾U用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立. (2)分析法: 从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成 立. 考点一比较法证明不等式 11 [典例]已知函数f(x)=x—2+X—2,M为不等式f(x)v2的解集. ⑴求M; (2)证明: 当a,b€M时,|a+b|v|1—ab|. —2x,x<—-,'2' 11 [解] (1)f(x)=,—2vxv2, 11 当一2 当x>2时,由f(x)<2,得2x<2,解得x<1.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 一轮 复习 考点 题型 总结 选修 45 不等式
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)